1、121.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，会用两原理解决简单实际问题.2.理解排列、组合的概念，掌握排列数和组合数公式，并能应用解决简单的实际问题.3 43 (1.)某校 名高三毕业学生每人选报 个自主招生志愿中的一个志愿，则选择的方法共有A.81 B.48C.18 D.36种 种种 种A解析433381A.由于每名同学均可从 个自主招生志愿中选择一个志愿，因此每人均有 种选法，由分步计数原理可知共有 即种选法，故选易错点忽略每个志愿均可重复选择4 34522 .2 现有 个红球，个白球和 个黑球，从中任选 个球，则所选的 球颜色不同的选法有A 66 B.132C 47 D.94 种种
2、种种C解析 113412113 515114520121527.C04选球共分为三类：第一类是选 个红球和 个白球，有种选法；第二类是选 个红球和 个黑球，有种选法；第三类是选 个白球和 个黑球，有种选法由分类计数原理可知共有种不同的选法，故选5 6(3)3.6 名同学分别坐到前后两排 每排 个座位 的 个座位上，共有 _种不同的坐法720解析66 66A720人坐到前后两排可视为将 人排成一列，且前三人坐标前排，后三个坐后排，故共有种易错点()nmmnk 从 个不同元素中选 个排成一列和排成能确定谁是第一位，谁是最后一位的 排实质是相同的6 1,21,2,3,4,54.ZZZ已知集合 满足，
3、则不同的集合 共有 _个解析1323123333331,23,4,513,4,5123CCC1C8CCZZZZ 由已知，而可不属于，有 种，也可属于，即从中选，个，个和 个，分别有，和种，故共有个87 7781 1220CCC_5.12nnnm mmmn乘积用排列、组合数表示，可表示为 _；已知，则 的值为 解析2120.A(1)m2120Am1481.分类加法计数原理完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=种不同的方法.2.分步乘法计数原理完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种
4、不同的方法,做第2步有m2种不同的方法，,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=种不同的方法.m1+m2+m3+mnm1m2mn93.分类和分步的区别分类：完成一件事同时存在n类方法，每一类都能独立完成这件事，各类互不相关.分步：完成一件事须按先后顺序分n步进行，每一步缺一不可，只有当所有步骤完成，这件事才完成.4.排列基础理论(1)排列的定义.从n个不同元素中,任取m(mn)个不同元素,按照一定的排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.顺序10(2)排列数的定义.从n不同元素中,任取m(mn)个不同元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符
5、号表示.(3)排列数计算公式.=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=(其中mn).()若m=n，排列称为全排列，记=123(n-1)n=n!(称为n的阶乘)；()规定0!1.mnAmnA!()!nnmnnA115.组合基础理论(1)组合的定义.从n个不同元素中，取出m(mn)个不同元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.(2)组合数的定义.从n个不同元素中,取出m(mn)个不同元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号表示.mnC12(3)组合数计数公式.=.=.规定=1.(4)组合数的两个性质.()=;()=+.mnCmnmmAA(1)(2)(
6、1)!n nnnmm!()!nm nm0nCmnCn mnC 1mnC mnC1mnC136.排列与组合的区别排列与组合的共同点是“从n个不同元素中，任取m个不同元素”；而不同点是排列要“按照一定的顺序排成一列”，而组合却是“只需组成一组（与顺序无关）”.因此，“有序”与“无序”是排列与组合的重要标志.“”为排列问题,“”为组合问题.有序无序14题型一 简单组合应用问题例1 6415 3 1 2 32 1 某乒乓球队有男运动员 名，女运动员 名，其中男、女队长各 名选派 名外出比赛在下列情形中各有多少种选派方法？男运动员 名，女运动员 名；至少有 名女运动员；既要有队长，又要有女运动员15解析
7、 362432643C2CCC11 1423324202111方法第一步：选 名男运动员，有种选法 第二步：选 名女运动员，有种选法 共有种选法至少 名女运动员包括以下几种情况：女 男，女 男，女 男，女 男 由分类加法计数原理可：得总选法为 246种51056“1?“”105CC2 至少 名女运动员 的反面为 全是男运动员，可用间接法求解从人中任选 人有种选法，其中全是男运动员的选法有方法：种16“1所以 至少有 名女运动员 的选法为246种 494845CCC3 当有女队长时，其他人选任意，共有种选法 不选女队长时，必选男队长，共有种选法，其 中不含女运动员的选法有种，所以不选女队长 时的
8、选法共有所以既有队长又有女运动员的选法共有191种17评析()“”“”(?”)nm mn 从 个不同元素中只要选取个不同元素的问题即组合问题，其主要特征是 元素无序，同时正面情况较多时，可应用 间接法 或 减去数，将总选法减去反面选法求得选法种法18变式14541 为了参加学校的元旦文艺会演，某班决定从爱好唱歌的 名男同学和 名女同学中选派 名参加小合唱节目，如果要求男女同学至少各选派 名，那么不同的选派方法有多少种？解析4060200112按选派的男同学的人数分三类：选派一名男同学，三名女同学有选派两名男同学，两名女同学有选派三名男同学，一名女同学有由分类计数原理 方法：，共有不同的选派方法
9、有种19494445C12126C1C51262015 在这九名同学中任选四名，有种方法 其中四人都是男同学的有种方法；四人 都是女同学的有种方法，因此符合要求 的选派方法有方法：种20题型二简单排列应用问题例2 342 12323 现有 名男生，名女生，分别求符合下列各条件下的不同排列方法总数排成前后三排：前排 人，中排 人，后排 人；全体排成一排：甲不站排头也不站排尾；全体排成一排：男女相间21解析 165676647415AA 1 23A5040A A=360A(A0)由排列的概念可知，排成三排可转化为排成一排后，前二人站第一排，中间三人站第二排，最后二人站第三排，故共有种排法先满足甲的
10、要求，在一排中间五个位置中选一个位置站甲，有种，然后让其余的人站剩下的位置，有种，故共有种排法先将女生排好，共有种，然后在女生之间 不含首末位置 的三个位置插入男生，共有343343AA144种，故共有种排法22评析 带有限制条件的排列问题，一般都是对某个或某些元素或位置加以限制的问题，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置这一类题通常从三种途径考虑：以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素；以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置；先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列23变式2 3 21 六人按下列要
11、求站一横排，分别有多少种不同的站法？甲、乙必须相邻；甲、乙不相邻；甲、乙之间间隔两人解析 52525252“”AAAA21014先把甲、乙作为一个 整体，看作一个人，有种站法，再把甲、乙进行全排列，有种站法，根据分步计数原方法理，：共有种站法24 4415224124524425442404A5AA AAA“”4A2145()A2A先把甲、乙以外的 个人作全排列，有种站法，再在 个空当中选出一个供甲、乙放入，有种站法，最后让甲、乙全排列，有种站法，共有站法种因为甲、乙不相邻，中间有隔挡，可用 插空法 第一步先让甲、乙以外的 个人站队，有种；第二步再 方法：方法：将甲、乙排在 人形成的 个空当
12、含两端 中，有种，故 共有站法 25665252652652A“”6A2A480480A240AAA7202402种 也可用 间接法，个人全排列有种站法，由知 甲、乙相邻有种站法，所以不相邻的站法有 方法：种25 442242422433222324324A3AA3A42A2?”2AAA1441431A42A先将甲、乙以外的 个人作全排列，有种，然后将甲、乙按条件插入站队，有种，故共有 种站法 先从甲、乙以外的 个人中任选 人排在甲、乙之间的两个位置上，有种，然后把甲、乙及中 间 人看作一个 大元素 与余下 人作全排列有种方 法，最后对甲、乙进行排列，有种方法方法：方，故共有 法：种站法26题
13、型三计数原理及应用例3 (2010)4()01011 10()在某种信息传输过程中，用个数字的一个排列 数字允许重复 表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有 和，则与信息至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 卷 南 湖A.10 B.11 C.12 D.1527 4“”“”“”“”“”._(2010_2_)(有 位同学在同一天的上、下午参加 身高与体重、立定跳远、肺活量、握力、台阶 五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复若上午不测 握力 项目，下午不测 台阶 项目，其余项目上、下午都各测试一人浙江卷则不同的安排方式共有种 用数字作答 解析24140110011
14、0C60110C4 (1)与信息至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：与信息有两个对应位置上的数字相同，有种；与信息有一个对应位置上的数字相同，有种；28 04440110C10110641.A24121ABCDEEDABCAABCA 与信息没有对应位置上的数字相同，有种 所以与信息至多有两个对应位置上的数字相同的信 息个数为设、依次代表题设中的五个测试项目 上午的总测试方法有种若上午测试 的同学下 午测试，则上午测试 的同学下午只能测试、，确定 上午测试 的同学后其余两个同学上、下午测试、中一个，则上午测试323 32449296BCE、中任何一个的下午都可以测 试，安排完该同学后，
15、其余两同学的测试方法只能有 种，故共有种测试方法由乘法原理和加法原理，总的测试方法共有种29评析“”“”“”“”“”“”将复杂问题 简单化 的方法之一是 分类，将过程繁杂问题 简单化 的方法之一是 分步，这既是技巧也是方法，同时有关 至多、至少 的问题分析研究常分步301280变式3(2)三角形的三边长均为整数,且最长的边长为11,则这样的三角形的个数有()A.25个B.26个C.36个D.37个C（1）现要排一份天的值班表，每天有一人值班，共有人，每人可以多天值班或不值班，但相邻两天不准由同一人值班，问此值班表共有种不同排法.31(1)值班表须依题设一天一天的分步完成.第一天有5人可选，有5
16、种排法，第二天不能用第一天的人，有4种排法，同理，第三天、第四天、第五天也有4种，故由分步 计 数 原 理 排 值 班 表 共 有54444=1280种，应填1280.解析32(2)设另两边长为x、y,且1xy11(x、yZ)，构成三角形，则x+y12，当y取11时，x=1,2,3,11,有11个;当y取10时，x=2,3,10,有个;当y取9时，x=3,4,9,共7个;当y取6时，x也只能为6，有1个，故 满 足 题 设 的 三 角 形 共 有：11+9+7+5+3+1=36个，故选C.33421xA3xA13xxC 11xxC 1xxC 22xxC 解下列方程：(1)+1=140 ;(2)
17、=+.备选题备选题34则有(1)根据排列的意义及公式得42x+13x(2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140 x(x-1)(x-2),x(4x-23)(x-3)=0,解之并检验得x=3.解析35(2)由组合数的性质可得+=+=+.又=,所以=+,即+=+,所以=，所以5=x+2,x=3,经检验知x=3.13xxC 11xxC 1xxC 22xxC 11xC 21xC 42xC 22xC 42xC 23xC 23xC 22xC 42xC 12xC 22xC 22xC 42xC 12xC 42xC 361.解决有关排列、组合应用题时，应分析：要完成做一件什么事；这件事怎样做才可以做好；需要
18、分类还是分步.运用分类计数原理和分步计数原理，关键在于两方面，认真分析题意，设计合理的求解程序是求解问题的关键.372.如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，即类与类之间是相互独立的，即分类完成，则选用分类计数原理；如果完成一件事要经历几个步骤（即几步），且只有当这些步骤都做完，这件事才能完成，即步与步之间是相互依存、相互连续的，即分步完成，则选用分步计数原理.3.排列与组合的本质区别在于排列不仅取而且排，即与顺序有关，而组合只取出一组即可，与顺序无关.384.注意排列数公式、组合数公式有连乘形式与阶乘形式两种，公式=n(n-1)(n-m+1),=常用于计算,而公式=,=常用于证明恒
19、等式.mnAmnC(1)(2)(1)!n nnnmm!()!nnmmnAmnC!()!nm nm39433 从 名男大学生，名女大学生中选 人担任志愿者，其中男生和女生都要求有，有多少种不同选法？错解1143151114354C3CCCCC60 分三步完成人选，第一步：先从 名男生中选一名，有种；第二步：从 名女生中选一名，有种；第三步：再从剩下的人中任选一名，有种，故由乘法计数原理，共有种40错解分析ABCCBA 错误认为满足某条件的选法是将所选元素从总体中选出去，后续选择时它不再参与，例如若第一步所选的是男生，第二步所选的是女生，第三步所选的是男生，计数时计为一种选法，但若第一步所选的是男生，第二步所选的还是女生，第三步所选的是男生，计数时又计为一种选法，因此重复计数正解124321122143434312C C2301C CC CC C 分两类确定选法数，第一类：男 女，有种；第二类：男 女，有种，故共有种