1、高考资源网（） 您身边的高考专家1.1.7柱、锥、台和球的体积学 习 目 标核 心 素 养1.了解柱、锥、台和球的体积计算公式(重点)2能够运用柱、锥、台、球的体积公式求简单几何体的体积(重点)3台体的体积及简单几何体的体积计算(难点)1.通过学习柱、锥、台和球的体积公式，培养学生的数学运算核心素养2借助组合体的体积，提升直观想象的核心素养.1祖暅原理(1)“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”(2)作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等2柱体、锥体、台体和球的体积公式
2、其中S、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径名称体积(V)柱体棱柱Sh圆柱r2h锥体棱锥Sh圆锥r2h台体棱台h(SS)圆台h(r2rrr2)球R31若长方体的长、宽、高分别为3 cm、4cm、5cm，则长方体的体积为 ()A27 cm3B60 cm3C64 cm3D125 cm3B长方体的体积为34560(cm3)2圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为()A15B30C12D36C圆锥的高h4，故V32412.3若一个球的直径是12 cm，则它的体积为_cm3.288由题意，知球的半径R6 cm，故其体积VR363288(cm3)求柱体
3、的体积【例1】如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积解V六棱柱426248(cm3)，V圆柱32327(cm3)，V挖去圆柱12(32)5(cm3)，此几何体的体积：VV六棱柱V圆柱V挖去圆柱(4822)(cm3)计算柱体体积的关键及常用技巧1计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高2常用技巧：(1)充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，构造直角三角形，从而计算出底面积和高(2)由于柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与柱体是几棱柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系，
4、所以我们往往把求斜棱柱的体积通过作垂直于侧棱的截面转化成求直棱柱的体积1一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比解设正方体边长为a，圆柱高为h，底面半径为r，则有由得ra，由得rh2a2，V圆柱r2ha3，V正方体V圆柱a312.求锥体的体积【例2】如图三棱台ABCA1B1C1中，ABA1B112，求三棱锥A1ABC，三棱锥BA1B1C，三棱锥CA1B1C1的体积之比思路探究解设棱台的高为h，SABCS，则S4S.VSABChSh，VShSh.又V台h(S4S2S)Sh，VV台VVShSh，体积比为124.三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求
5、锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法2如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1ADC的体积是()A B C D1A三棱锥D1ADC的体积VSADCD1DADDCD1D.求台体的体积【例3】已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积是780 cm2.求正四棱台的体积思路探究可以尝试借助四棱台内的直角梯形求出棱台底面积和高，从而求出体积解如图所示，正四棱台ABCDA1B1C1D1中，A1B110 cm，AB20 cm.取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E是侧面ABB1A1的高设O1、O分别是上、下底面的中心，则四边形E
6、OO1E1是直角梯形由S侧4(1020)E1E780，得EE113，在直角梯形EOO1E1中，O1E1A1B15，OEAB10，O1O12，V正四棱台12(1022021020)2 800 (cm3)故正四棱台的体积为2 800 cm3.求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系3本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2 cm和4 cm，侧棱长为2 cm，求该棱台的体积”解如图，正四棱台ABCDA1B1C1D1中，上、下底面边长分别为2 cm和4 cm，则O1B1 cm，OB2 cm，过点B1作B1MOB于点M，那
7、么B1M为正四棱台的高，在RtBMB1中，BB12 cm，MB(2) (cm)根据勾股定理MB1(cm)S上224 (cm2)，S下4216(cm2)，V正四棱台(416)28 (cm3)求球的体积【例4】过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球的半径的一半，且ABBCCA3 cm，求球的体积和表面积思路探究解决本题要充分利用已知条件，尤其是球半径，截面圆半径和球心距构成的直角三角形解如图，设过A，B，C三点的截面为圆O，连接OO、AO、AO.ABBCCA3(cm)，O为正三角形ABC的中心，AOAB (cm)设OAR，则OOR，OO截面ABC，OOAO，AOR (cm)，R2(cm)
8、，V球R3(cm3)，S球4R216(cm2)即球的体积为 cm3，表面积为16 cm2.球的基本性质是解决与球有关的问题的依据，球半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法4如果三个球的半径之比是123，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的()A1倍B2倍C3倍D4倍C半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x,2x,3x，则最大球的半径为3x，其体积为(3x)3，其余两个球的体积之和为x3(2x)3，(3x)33.组合体的表面积和体积【例5】已知某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为()A24 B24 C
9、24 D24思路探究解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据A该几何体是一个长方体挖去一个半圆柱体，其体积等于32431224.求组合体的表面积与体积的方法1分析结构特征弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量2根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理利用“切割”、“补形”的方法求体积3根据设计的计算方法求值5如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A20 B24 C28 D32C由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.
10、由图得r2，c2r4，h4，由勾股定理得：l4，S表r2chcl416828.1本节课的重点是掌握柱体、锥体、台体和球的体积的求法，难点是组合体的表面积2本节课要重点掌握的规律方法(1)求空间几何体的体积的方法(2)求与组合体有关的体积的方法3本节课的易错点是求与三视图有关的几何体的体积时，易把相关数据弄错.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的某个平面所截，如果截得的两个截面面积相等，则这两个几何体的体积相等()(2)锥体的体积只与底面积和高度有关，与其具体形状无关()(3)由V锥体Sh，可知三棱锥的任何一个面都可以作为底面()答案(1
11、)(2)(3)2如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4，那么圆柱的体积等于()A B2C4 D8B设轴截面正方形的边长为a，由题意知S侧aaa2.又S侧4，a2.V圆柱22.3已知圆锥SO的高为4，体积为4，则底面半径r_.由已知得4r24，解得r.4一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥体积解如图所示，正三棱锥SABC.设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AHBC.ABC是边长为6的正三角形，AE63.AHAE2.在ABC中，SABCBCAE639.在RtSHA中，SA，AH2，SH.V正三棱锥SABCSH99.- 11 - 版权所有高考资源网