1、3.5二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式(组)所表示的平面区域学 习 目 标核 心 素 养1.会从实际情景中抽象出二元一次不等式(组)2了解二元一次不等式的几何意义3会画二元一次不等式(组)表示的平面区域(重点、难点)1.通过二元一次不等式的几何意义的学习，培养学生的数学抽象的素养2通过二元一次不等式(组)表示的平面区域的学习，提升学生的直观想象素养.1二元一次不等式的概念我们把含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式，称为二元一次不等式2二元一次不等式组的概念我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组，称为二元一次不等式组3二元一次不等式(组)的解集概念满
2、足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，称为二元一次不等式(组)的一个解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集4二元一次不等式表示的平面区域及确定(1)直线l：axbyc0把直角坐标平面分成了三个部分：直线l上的点(x，y)的坐标满足axbyc0.直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足axbyc0，另一侧平面区域内的点(x，y)的坐标满足axbyc0表示的是直线axbyc0哪一侧的平面区域5二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分1由不等式3x2y60表示的平面区域(阴影部分)
3、是()D把(0,0)点代入3x2y60中可知60不成立，即(0,0)不在3x2y60所表示的平面区域内，结合直线过点(0，3)和(2,0)可知D正确2以下各点在3x2y6表示的平面区域内的是_(0,0)；(1,1)；(0,2)；(2,0)将点的坐标代入，只有满足上述不等式3已知点A(1,0)，B(2，m)，若A，B两点在直线x2y30的同侧，则m的取值集合是_因为A，B两点在直线x2y30的同侧，所以把点A(1,0)，B(2，m)代入可得x2y3的符号相同，即(1203)(22m3)0，解得m.二元一次不等式表示的平面区域【例1】画出下面二元一次不等式表示的平面区域：(1)x2y40；(2)y
4、2x.解(1)画出直线x2y40，020440，x2y40表示的区域为含(0,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，包括边界(2)画出直线y2x0，02120(即y2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，不包括边界应用“以直线定界，以特殊点定域”的方法画平面区域，先画直线AxByC0，取点代入AxByC验证在取点时，若直线不过原点，一般用“原点定域”；若直线过原点，则可取点(1,0)或(0,1)，这样可以简化运算画出所求区域，若包括边界，则把边界画成实线；若不包括边界，则把边界画成虚线1(1)如图所示的平面区域(阴影部分)用不等式表示为_(2)画出不等式2xy40表示
5、的平面区域解(1)由截距式得直线方程为1，即x2y20.因为02020，且原点在阴影部分中，故阴影部分可用不等式x2y20表示(2)先画直线2xy40(画成虚线)取原点(0,0)代入，得2xy4200440表示的区域是直线2xy40右上方的平面区域，如图中的阴影部分所示二元一次不等式组表示的平面区域【例2】画出下列不等式组所表示的平面区域：(1)(2)解(1)x2y3，即x2y30，表示直线x2y30上及左上方的区域；xy3，即xy30，表示直线xy30上及左下方区域；x0表示y轴及其右边区域；y0表示x轴及其上方区域综上可知，不等式组(1)表示的区域如图所示(2)xy2，即xy20，表示直线
6、xy20左上方的区域；2xy1，即2xy10，表示直线2xy10上及右上方区域；xy0，即(m5)(m2)0，所以m5或m2.2不等式组表示的区域是什么图形？你能求出它的面积吗？该图形若是不规则图形，如何求其面积？提示不等式组表示的平面区域如图阴影部分ABC，该三角形的面积为SABC639.若该图形不是规则的图形，我们可以采取“割补”的方法，将平面区域分为几个规则图形求解3点(0,0)，(1,0)，(2,1)，(3,4)在不等式组表示的平面区域内吗？该平面区域内有多少个纵、横坐标均为整数的点？提示若所给点在不等式组所表示的平面区域内，则该点的坐标一定适合不等式组，否则，该点不在这个不等式组表示
7、的平面区域内经代入检验可知，在(0,0)，(1,0)，(2,1)，(3,4)中只有点(2,1)在不等式组表示的平面区域内在寻求平面区域内整数点时，可根据不等式组表示的平面区域(探究2提示中的图形)边界的顶点，先给其中的一个未知数赋值，如x1，则不等式组可化为显然该不等式组无解；再令x2，则原不等式组化为则0y0表示直线x0右方的所有点的集合；y0表示直线y0上方的所有点的集合，故不等式组表示的平面区域如图所示(2)如图所示，不等式组表示的平面区域为直角三角形，其面积S436.(3)当x1时，代入4x3y12，得y，整点为(1,2)，(1,1)当x2时，代入4x3y12，得y，整点为(2,1)区
8、域内整点共有3个，其坐标分别为(1,1)，(1,2)，(2,1)如图.1在应用平面区域时，准确画出不等式组表示的平面区域是解题的关键2画出不等式表示的平面区域后，常常要求区域面积或区域内整点的坐标(1)求区域面积时，要先确定好平面区域的形状，注意与坐标轴垂直的直线及区域端点的坐标，这样易求底与高必要时分割区域为特殊图形(2)整点是横、纵坐标都是整数的点，求整点坐标时要注意虚线上的点和靠近直线的点，以免出现错误3投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米现某单位可使用资金1 400万元，场地900
9、平方米，用数学关系式和图形表示上述要求解设生产A产品x百吨，生产B产品y百吨，则用图形表示以上限制条件，得其表示的平面区域如图所示(阴影部分)1本节课的重点是二元一次不等式表示的平面区域的判定，难点是二元一次不等式组所表示的平面区域的确定2本节课要掌握的规律方法(1)二元一次不等式(组)表示平面区域的确定方法(2)求二元一次不等式组所表示的平面区域面积的方法3本节课的易错点为：画平面区域时，注意边界线的虚实问题1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)二元一次不等式xy2的解有无数多个()(2)二元一次不等式(组)的解集可以看成直角坐标系内的点构成的集合()(3)二元一次不等式组中的每个不等式
10、都必须是二元一次不等式()解析(1).因为满足xy2的实数x，y有无数多组，故该说法正确(2).因为二元一次不等式(组)的解为有序数对(x，y)，有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标故该说法正确(3).因为在二元一次不等式组中可以含有一元一次不等式，如也称为二元一次不等式组答案(1)(2)(3)2下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是()A(0,2)B(2,0)C(0，2)D(2,0)C依次将A，B，C，D四个选项代入验证即可，只有C符合条件. 3下列说法正确的是_(填序号)由于不等式2x10不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一区域；点(1,2)在不等式2xy10表示的平面区域内；不等式AxByC0与AxByC0表示的平面区域是相同的；第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy0表示错误因为不等式2x10虽然不是二元一次不等式，但它表示直线x右侧的区域正确因为(1,2)是不等式2xy10的解错误因为不等式AxByC0表示的平面区域不包括边界AxByC0，而不等式AxByC0表示的平面区域包括边界AxByC0.正确因为第二、四象限区域内的点(x，y)中x，y异号，故xy0.该说法正确4在平面直角坐标系中，求不等式组表示的平面区域的面积解在平面直角坐标系中，作出xy20，xy20和x2三条直线，利用特殊点(0,0)可知可行域如图阴影部分所示，其面积S424.