1、第 43 练 配凑法与构造法题型分析高考展望 配凑法是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同，解决有关不等式恒成立、不等式存在(有)解和方程有解中参数取值范围的一种方法两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知构造法解题有时虽然经历了一条曲折迂回的道路，并且往往经历了更多的巧思，联想，挖掘，但是它往往能独辟蹊径，顺利解决问题这有利于让学生形成挖掘题目隐含条件的良好习惯，有利于提高学生的创造性思维品质，从而提高创新意识，也有利于培养学生的研究能力高考必会题型题型一 配凑法例 1 已知函数 f(x)x33ax1 的导函数为 f(x)，g(x)f(x)ax3.
2、(1)若 xg(x)60 对一切 x2 恒成立，求实数 a 的取值范围；(2)若对满足 0a1 的一切 a 的值，都有 g(x)0 对一切 x2 恒成立a6x6x对一切 x2 恒成立，记 h(x)6x6x，则在 x2 上 ah(x)恒成立，h(x)66x2在 x2 上恒大于 0，h(x)6x6x在 x2 上单调递增，h(x)minh(2)15，a15.(2)g(x)3x23aax30 对一切 0a1 恒成立，若 x3，则 g(x)3x23aax3240 不满足，x，若 x3，则 a10 x3，则 a33x23x 对一切 0a1 恒成立33x23x 01x1，x，综上所述，0 x13151712
3、n1.解 构造函数 f(x)ln xx1x1(x0)，f(x)1xx1x1x12 x21xx120，函数 f(x)在(0，)上单调递增所以当 x1 时，有 f(x)f(1)0，即有 ln xx1x1(x1)，因而令 xk1k，则有 ln k1k 12k1，分别取 k1,2,3，可得，ln 21ln 32ln 43ln n1n13151712n1，即有 ln(n1)13151712n1.点评 构造法在高中数学中已有了比较广泛的应用，它是数学方法的有机组成部分是历年高考的重点和热点，主要依据题意，构造恰当的函数解决问题首先解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的
4、限制条件，用函数的观点加以分析，常可使问题变得明了，从而易于找到一种科学的解题途径其次数量关系是数学中的一种基本关系，现实世界的复杂性决定了数量关系的多元性因此，如何从多变元的数量关系中选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在变式训练 2 求证：ln 2 1n1 1n2 13n0)，f(x)1x1x2x1x2，函数 f(x)在(1，)上单调递增，在(0,1)上单调递减所以有 f(x)ln xx1x f(1)0，即 ln xx1x(x0)，令 x kk1，因而有 ln kk11k，即1kln(k1)ln k，所以有 1n1 1n2 13nln(3n
5、1)ln(n1)ln 3n1n1 ln 2.同理有 ln k1k 1k1，即 1k1ln(k1)ln k，所以有 1n1 1n2 13nln(3n)ln nln 3，故有 ln 2 1n1 1n2 13nb0)的离心率为12，其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若直线 l：ykxm 与椭圆 C 相交于 A，B 两点(A，B 不是左，右顶点)，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标解(1)左焦点(c,0)到点 P(2,1)的距离为 10，2c21 10，解得 c1.又 eca12，解得 a2，b2a2c23，
6、所求椭圆 C 的方程为x24y231.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由ykxm，x24y231，得(34k2)x28mkx4(m23)0，64m2k216(34k2)(m23)0，整理得 34k2m2.x1x28mk34k2，x1x24m2334k2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m23m24k234k2.以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0)，kADkBD1，y1x12y2x221，y1y2x1x22(x1x2)40，3m24k234k24m2334k2 16mk34k240.整理得 7m216mk4k20，解得 m12k，m22k7.
7、且满足 34k2m20.当 m2k 时，l：yk(x2)，直线过定点(2,0)与已知矛盾；当 m2k7 时，l：ykx27，直线过定点27，0.综上可知，直线 l 过定点，定点坐标为27，0.8已知函数 f(x)ln xa(x1)，aR.(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)当 x1 时，f(x)ln xx1恒成立，求 a 的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)1axx.若 a0，则 f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增，若 a0，则由 f(x)0，得 x1a，当 x(0，1a)时，f(x)0，当 x(1a，)时，f(x)0.f(x)在(0，1a)上单调递增，在(1a，)
8、上单调递减综上，当 a0 时，f(x)在(0，)上单调递增；当 a0 时，f(x)在(0，1a)上单调递增，在(1a，)上单调递减(2)方法一 f(x)ln xx1xln xax21x1，令 g(x)xln xa(x21)(x1)，则g(x)ln x12ax，令 F(x)g(x)ln x12ax，则 F(x)12axx，若 a0，F(x)0，g(x)在1，)上递增，g(x)g(1)12a0，g(x)在1，)上递增，g(x)g(1)0，从而 f(x)ln xx10，不符合题意若 0a0，g(x)在(1，12a)上递增，从而 g(x)g(1)12a0，g(x)在1，)上递增，g(x)g(1)0，从
9、而 f(x)ln xx10，不符合题意若 a12，F(x)0 在1，)上恒成立，g(x)在1，)上递减，g(x)g(1)12a0.从而 g(x)g(1)0，f(x)ln xx10，综上所述：a 的取值范围是12，)方法二 当 x1 时，f(x)ln xx1恒成立等价于 ln x ln xx1a(x1)，令 h(x)ln x ln xx1xln xx1，g(x)a(x1)，h(x)x1ln xx12，x1，h(x)0，即 h(x)在1，)上是增函数，g(x)a，当 a0 时，g(x)在1，)上是增函数又h(1)g(1)0，h(x)g(x)(x1)恒成立，只需 h(1)g(1)，即12a.故 a 的取值范围是12，)