1、1.在ABC中,若B=,b=a,则C等于().A.B.C.D.【解析】根据正弦定理可得=,即=,解得sin A=,因为b=aa,所以A0,所以C=.根据正弦定理可得=,即=2,所以sin A=,因为ABBC,所以AC,所以A=,即B=,所以ABC为直角三角形,所以SABC=1=.【答案】4.已知函数f(x)=cos2x+2sin xcos x-sin2x.(1)求f(x)的最小正周期和值域;(2)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若f()=2且a2=bc,试判断ABC的形状.【解析】(1)f(x)=cos2x+2sin xcos x-sin2x=sin 2x+cos 2x=2s
2、in(2x+),所以f(x)的最小正周期T=,值域为-2,2.(2)由f()=2,有f()=2sin(A+)=2,所以sin(A+)=1.因为0A,所以A+=,即A=.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A及a2=bc,所以(b-c)2=0,即b=c,所以B=C=,所以ABC为等边三角形.5.在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且ccos B+bcos C=3acos B.则cos B的值为().A.B.C.D.【解析】因为ccos B+bcos C=3acos B,由正弦定理,得sin Ccos B+sin Bcos C=3sin Acos B,即sin(B+C)=3si
3、n Acos B, 又sin(B+C)=sin A0,所以cos B=.【答案】B6.在ABC中,已知a,b,c分别为角A,B,C所对的边,S为ABC的面积.若向量p=(4,a2+b2-c2),q=(,S)满足pq,则C等于().A.B.C.D.【解析】由pq,得(a2+b2-c2)=4S=2absin C,即=sin C,由余弦定理的变式,得cos C=sin C,即tan C=,因为0C,所以C=.【答案】B7.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知4sin2-cos 2C=,且a+b=5,c=,则ABC的面积为.【解析】因为4sin2-cos 2C=,所以21-cos(A+
4、B)-2cos2C+1=,即2+2cos C-2cos2C+1=,化简得cos2C-cos C+=0,解得cos C=.根据余弦定理有cos C=,即ab=a2+b2-7=(a+b)2-2ab-7,所以ab=6,所以SABC=absin C=6=.【答案】8.在ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,且满足b2+c2-a2=bc.(1)求角A的值;(2)若a=,设角B的大小为x,ABC的周长为y,求y=f(x)的最大值.【解析】(1)b2+c2-a2=bc,cos A=,又0A,A=.(2)=,b=sin x=2sin x,同理c=sin C=2sin(x+),y=2sin x+2sin
5、(x+)+=2sin(x+)+,A=,0x,x+(,),当x+=,即x=时,ymax=3.9.如图,在ABC中,已知B=,AC=4,D为BC边上一点.若AB=AD,则ADC的周长的最大值为.【解析】AB=AD,B=,ABD为正三角形,在ADC中,根据正弦定理,可得=,AD=8sin C,DC=8sin(-C),ADC的周长为AD+DC+AC=8sin C+8sin(-C)+4=8(sin C+cos C-sin C)+4=8(sin C+cos C)+4=8sin(C+)+4,ADC=,0C,C+,当C+=,即C=时,ADC的周长取最大值8+4.【答案】8+410.在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知A=,a=2.设内角B=x,ABC的面积为y.(1)求函数y=f(x)的解析式和定义域;(2)求函数y=f(x)的值域.【解析】(1)设ABC的外接圆的半径为R,则2R=4,R=2,则y=f(x)=bcsin A=2Rsin B2Rsin C=4sin xsin(-x),定义域为x|0x.(2)f(x)=4sin xsin(-x)=4sin x(cos x+sin x)=2sin xcos x+2sin2x=sin 2x+-cos 2x=2sin(2x-)+.而0x,-2x-.则-sin(2x-)1,故函数y=f(x)的值域为(0,2+.