1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2课时平面与平面垂直学 习 目 标核 心 素 养1.了解面面垂直的定义(重点)2.掌握面面垂直的判定定理和性质定理(重点)3.灵活运用线面、面面垂直的判定定理和性质定理解决空间中的位置关系问题(难点)1.通过平面与平面垂直的定义学习，培养直观想象的核心素养.2.借助线面垂直的判定定理与性质定理，培养逻辑推理、数学抽象的核心素养.1平面与平面垂直的判定(1)平面与平面垂直定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直画法：记作：.(2)判定定理文字语言图形语言符号语言如果一个平面过另一个平
2、面的一条垂线，则这两个平面垂直2.平面与平面垂直的性质定理文字语言如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面符号语言a图形语言思考：若定理中的“交线”改为“一条直线”，结论会是什么？提示相交或平行1ABC所在的平面为，直线lAB，lAC，直线mBC，mAC，则直线l，m的位置关系是()A相交B异面C平行D不确定C因为lAB，lAC且ABACA，所以l平面ABC.同理可证m平面ABC，所以lm，故选C.2设平面平面，在平面内的一条直线a垂直于平面内的一条直线b，则()A直线a必垂直于平面B直线b必垂直于平面C直线a不一定垂直于平面D过a的平面与过b的平面垂直C当，
3、在平面内垂直交线的直线才垂直于平面，因此，垂直于平面内的一条直线b的直线不一定垂直于，故选C.3空间四边形ABCD中，若ADBC，BDAD，那么有()A平面ABC平面ADCB平面ABC平面ADBC平面ABC平面DBC D平面ADC平面DBCDADBC，ADBD，BCBDB，AD平面BCD.又AD平面ADC，平面ADC平面DBC.4平面平面，l，n，nl，直线m，则直线m与n的位置关系是_平行因为，l，n，nl，所以n.又m，所以mn.平面与平面垂直的判定【例1】如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面PAC平面PBC.证明连接AC，BC，则BCA
4、C，又PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，而PAACA，BC平面PAC，又BC平面PBC，平面PAC平面PBC.证明面面垂直的方法1判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；2性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面1如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上求证：平面AEC平面PDB.证明ACBD，ACPD，PD，BD为平面PDB内两条相交直线，AC平面PDB.又AC平面AEC，平面AEC平面PDB.面面垂直性质定理的应用【例2】如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABC
5、D是边长为a的菱形且DAB60，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD的中点，求证：BG平面PAD；(2)求证：ADPB.思路探究(1)(2)要证ADPB，只需证AD平面PBG即可证明(1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知DAB60，ABD为正三角形，G是AD的中点，BGAD.平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，BG平面PAD.(2)如图，连接PG.PAD是正三角形，G是AD的中点，PGAD，由(1)知BGAD.又PGBGG.AD平面PBG.而PB平面PBG，ADPB.1面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法所以当已知两个平
6、面垂直的时候，经常找交线的垂线，这样就可利用面面垂直证明线面垂直2两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线2.如图所示，四棱锥VABCD的底面是矩形，侧面VAB底面ABCD，又VB平面VAD.求证：平面VBC平面VAC.证明平面VAB底面ABCD，且BCAB，平面VAB平面ABCDAB.BC平面VAB，BCVA，又VB平面VAD，VBVA，又VBBCB，VA平面VBC，VA平面VAC.平面VBC平面VAC.垂直关系的综合应用探究问题1.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PDa，PAPCa，你能证明PD平面AB
7、CD吗？提示PDa，DCa，PCa，PC2PD2DC2，PDDC.同理可证PDAD，AD平面ABCD，DC平面ABCD，且ADDCD，PD平面ABCD.2如图所示，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆O的直径，点D为线段AB上一点，且ADDB，点C为圆O上一点，且BCAC，P为母线SA上的点，其在底面圆O上的正投影为点D，求证：PACD.提示连接CO(图略)，由3ADDB知，D为AO的中点，又AB为圆O的直径，ACCB，由ACBC知，CAB60，ACO为等边三角形，从而CDAO.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD平面ABC，又CD平面ABC，PDCD，由PDAOD得，CD平面PAB，又PA平
8、面PAB，PACD.3试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系提示垂直问题转化关系如下所示：【例3】如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点求证：(1)EN平面PDC；(2)BC平面PEB；(3)平面PBC平面ADMN.思路探究(1)证明ENDM；(2)由ADBC可证AD平面PEB；(3)利用(2)可证PB平面ADMN.证明(1)ADBC，BC平面PBC，AD平面PBC，AD平面PBC.又平面ADMN平面PBCMN，ADMN.又BCAD，MNBC.又
9、N是PB的中点，点M为PC的中点MNBC且MNBC，又E为AD的中点，MNDE，且MNDE.四边形DENM为平行四边形ENDM，且EN平面PDC，DM平面PDC.EN平面PDC.(2)四边形ABCD是边长为2的菱形，且BAD60，BEAD.又侧面PAD是正三角形，且E为AD中点，PEAD，BEPEE，AD平面PBE.又ADBC，BC平面PEB.(3)由(2)知AD平面PBE，又PB平面PBE，ADPB.又PAAB，N为PB的中点，ANPB.且ANADA，PB平面ADMN.又PB平面PBC.平面PBC平面ADMN.垂直关系的相互转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转
10、化每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：提醒：应用面面垂直的性质定理，注意三点：两个平面垂直是前提条件；直线必须在其中一个平面内；直线必须垂直于它们的交线3如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，ABBC，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点(1)求证：PABD；(2)求证：平面BDE平面PAC.证明(1)因为PAAB，PABC，ABBCB，所以PA平面ABC.又因为BD平面ABC，所以PABD.(2)因为ABBC，D为AC的中点，所以BDAC.由(1)知，PABD，又ACPAA，所以BD平面PAC.因为BD平面BDE，所以平面BDE平
11、面PAC.1本节课的重点是掌握两个平面互相垂直的定义和画法，理解并掌握两个平面垂直的判定定理与性质定理，并能解决有关面面垂直的问题难点是综合利用线面、面面垂直的判定定理与性质定理解决关于垂直的问题2本节课要重点掌握的规律方法(1)利用线面垂直的性质证明平行问题(2)应用面面垂直的判定与性质证明垂直问题(3)掌握垂直关系的转化3本节课的易错点是垂直关系转化中易出现转化混乱错误.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的一条直线不一定垂直于另一个平面()(2)如果两个平面互相垂直，那么过交线上的一点垂直于交线的直线，垂直于另一个平面()(3)如果两个平面互相垂
12、直，那么分别在两个平面内的两条直线分别垂直()答案(1)(2)(3)提示(1)正确(2)错误必须要在其中一个平面内作直线才能成立(3)错误可能平行，也可能相交或异面2下列命题中错误的是()A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面D如果平面平面，那么平面内垂直于交线的直线都垂直于平面，其他与交线不垂直的直线均不与平面垂直，故D项叙述是错误的3下列四个命题中，正确的序号有_，则；，则；，则；，则.不正确，如图所示，但，相交且不垂直4(2019全国卷
13、)图1是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB1，BEBF2，FBC60.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.图1图2(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACGD的面积解(1)由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE.又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE.(2)取CG的中点M，连接EM，DM.因为ABDE，AB平面BCGE，所以DE平面BCGE，故DECG.由已知，四边形BCGE是菱形，且EBC60得EMCG，故CG平面DEM. 因此DMCG.在RtDEM中，DE1，EM，故DM2.所以四边形ACGD的面积为4.- 12 - 版权所有高考资源网