1、第2课时递推公式与数列的函数思想1.了解递推公式是给出数列的一种方法,会根据递推公式写出数列的前几项.2.了解数列的表示法,会用通项公式、列表法、图象法、递推公式法表示数列.3.掌握数列是特殊的函数,能够运用函数的观点认识数列.重点:根据递推公式写出数列的前几项和利用函数的观点认识、解决数列问题.难点:利用函数的观点解决数列中的单调性和最值问题.多米诺骨牌是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌.玩时将骨牌按一定间距排列成行,轻轻碰倒第一枚骨牌,其余的骨牌就会产生连锁反应,依次倒下.问题1:如果数列an的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子an=f(an-1)来表示,那么这个公式叫作这个
2、数列的递推公式.问题2:由递推公式求数列的每一项,需知数列的第一项或前两项.问题3:数列的表示方法有通项公式、列表法、图象法、递推公式.问题4: 从函数角度,数列可以看作是一个定义域是正整数集N*(或它的有限子集)的数从小到大依次取值时对应的一列函数值.如果能用解析式表示出来,就是数列的通项公式,也就是第n项an与项数n之间的函数关系.函数可以研究函数的单调性和最值等性质,数列也可以研究单调性与最值.公元1202年,一位意大利比萨的商人斐波拉契(Fibonacci,约1170-1250年)在他的算盘全书中提出过一个“养兔问题”:某人买回一对小兔,一个月后小兔长成大兔.再过一个月,大兔生了一对小
3、兔,以后,每对大兔每月都生一对小兔,小兔一个月后长成大兔,根据这个规律依次写出每个月的兔子对数的总数,即: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,.这就是著名的斐波拉契数列.1.已知数列an的图象在函数y=的图象上,当x取正整数时,则其通项公式为().A.an=(xR)B.an=(nN*)C.an=(xN)D.an=(nN)【解析】数列an对应的点列为(n,an),即有an=(nN*).【答案】B2.已知数列an的首项a1=1,且满足an+1=an+,则此数列的第三项是().A.1B.C.D.【解析】a1=1,an+1=an+,a2=a1+=1,a3=a2+=,故选C.【答案】C3.
4、数列an中,a1=1,an=+1,则a4=.【解析】a2=+1=1+1=2,a3=+1=,a4=+1=+1=.【答案】4.数列an中,已知an=2n+1-3.(1)写出a3,a4;(2)253是否是数列的项?如果是,是第几项?【解析】(1)a3=13,a4=29.(2)令2n+1-3=253,则2n+1=256,n+1=8,n=7,253是第7项.根据递推公式求数列的项已知在数列an中,a1=1,a2=3,an=an-1+(n3),则a5等于().A.B.C.4D.5【方法指导】根据已知项和给定的递推关系式逐项写出即可.【解析】根据递推公式可得:a3=a2+=4,a4=a3+=,a5=a4+=
5、.【答案】A【小结】充分利用递推关系,由a1、a2,先依次求出a3、a4,再求出a5.周期变化的数列探究对于数列an,a1=4,an+1=f(an),nN*,依照下表:x12345f(x)54312(1)求a2,a3,a4;(2)求a2015.【方法指导】数列作为特殊的函数,可利用函数方法来解.【解析】(1)a1=4,a2=f(4)=1,a3=f(1)=5,a4=f(5)=2.(2)由(1)知a1=4,a2=1,a3=5,a4=2,a5=f(2)=4,该数列是周期为4的周期数列,所以a2015=a3=5.【小结】通过求数列的前几项,发现规律,找到周期是本题的关键.求数列的最大项已知数列an的通
6、项an=(n+1)()n(nN*),试问该数列an有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的系数;若没有,请说明理由.【方法指导】数列中寻找最大项,就要判断数列的单调性,判断数列的单调性可以借助函数的单调性判断,也可以只需连续前后两项进行比较,可以用作差法,也可以用作商法判断.【解析】(法一)an+1-an=(n+2)()n+1-(n+1)()n=()n,当n0,即an+1an,当n9时,an+1-an0,即an+10,=(n+2)()n+1(n+1)()n=.显然当nan,当n9时,an+1-an0,即an+1an.该数列中有最大项为第9项,且a9=10()9.问题上述解法正确吗?结论忽略了n
7、=9时的情况,a9=a10,则最大项为第9、10项.于是,正确解答如下:(法一)an+1-an=(n+2)()n+1-(n+1)()n=()n,当n0,即an+1an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n9时,an+1-an0,即an+1an.故a1a2a3a11a12,该数列中有最大项为第9、10项,且a9=a10=10()9.(法二)an=(n+1)()n0,=(n+2)()n+1(n+1)()n=.令10(n+2)=11(n+1),得n=9.显然nan;当n9时,有an+1an.故a1a2a3a11a12,该数列中有最大项为第9、10项,且a9=a10=10()9.【小
8、结】判断数列的单调性可以借助基本函数的单调性,也可以比较连续两项的大小关系.在比较连续两项之间的大小关系时,关键是不等式组或的建立,要注意等号是否成立,即两项有无可能相等.数列an的首项和递推公式分别是a1=0,an+1=an+(2n-1)(nN*),求其通项公式.【解析】令n=1,2,3,4,得a1=0,a2=a1+1=1=12,a3=a2+3=4=22,a4=a3+5=9=32,a5=a4+7=16=42,可归纳出an=(n-1)2.已知数列an满足a1=2,an+1=,求a2013的值.【解析】a1=2,an+1=,an+2=-,于是an+4=-=an.an为周期数列,周期T=4.又a1
9、=2,a2=-3,a3=-,a4=,a5=2,a2013=a4503+1=a1=2.已知an=n0.8n(nN*).(1)判断数列an的单调性;(2)求数列an的最大项.【解析】(1)an+1-an=0.8n(nN*),n4时,an4时,anan+1.即a1,a2,a3,a4单调递增,a4=a5,而a5,a6单调递减.(2)由(1)知,数列an的第4项和第5项相等且最大,最大项是=.1.数列an中,an+2=an+1-an,a1=2,a2=5,则a2015的值是().A.-2B.2C.-5D.5【解析】因为an+2=an+1-an,a1=2,a2=5,所以a3=3,a4=-2,a5=-5,a6
10、=-3,a7=2,a8=5,利用数列的周期为6,a2015=a6335+5=a5=-5.【答案】C2.已知数列an,an=2n2-10n+3,它的最小项是().A.第一项B.第二项C.第三项D.第二项或第三项【解析】an=2n2-10n+3=2(n-)2-,而2和3与的距离相等,故最小项是第二项或第三项.【答案】D3.已知数列an中,a1=1,an+1-an=(-1)n,则a100=.【解析】由a1=1,得a2=a1-1=0,a3=a2+1=1,a4=a3-1=0,由此可归纳:a2n=0,a100=0.【答案】04.若数列an满足a1=,an=1-(n2且nN*),求a2015.【解析】a1=,an=1-(n2且nN*),令n=2,则有a2=-1;令n=3,a3=2;令n=4,a4=;令n=5,a5=-1;.所以an是以3为最小正周期的数列.则a2015=a6713+2=a2=-1.(2011年浙江卷)若数列n(n+4)()n中的最大项是第k项,则k=.【解析】设an=n(n+4)()n,an+1=(n+1)(n+5)()n+1,若=1,则n210,即当n4,anan+1;同理得n3时,有anan+1,a3=,a4=,因此第4项最大,k=4.【答案】4