1、2014-2015学年重庆市巫溪县高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知向量，若（R），则x=（）A B 2C 1D 12已知a，b为非零实数，且ab，则下列命题成立的是（）A a2b2B |a|b|C （）a（）bD 3某住宅小区有高中生27人，初中生54人，小学生81人，为了了解他们的身体健康状况，需要从中抽取一个容量为36的样本，用分层抽样的方法分别从高中生、初中生、小学生中各抽取的人数为（）A 18，12，6B 12，6，8C 18，6，12D 6，12，184从1，2，3，4中任取不同的数字
2、构成一个两位数，则这个数小于20的概率为（）A B C D 5某学生的四次500米测试成绩如下表（单位：分钟）所用时间y与测试次数x的线性回归方程为：y=ax+5.25，则a=（） 测试次数x1234所用时间y4.5432.5A 0.7B 0.6C 0.6D 0.76在ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，在ABC内随机取一点P，则点P位于ABC的内切圆内的概率为（）A B C D 7如图所示的算法框图中，语句“输出i”被执行的次数为（）A 32B 33C 34D 358若关于x的不等式（1+k2）xk4+4的解集是M，则对任意实常数k，总有（）A 2M，0MB 2M，0MC 2M，0MD
3、2M，0M9定义数列an，a1=1，当n2时，an=，kN*，Sn是其前n项和，则S10=（）A 61B 62C 31D 3010已知示数x，y满足，则目标函数z=3x+y的最大值和最小值分别是（）A 6，2B 8，2C 6，4D 8，411在ABC中，D为BC边的中点，H为AD的中点，过点H作一直线MN分别交AB、AC于点M、N，若，则x+4y的最小值是（）A B 2C D 112设x，y（1，e）（e为自然对数的底数），则的最大值为（）A 8B C 4D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13已知a0，b0，且a2+b2=2，则a+b的最大值为14如图，已知ABC中，BAD
4、=30，CAD=45，AB=3，AC=2，则=15在区间（0，1）内随机取两个实数x，y，则2x+y1的概率为16设an是等差数列，bn是等比数列，Sn、Tn分别是数列an、bn的前n项和，若a3=b3，a4=b4，且=7，则的值为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17以下茎叶图记录了甲、乙两名同学在高三学年6次模拟测试中的数学成绩（单位：分，满分150分）已知甲同学成绩数据的众数为124，乙同学成绩数据的平均数为甲同学成绩数据的中位数（）求a，b的值；（）试比较甲、乙两位同学这6次数学考试的平均成绩18已知平面向量，（）若向量k与2平行，求实数k的值（）若点Q为直线OP上一
5、动点，求的最小值19为了解甲、乙两个高三毕业班同学的身体发育情况，从甲、乙两个班中分别抽取20人得到身高的频率分布直方图如下，身高不足160cm的为“发育不良”，否则为“发育良好”（）求a及样本数据中甲乙两班身高“发育良好”的人数之和；（）从身高“发育良好”的人数中按分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中任意抽取2人，求至少有一人是甲班学生的概率20在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，向量=（a+b，sinAsinC），向量=（c，sinAsinB），且（）求角B的大小；（）若b=3，求ABC的面积的最大值21已知函数f（x）=x2+ax+b（a，bR）的两个零点分别为x1、x2（）
6、若x1=1，x2=2，求ab的值；（）若x1、x2（0，1），求f（0）f（1）的取值范围22已知数列an满足：a1=1，a2=，nan+1（n1）an=anan+1（nN*且n2）（）当n2时，求数列的通项公式（）求证：a12+a+a2014-2015学年重庆市巫溪县高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知向量，若（R），则x=（）A B 2C 1D 1考点：平面向量的坐标运算专题：平面向量及应用分析：根据向量的坐标运算计算即可解答：解：向量，（R），（1，1）=（2，x），x=2，
7、故选：B点评：本题考查了向量的坐标运算，属于基础题2已知a，b为非零实数，且ab，则下列命题成立的是（）A a2b2B |a|b|C （）a（）bD 考点：不等式的基本性质专题：不等式的解法及应用分析：根据不等式的基本性质，结合已知中ab，逐一分析四个答案中的不等式是否一定成立，可得答案解答：解：a，bR且ab，由于a，b符号不确定，故a2与b2的大小不能确定，故A不一定成立；由于a，b符号不确定，故|a|与|b|的大小不能确定，故B不一定成立；由于y=为减函数，故（）a（）b成立，即C一定成立；不等式两边同除a，但a的符号不确定，的大小不能确定，故D不一定成立；故选：C点评：本题考查的知识点
8、是不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质，是解答的关键3某住宅小区有高中生27人，初中生54人，小学生81人，为了了解他们的身体健康状况，需要从中抽取一个容量为36的样本，用分层抽样的方法分别从高中生、初中生、小学生中各抽取的人数为（）A 18，12，6B 12，6，8C 18，6，12D 6，12，18考点：分层抽样方法专题：概率与统计分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论解答：解：高中生27人，初中生54人，小学生81人，人数比为27：54：81=1：2：3从中抽取一个容量为36的样本，则高中生、初中生、小学生中各抽取36=6，人，故选：D点评：本题主要考查分层抽样的应用，根
9、据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础4从1，2，3，4中任取不同的数字构成一个两位数，则这个数小于20的概率为（）A B C D 考点：古典概型及其概率计算公式专题：概率与统计分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件是从4个数字中选两个数字进行排列，共有A42种结果，两位数小于20的为：12，13，14共3种结果得到概率解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件是从4个数字中选两个数字进行排列，共有A42=12种结果，两位数小于20的为：12，13，14共3种结果故这个数小于20的概率P=，故选：A点评：本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟
10、练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键5某学生的四次500米测试成绩如下表（单位：分钟）所用时间y与测试次数x的线性回归方程为：y=ax+5.25，则a=（） 测试次数x1234所用时间y4.5432.5A 0.7B 0.6C 0.6D 0.7考点：线性回归方程专题：计算题；概率与统计分析：计算=2.5，=3.5，代入y=ax+5.25，可得3.5=2.5a+5.25，即可求出a解答：解：由题意，=2.5，=3.5，代入y=ax+5.25，可得3.5=2.5a+5.25，所以a=0.7，故选：D点评：本题主要考查回归分析，考查运算能力、应用意识，属于基础题6在ABC中，AB=
11、5，AC=3，BC=4，在ABC内随机取一点P，则点P位于ABC的内切圆内的概率为（）A B C D 考点：几何概型专题：计算题；概率与统计分析：判断三角形为直角三角形，求出ABC的内切圆的半径，利用面积比，求出点P位于ABC的内切圆内的概率解答：解：ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，所以C=90，设ABC的内切圆的半径为r，则（3+4+5）r=，所以r=1，所以点P位于ABC的内切圆内的概率为=故选：C点评：本题考查概率的计算，考查ABC的内切圆的半径，确定测度，正确计算面积是关键7如图所示的算法框图中，语句“输出i”被执行的次数为（）A 32B 33C 34D 35考点：程序框图专题
12、：计算题；算法和程序框图分析：根据框图的流程依次计算运行的结果，判断第n次运行i的值，当满足i100时，求最小的正整数n的值解答：解：由程序框图知：第一次运行i=1+3=4；第二次运行i=1+3+3=7；第三次运行i=1+3+3+3=10；第n次运行i=4+（n1）3当i=1+3n100即n33时，程序运行终止，运行的次数为34故选：C点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法8若关于x的不等式（1+k2）xk4+4的解集是M，则对任意实常数k，总有（）A 2M，0MB 2M，0MC 2M，0MD 2M，0M考点：其他不等式的解法专题：压轴题分
13、析：本题考虑2、0是否在不等式的解集中，可以代入验证，也可以求出不等式的解集再进行判断原不等式是关于x的一次不等式解答：解：方法1：代入判断法，将x=2，x=0分别代入不等式中，判断关于k的不等式解集是否为R；方法2：求出不等式的解集：（1+k2）xk4+4；故选A点评：本题考查含参数的不等式的解集问题，难度一般9定义数列an，a1=1，当n2时，an=，kN*，Sn是其前n项和，则S10=（）A 61B 62C 31D 30考点：数列递推式专题：等差数列与等比数列分析：由数列首项结合数列递推式可得数列前10项，然后由等比数列前n项和求得答案解答：解：由a1=1，当n2时，an=，kN*，可得
14、数列an的前10项为1，1，2，2，4，4，8，8，16，16S10=2=62故选：B点评：本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列前n项和的求法，是中档题10已知示数x，y满足，则目标函数z=3x+y的最大值和最小值分别是（）A 6，2B 8，2C 6，4D 8，4考点：简单线性规划专题：不等式的解法及应用分析：先画出满足条件的平面区域，求出A，B的坐标，将z=3x+y变形为y=3x+z，平移直线从而求出z的最大值和最小值解答：解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z=3x+y得：y=3x+z，显然直线y=3x+z过A点时，z最小，直线y=3x+z过B点时，z最大，由，解得
15、A（1，1），由，解得：B（4，4），将A（1，1）代入y=3x+z得：z=2，将B（4，4）代入y=3x+z得：z=8，故选：B点评：本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题11在ABC中，D为BC边的中点，H为AD的中点，过点H作一直线MN分别交AB、AC于点M、N，若，则x+4y的最小值是（）A B 2C D 1考点：向量加减混合运算及其几何意义专题：综合题；平面向量及应用分析：根据题意，画出图形，结合图形，利用与共线，求出x与y的表达式，再利用基本不等式求出4x+y的最小值即可解答：解：如图所示，；ABC中，D为BC边的中点，H为AD的中点，且=x，=y，=+=x+
16、=（+），=（x）+，同理，=+（y）；又与共线，存在实数，使=（0），即（x）+=+（y）；，解得；4x+y=（1）+（1）=+1+=，当且仅当=时，“=”成立；4x+y的最小值是故选：A点评：本题考查了基本不等式的应用问题，也考查了平面向量的加法与减法运算问题，是中档题目12设x，y（1，e）（e为自然对数的底数），则的最大值为（）A 8B C 4D 考点：对数的运算性质专题：函数的性质及应用；不等式分析：设lnxlny=a，lnx+lny=b，原等式转化为，求出+的最小值即可解答：解：设lnxlny=a，lnx+lny=b，由题意知a（0，1），b（0，2）且b2，=，显然当b（0.1）
17、时，才可能取得最大值，=，+=（b+1b）（+）=5+5+4=9，=，当且仅当b=2，即x=y，且b=2（1b）即lnx+lny=时取等号，即x=y=时取等号，故最大值为点评：本题考查基本不等式的应用，关键是巧换元，构造基本不等式，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13已知a0，b0，且a2+b2=2，则a+b的最大值为2考点：基本不等式专题：不等式的解法及应用分析：利用（a+b）22（a2+b2），即可得出解答：解：a0，b0，且a2+b2=2，（a+b）22（a2+b2）=4，a+b2，当且仅当a=b=1时取等号则a+b的最大值为2故答案为：2点评：本题考查了基本
18、不等式的性质，属于基础题14如图，已知ABC中，BAD=30，CAD=45，AB=3，AC=2，则=考点：正弦定理专题：计算题；解三角形分析：过C作CEAB，与AD的延长线相交于E，则AEC=30，在AEC中，利用正弦定理，求出CE，再利用=，即可得出结论解答：解：过C作CEAB，与AD的延长线相交于E，则AEC=30在AEC中，CAD=45，CE=2，CEAB，AB=3，=故答案为：点评：本题考查正弦定理，考查平行线分线段成比例，考查学生的计算能力，属于中档题15在区间（0，1）内随机取两个实数x，y，则2x+y1的概率为考点：几何概型专题：计算题；概率与统计分析：分别求出在0，1上随机取两
19、个实数x，y，2x+y1对应的区域，利用面积之比求解即可解答：解：由题意，在区间0，1上随机取两个实数x，y，对应的区域的面积为1，在区间（0，1）内随机取两个实数x，y，则2x+y1对应的面积为，所以事件2x+y1的概率为故答案为：点评：本题考查几何概型知识、二元一次不等式表示的平面区域等，属基本运算的考查16设an是等差数列，bn是等比数列，Sn、Tn分别是数列an、bn的前n项和，若a3=b3，a4=b4，且=7，则的值为考点：等差数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，利用条件求出d，q，代入可得结论解答：解：设等差数列的公差为d，等比数列
20、的公比为q，则a3=b3，a4=b4，a3+d=b3q，q=，=7，2a3+3d=7b3（1+q），2a3+3d=7a3（1+），d=3a3，q=2，=故答案为：点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查学生的计算能力，正确运用通项公式是关键，是基础题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17以下茎叶图记录了甲、乙两名同学在高三学年6次模拟测试中的数学成绩（单位：分，满分150分）已知甲同学成绩数据的众数为124，乙同学成绩数据的平均数为甲同学成绩数据的中位数（）求a，b的值；（）试比较甲、乙两位同学这6次数学考试的平均成绩考点：频率分布直方图；茎叶图专题：计算题；概率与统计分
21、析：（）根据茎叶图中的数据，利用众数、中位数和平均数的计算公式，求出a、b的值；（）求出甲、乙二人的平均成绩，比较大小即可解答：解：（）根据茎叶图，得；甲同学成绩数据的众数为124，a=4，甲同学的中位数是=124，乙同学的平均数为=124b=5；（）甲的平均成绩为=125，乙同学的平均成绩为124，甲同学的平均成绩大于乙同学的平均成绩点评：本题考查了众数、中位数、平均数的计算问题，是基础题目18已知平面向量，（）若向量k与2平行，求实数k的值（）若点Q为直线OP上一动点，求的最小值考点：平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量专题：平面向量及应用分析：（）根据向量k与2平行，得到k=2，2=
22、，求出k的值即可；（）设出Q点的坐标，求出，的坐标，得到的表达式，结合二次函数的性质，求出其最小值即可解答：解：（）由题意得：k+2=（2），不共线，k=2，2=，解得：k=4；（）由题意设Q（2x，x），=（12x，7x），=（52x，1x），=5x220x+12=5（x2）28，当x=2时，取得最小值8点评：本题考查了平面向量的运算，考查共线向量问题，是一道基础题19为了解甲、乙两个高三毕业班同学的身体发育情况，从甲、乙两个班中分别抽取20人得到身高的频率分布直方图如下，身高不足160cm的为“发育不良”，否则为“发育良好”（）求a及样本数据中甲乙两班身高“发育良好”的人数之和；（）从身高
23、“发育良好”的人数中按分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中任意抽取2人，求至少有一人是甲班学生的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图专题：概率与统计分析：（）由各组的累积频率为1，可得a值，进而根据频数=频率样本容量，求出甲乙两班身高“发育良好”的人数之和；（）从身高“发育良好”的人数中按分层抽样的方法抽取5人，甲班有3人，乙班2人，先计算从这5人中任意抽取2人的方法总数，及至少有一人是甲班学生抽法个数，代入古典概型概型计算公式，可得答案解答：解：（）由各组的累积频率为1，可得：（0.01+0.04+a+0.015+0.005）10=1，解得：a=0.03甲班身高“发
24、育良好”的人数为：20（0.10.01）10=18人，乙班身高“发育良好”的人数为：20（0.10.04）10=12人，故甲乙两班身高“发育良好”的人数之和为30人；（）从身高“发育良好”的人数中按分层抽样的方法抽取5人，则抽样比k=，则这5人甲班有18=3人，乙班有12=2人，从中任意抽取2人共有=10种不同的抽取方法，其中至少有一人是甲班学生的抽法有：=9种，故从这5人中任意抽取2人，求至少有一人是甲班学生的概率为点评：本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键20在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，向量=（a+b，s
25、inAsinC），向量=（c，sinAsinB），且（）求角B的大小；（）若b=3，求ABC的面积的最大值考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理专题：解三角形分析：解：（I）由，利用数量积运算及其正弦定理、余弦定理即可得出（II）由余弦定理32=a2+c2ac，再利用基本不等式的性质与三角形面积计算公式即可得出解答：解：（I），c（sinAsinC）（a+b）（sinAsinB）=0，由正弦定理可得：c（ac）（a+b）（ab）=0，化为a2+c2b2=ac，cosB=，B（0，），B=（II）32=a2+c2ac2acac=ac，SABC=，当且仅当a=c=3时取等号ABC的面积的最
26、大值为点评：本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、基本不等式的性质与三角形面积计算公式、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21已知函数f（x）=x2+ax+b（a，bR）的两个零点分别为x1、x2（）若x1=1，x2=2，求ab的值；（）若x1、x2（0，1），求f（0）f（1）的取值范围考点：二次函数的性质；函数零点的判定定理专题：函数的性质及应用分析：（）根据韦达定理求出a，b的值，从而求出ab的值即可；（）先求出f（0）f（1）=x1x2（1x1）（1x2），再根据均值不等式求出其范围即可解答：解：（）由题意得：x1+x2=3=a，x1 x2=2=b，解得：a=3，b
27、=2，ab=5；（）由题意得：f（x）=（xx1）（xx2），f（0）f（1）=x1x2（1x1）（1x2），x1，x2（0，1），由均值不等式得：0x1（1x1）=，0x2（1x2）=，f（0）f（1）（0，当x1=x2=时，f（0）f（1）取得最大值点评：本题考查了二次函数的性质，考查均值不等式，是一道基础题22已知数列an满足：a1=1，a2=，nan+1（n1）an=anan+1（nN*且n2）（）当n2时，求数列的通项公式（）求证：a12+a+a考点：数列的求和；数列递推式专题：等差数列与等比数列分析：（）通过将nan+1（n1）an=anan+1两边同时除以n（n1）anan1，利
28、用累加法计算即得结论；（）通过（1）可得an=，且anan+1，利用放缩法可知（n1）an（n2）an1=an1an，进而利用放缩法可知+（3a42a3）+（4a53a4）+（n1）an（n2）an1=1+1+=1+1+解答：（）解：nan+1（n1）an=anan+1，=，对上式累加可得：=1，即=+1=4+（n2）；（）证明：由（1）可得：an=，则anan+1，nan+1（n1）an=anan+1，（n1）an（n2）an1=an1an，+（3a42a3）+（4a53a4）+（n1）an（n2）an1=+2a3+（n1）an=1+=1+1+=1+=1+1+=点评：本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题