1、直线方程及其应用【例1】过点A(5，4)作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形的面积为5，求直线l的方程思路探究已知直线过定点A，且与两坐标轴都相交，围成的直角三角形的面积已知求直线方程时可采用待定系数法，设出直线方程的点斜式，再由面积为5列方程，求直线的斜率解由题意知，直线l的斜率存在设直线为y4k(x5)，交x轴于点，交y轴于点(0，5k4)，S|5k4|5，得25k230k160(无实根)，或25k250k160，解得k或k，所以所求直线l的方程为2x5y100，或8x5y200.(1)求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件
2、灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况(2)运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单1过点P(1,0)，Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程解(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x1，x0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为yk(x1)，ykx2.令y0，分别得x1，x.由题意得1，即k1.则直线的方程为yx1，yx2，即xy10，xy20.综上可知，所求的直线方程为x1，x0，或xy10，xy20.直线的位置关系【例2】
3、已知直线l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，求m的值，使得：(1)l1l2；(2)l1l2.思路探究已知两直线的方程中都含有参数，求不同的位置关系时参数的取值，可以利用平行(或垂直)的条件列方程求解解法一：当m0或2时，两直线既不平行，也不垂直；当m0且m2时，直线l1，l2的斜率分别为：，.(1)若l1l2，则1，解得m.(2)若l1l2，则由，得m1或m3.又当m3时，l1与l2重合，故m3舍去故l1l2时，m1.法二：(1)l1l2，m23m0，m.(2)l1l2，3m(m2)0且2m6(m2)，故m1.利用直线的方程判定两条直线的平行或垂直关系是这部分知识常涉及的题型求解时，
4、可以利用斜率之间的关系判定；若方程都是一般式，知道平行或垂直关系，求参数的值时也可用如下方法：直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20.(1)l1l2时，可令A1B2A2B10，解得参数的值后，再代入方程验证，排除重合的情况；(2)l1l2时，可利用A1A2B1B20直接求参数的值2已知点A(2,2)和直线l：3x4y200.(1)求过点A，且和直线l平行的直线方程；(2)求过点A，且和直线l垂直的直线方程解(1)因为所求直线与l：3x4y200平行，所以设所求直线方程为3x4ym0.又因为所求直线过点A(2,2)，所以3242m0，所以m14，所以所求直线方程为3x4y140.
5、(2)因为所求直线与直线l：3x4y200垂直，所以设所求直线方程为4x3yn0.又因为所求直线过点A(2,2)，所以4232n0，所以n2，所以所求直线方程为4x3y20.距离问题【例3】已知两条直线l1：axby40，l2：(a1)xyb0，求分别满足下列条件的a、b的值(1)直线l1过点(3，1)，并且直线l1与直线l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1、l2的距离相等解(1)l1l2，a(a1)(b)10.即a2ab0.又点(3，1)在l1上，3ab40.由解得a2，b2.(2)l1l2且l2的斜率为1a，l1的斜率也存在，1a，即b.故l1和l2的方程可分别表示为
6、l1：(a1)xy0，l2：(a1)xy0.原点到l1与l2的距离相等，4，解得a2或a.因此或距离公式的运用1距离问题包含两点间的距离，点到直线的距离，两平行直线间的距离2牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合3已知正方形中心为点M(1,0)，一条边所在直线的方程是x3y50，求其他三边所在直线的方程解正方形中心到直线x3y50的距离d.设与直线x3y50平行的直线方程为x3yC10.由正方形的性质，得，解得C15(舍去)或C17.所以与直线x3y50相对的边所在的直线方程为x3y70.设与直线x3y50垂直的边所在的直线方程为3xyC20.
7、由题意，得，解得C29或C23.所以另两边所在直线的方程为3xy90和3xy30.求圆的方程【例4】求圆心在直线3x4y10上，且经过两圆x2y2xy20与x2y25的交点的圆的方程思路探究解答本题可利用过两圆交点的圆系方程求解，也可求出两交点坐标，再利用待定系数法求解解法一：设所求圆为x2y2xy2(x2y25)0，化为一般式，得x2y2xy0.故圆心坐标为，代入直线3x4y10，得.再把代入所设方程，得x2y22x2y110，故所求圆的方程为x2y22x2y110.法二：解方程组得两圆的交点为A(1，2)和B(2，1)设所求圆的方程为x2y2DxEyF0.A，B在圆上，且圆心在直线3x4y
8、10上，解得所求圆的方程是x2y22x2y110.求圆的方程主要是联系圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题一般地，当已知圆的圆心或半径的几何特征时，设圆的标准方程，并结合圆的几何性质求解；当已知圆上三个点时，设圆的一般方程；当所求圆经过直线与圆、圆与圆的交点时，常利用圆系方程来解答过两个已知圆x2y2D1xE1yF10和x2y2D2xE2yF20的交点的圆系方程为x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)4圆心在直线5x3y8上，且圆与两坐标轴均相切，求此圆的标准方程解设所求圆的标准方程为(xx0)2(yy0)2r2(r0)因为圆与两坐标轴均相切，故圆心坐标满
9、足x0y00或x0y00.又圆心在直线5x3y8上，所以5x03y08.由得由得所以圆心坐标为(4,4)或(1，1)，相应的半径为r4或r1，故所求圆的标准方程为(x4)2(y4)216或(x1)2(y1)21.直线与圆、圆与圆的位置关系【例5】已知圆M：(x1)2(y1)24，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且|AB|2，求直线l的方程思路探究分斜率存在与不存在两种情况：(1)(2)解(1)当直线l存在斜率时，设直线l的方程为y3k(x2)，即kxy32k0.示意图如图，作MCAB于C.在RtMBC中，|BC|AB|，|MB|2，故|MC|1，由点到直线的距离公式得1，解得k.
10、故直线l的方程为3x4y60.(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x2，且|AB|2，所以符合题意综上所述，直线l的方程为3x4y60或x2.1直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程2解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题5求圆O：x2y236与圆M：x2y210y160的公切线的方程解如图，易知两圆相交，公切线有两条由圆M的方程易得M(0,5)，r3.设两圆的公切线与圆O相
11、切于点B(x0，y0)，则公切线方程为x0xy0y36.点M到公切线的距离等于3，3.xy36，点M在公切线的下方，(5y036)18，即y0.从而x0.故公切线方程为xy360或xy360，即4x3y300或4x3y300.轨迹问题【例6】如图，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN，(M，N分别为切点)，使得|PM|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程思路探究由PMO1与PNO2均为直角三角形表示出切线长|PM|与|PN|，建立坐标系后，设出P点坐标即可由等式|PM|PN|求出P点的轨迹方程解如图，以O1，O2所在直线为x轴，线
12、段|O1O2|的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则O1(2,0)，O2(2,0)，设动点P的坐标为(x，y)在RtPMO1中，|PM|2|PO1|21，在RtPNO2中，|PN|2|PO2|21.又因为|PM|PN|，所以|PM|22|PN|2，即|PO1|212(|PO2|21)，即|PO1|212|PO2|2，所以(x2)2y212(x2)2y2，整理得x2y212x30，即为所求点P的轨迹方程1求动点的轨迹方程是解析几何中的重要题型，解答这类问题常用的方法有：直接法、定义法、消元法、代数法等2求轨迹方程的步骤：(1)建系设点；(2)列出动点满足的轨迹条件；(3)把轨迹条件坐标化；(4)
13、化简整理；(5)检验在检验中要排除不符合要求的点，或者补充上漏掉的部分6等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么解设另一端点C的坐标为(x，y) .依题意，得|AC|AB|.由两点间距离公式，得，整理得(x4)2(y2)210.这是以点A(4,2)为圆心，以为半径的圆，如图所示，又因为A、B、C为三角形的三个顶点，所以A、B、C三点不共线即点B、C不能重合且B、C不能为圆A的一直径的两个端点因为点B、C不能重合，所以点C不能为(3,5)又因为点B、C不能为一直径的两个端点，所以4.且2，即点C不能为(5，1)故端点C的轨迹方程是(x4)2(y2)210(除去点(3,5)和(5，1)综上，它的轨迹是以点A(4,2)为圆心，为半径的圆，但除去(3,5)和(5，1)两点