1、高考资源网（） 您身边的高考专家3.2.2复数的乘法和除法学 习 目 标核 心 素 养1掌握复数代数形式的乘除运算(重点)2理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律(难点)3理解共轭复数的性质，并能灵活运用(易错点)通过学习乘法和除法，培养学生数学运算素养.一、复数的乘法法则及运算律1设z1abi，z2cdi，a，b，c，dR，则z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.2对任意z1，z2，z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3二、共轭复数的性质与复数的除法1共轭复数的性质(1)两个共轭复数
2、的对应点关于实轴对称(2)实数的共轭复数是它本身，即zzR.利用这个性质，可以证明一个复数是实数(3)z|z|2|2R.2复数的除法法则设z1abi，z2cdi(cdi0)，i.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个复数互为共轭复数，则它们的模相等()(2)若zC，则|z|2z2.()(3)若z1，z2C，且zz0，则z1z20.()解析(1)正确设zabi(a，bR)，则abi，|z|，|，|z|.(2)错误举反例：如z1i，则|z|，z22i，|z|2z2.(3)错误例如z11，z2i，显然zz0，但z1z20.答案(1)(2)(3)2i是虚数单位，复数_.解析2i.答案2i3已知
3、a，bR，i是虚数单位若(ai)(1i)bi，则abi_.解析因为(ai)(1i)a1(a1)ibi，a，bR，所以解得所以abi12i.答案12i复数代数形式的乘除运算【例1】(1)已知a，bR，i是虚数单位，若ai2bi，则(abi)2()A34iB34iC43i D43i(2)等于()A1i B1iC1i D1i(3)计算：_.思路探究(1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成1，再把实部、虚部分别合并(2)复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似解(1)a，bR，ai2bi，a2，b1，(abi
4、)2(2i)234i.(2)1i.故选D.(3)22i.答案(1)A(2)D(3)22i1复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为1，进行最后结果的化简复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)2利用某些特殊复数的运算结果，如(1i)22i，31，i，i，i，i的幂的周期性等，都可以简化复数的运算过程1计算：(1)(1i)；(2)(23i)(12i)解(1)(1i)(1i)(1i)ii.(2)(23i)(12i)i.共轭复数及其应用【例2】已知复数z的共轭复数是，且z4i，z13，试求.思路
5、探究解设zxyi(x，yR)，则由条件可得即解得或因此z32i或z32i.于是i，或i.1已知关于z和的方程，而复数z的代数形式未知，求z.解此类题的常规思路为：设zabi(a，bR)，则abi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解2关于共轭复数的常用结论(1)z|z|2|2是共轭复数的常用性质；(2)实数的共轭复数是它本身，即zRz，利用此性质可以证明一个复数是实数；(3)若z0且z0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数2已知复数z满足z2iz42i，求复数z.解设zxyi(x，yR)，则xyi，由题意，得(xyi)(xyi)2(xyi)i(x2y22y)2
6、xi42i，解得或z13i或z1i.虚数单位i的幂的周期性及其应用探究问题1i4n，i4n1，i4n2，i4n3(nN)的结果分别是什么？提示1，i，1，i.2in(nN)有几种不同的结果？提示四种：1，i，1，i.3inin1in2in3(nN)结果是多少？提示0.【例3】(1)计算：2 020；(2)若复数z，求1zz2z2 018的值思路探究将式子进行适当的化简、变形，使之出现in的形式，然后再根据in的值的特点计算求解解(1)原式1 010iii1 010ii4252i2i1.(2)1zz2z2 018，而zi，所以1zz2z2 018i.在本例(2)中，若z，求1zz2z2 019的
7、值解zi.1zz2z2 0190.1要熟记in的取值的周期性，即i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1(nN)，解题时要注意根据式子的特点创造条件使之与in联系起来以便计算求值2如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解1设复数z满足(1i)z2i，则z()A1iB1iC1i D1i解析设zabi，则(1i)(abi)2i，即(ab)(ba)i2i.根据复数相等的充要条件得解得z1i.故选A.答案A2复数zi(1i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析zi(1i)1i，复数z对应复平面上的点是(1,1)，该点位于第二象限答案B3(2019全国卷)设z，则|z|()A2 B.C. D1解析由z，得|z|.答案C4已知a为实数，是纯虚数，则a_.解析，因为是纯虚数，所以a10且a10，即a1.答案15计算：.解法一：2i.法二：ii2i.- 8 - 版权所有高考资源网