1、（17） 向量的概念及向量的基本运算知识梳理1.平面向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a，b，或用，表示.（3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或|.（4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.（5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.（6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.（7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2.向量的加法：（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的
2、加法.（2）法则：三角形法则；平行四边形法则.（3）运算律：a+b=b+a；（a+b）+c=a+（b+c）.3.向量的减法：（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.（2）法则：三角形法则；平行四边形法则.4.实数与向量的积：（1）定义：实数与向量a的积是一个向量，记作a，规定：|a|=|a|.当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当=0时，a与a平行.（2）运算律：（a）=（）a，（+）a=a+a，（a+b）=a+b.5.向量的坐标运算：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则（4）设非零向量，则6.两个重要定理：（1）向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充
3、要条件是有且仅有一个实数，使得b=a，即bab=a（a0）.（2）平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且仅有一对实数1、2，使a=1e1+2e2.7.用向量表示三角形的各种心：（1）G为的重心，G为的重心，是BC边上的中线上的任意向量，过重心。,即已知AD是中BC边的中线。（2）P为的垂心。（3） P为的内心。 向量所在直线过的内心（是的角平分线所在直线）。（4）O为的外心。典例剖析【例1】在中，O为坐标原点，A，B，若,则_；【例2】 如图，G是ABC的重心，求证：+=0.【例3】 设、不共线，点P在AB上，求证：=+且+=1，、R
4、.【例4】 若a、b是两个不共线的非零向量（tR）.（1）若a与b起点相同，t为何值时，a、tb、（a+b）三向量的终点在一直线上?（2）若|a|=|b|且a与b夹角为60，那么t为何值时，|atb|的值最小?闯关训练1.若平面向量b与向量a=（1，2）的夹角是180，且|b|=3，则b等于( )A.（3，6）B.（3，6） C.（6，3）D.（6，3）2.已知向量a=（3，4），b=（sin，cos），且ab，则tan等于( )A.B.C.D.3.若ABCD为正方形，E是CD的中点，且=a，=b，则等于( )A.b+aB.ba C.a+bD.ab4.e1、e2是不共线的向量，a=e1+ke2
5、，b=ke1+e2，则a与b共线的充要条件是实数k等于( )A.0B.1C.2D.15.（2009年山东，理7）设P是所在平面内的一点，,则（ ）A.B.C.D.6.在四边形ABCD中，等于（ ）A.B.C.D.7.设四边形ABCD中，有=且|=|，则这个四边形是（ ）A.平行四边形B.矩形 C.等腰梯形D.菱形8.（2009宁夏海南卷文）已知，向量与垂直，则实数的值为（ ）ABCDEF图1A） （B） （C） （D）9.(2009湖南卷理)对于非0向量a,b, 则“”是“a/b”的 （ ）A充分不必要条件 B. 必要不充分条件C充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件10.（2009湖北卷文
6、）若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=（ ）A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b11.（2009湖南卷文）如图1， D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则（ ）A BC D 12.（2008广东理8）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若，则（ ）ABCD13.（2009江西卷文）已知向量， ，若 则= 14（2009江西卷理）已知向量，若，则= 15.（2009湖南卷文）如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则 ， : 16.（2009辽宁卷文）在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的ABDC,AD
7、BC,已知点A(2，0)，B（6，8），C(8,6),则D点的坐标为_.17.l1、l2是不共线向量，且a=l1+3l2，b=4l1+2l2，c=3l1+12l2，若b、c为一组基底，求向量a.18.设两向量e1、e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1、e2的夹角为60，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.19.已知向量a=2e13e2，b=2e1+3e2，其中e1、e2不共线，向量c=2e19e2.问是否存在这样的实数、，使向量d=a+b与c共线?20.如图所示，D、E是ABC中AB、AC边的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知=a，=b，试用a、
8、b分别表示、和. 21.在ABC中，AMAB=13，ANAC=14，BN与CM交于点E，=a，=b，用a、b表示.（17） 向量的概念及向量的基本运算知识梳理1.平面向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a，b，或用，表示.（3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或|.（4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.（5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.（6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.
9、（7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2.向量的加法：（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.（2）法则：三角形法则；平行四边形法则.（3）运算律：a+b=b+a；（a+b）+c=a+（b+c）.3.向量的减法：（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.（2）法则：三角形法则；平行四边形法则.4.实数与向量的积：（1）定义：实数与向量a的积是一个向量，记作a，规定：|a|=|a|.当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当=0时，a与a平行.（2）运算律：（a）=（）a，（+）a=a+a，（a+b）=a+b.5.向量的坐标运算（1）若，则
10、；（2）若，则；（3）若，则（4）设非零向量，则6.两个重要定理：（1）向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b=a，即bab=a（a0）.（2）平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且仅有一对实数1、2，使a=1e1+2e2.7.用向量表示三角形的各种心（1）G为的重心，G为的重心，是BC边上的中线上的任意向量，过重心。,即已知AD是中BC边的中线。（2）P为的垂心。（3） P为的内心。 向量所在直线过的内心（是的角平分线所在直线）。（4） O为的外心。典例剖析【例1】在中，O为坐标原点，A，B，若,则
11、_；答案：解析：因，可知以、为邻边的四边形为矩形，则,，又，所以【例2】 如图，G是ABC的重心，求证：+=0.剖析：要证+=0，只需证+=，即只需证+与互为相反的向量.证明：以向量、为邻边作平行四边形GBEC，则+=2.又由G为ABC的重心知=2，从而=2.+=2+2=0.评述：向量的加法可以用几何法进行.正确理解向量的各种运算的几何意义，能进一步加深对“向量”的认识，并能体会用向量处理问题的优越性.深化拓展此题也可用向量的坐标运算进行证明.【例3】 设、不共线，点P在AB上，求证：=+且+=1，、R.剖析：点P在AB上，可知与共线，得=t.再用以O为起点的向量表示.证明：P在AB上，与共线
12、.=t.=t（）.=+tt=（1t）+t.设1t=，t=，则=+且+=1，、R.评述：本例的重点是考查平面向量的基本定理，及对共线向量的理解及应用.深化拓展本题也可变为，不共线，若=+，且+=1，R，R，求证：A、B、P三点共线.提示：证明与共线.当=时，=（+），此时P为AB的中点，这是向量的中点公式.【例4】 若a、b是两个不共线的非零向量（tR）.（1）若a与b起点相同，t为何值时，a、tb、（a+b）三向量的终点在一直线上?（2）若|a|=|b|且a与b夹角为60，那么t为何值时，|atb|的值最小?解：（1）设atb=ma（a+b）（mR），化简得（1）a=（t）b.a与b不共线，t
13、=时，a、tb、（a+b）的终点在一直线上.（2）|atb|2=（atb）2=|a|2+t2|b|22t|a|b|cos60=（1+t2t）|a|2，t=时，|atb|有最小值|a|.评述：用两个向量共线的充要条件，可解决平面几何中的平行问题或共线问题.思考讨论两个向量共线与两条线段在一条直线上是否一样?闯关训练1.（2004年天津，理3）若平面向量b与向量a=（1，2）的夹角是180，且|b|=3，则b等于( )A.（3，6）B.（3，6） C.（6，3）D.（6，3）解析：易知a与b方向相反，可设b=（，2）（0）.又|b|=3=，解之得=3或=3（舍去）.b=（3，6）.答案：A2.（2
14、004年浙江，文4）已知向量a=（3，4），b=（sin，cos），且ab，则tan等于( )A.B.C.D.解析：由ab，3cos=4sin.tan=.答案：A3.若ABCD为正方形，E是CD的中点，且=a，=b，则等于( )A.b+aB.ba C.a+bD.ab解析：=+=+=ba.答案：B4.e1、e2是不共线的向量，a=e1+ke2，b=ke1+e2，则a与b共线的充要条件是实数k等于( )A.0B.1C.2D.1解析：a与b共线存在实数m，使a=mb，即e1+ke2=mke1+me2.又e1、e2不共线，k=1.答案：D5.（2009年山东，理7）设P是所在平面内的一点，,则（ ）A
15、.B.C.D.【解析】:因为，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。答案：B6.在四边形ABCD中，等于（ ）A.B.C.D.解析：=+=.答案：C7.设四边形ABCD中，有=且|=|，则这个四边形是（ ）A.平行四边形B.矩形 C.等腰梯形D.菱形解析：=，DCAB，且DCAB.又|=|，四边形为等腰梯形.答案：C8.（2009宁夏海南卷文）已知，向量与垂直，则实数的值为（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】向量（31，2），（1,2），因为两个向量垂直，故有（31，2）（1,2）0，即3140，解得：，故选.A。9.(2009湖南卷理)对于非0向量a,b, 则“”是“a/b”的
16、 （A）A充分不必要条件 B. 必要不充分条件C充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】：A【解析】由，可得，即得，但，不一定有，所以“”是“的充分不必要条件。10.（2009湖北卷文）若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b【答案】B【解析】由计算可得故选B11.（2009湖南卷文）如图1， D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则【 A 】ABCDEF图1A BC D 解: 得，故选A.或.12.（2008广东理8）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若，则（ ）ABCD
17、【解析】此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出,然后利用向量的加减法则易得答案B.13.（2009江西卷文）已知向量， ，若 则= 答案： 【解析】因为所以.14（2009江西卷理）已知向量，若，则= 答案：【解析】15.（2009湖南卷文）如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则 ， . 图2解:作,设，,由解得故16.（2009辽宁卷文）在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边ABDC,ADBC,已知点A(2，0)，B（6，8），C(8,6),则D点的坐标为_.【解析】平行四边形ABCD中, (2,0)(8,6)(6,8)(0,2) 即D点坐标为(0,2)【答案】（0
18、，2）17.l1、l2是不共线向量，且a=l1+3l2，b=4l1+2l2，c=3l1+12l2，若b、c为一组基底，求向量a.解：设a=1b+2c，即l1+3l2=1（4l1+2l2）+2（3l1+12l2），即l1+3l2=（4132）l1+（21+122）l2，解得1=，2=，故a=b+c.18.设两向量e1、e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1、e2的夹角为60，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.解：e12=4，e22=1，e1e2=21cos60=1，（2te1+7e2）（e1+te2）=2te12+（2t2+7）e1e2+7te22=2t
19、2+15t+7.2t2+15t+70.7t.设2te1+7e2=（e1+te2）（0）2t2=7t=，=.当t=时，2te1+7e2与e1+te2的夹角为.t的取值范围是（7，）（，）.思考讨论向量a、b的夹角为钝角，则cosa，b0，它们互为充要条件吗?培养能力19.已知向量a=2e13e2，b=2e1+3e2，其中e1、e2不共线，向量c=2e19e2.问是否存在这样的实数、，使向量d=a+b与c共线?解：d=（2e13e2）+（2e1+3e2）=（2+2）e1+（3+3）e2，要使d与c共线，则应有实数k，使d=kc，即（2+2）e1+（3+3）e2=2ke19ke2，由得=2.故存在这
20、样的实数、，只要=2，就能使d与c共线.20.如图所示，D、E是ABC中AB、AC边的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知=a，=b，试用a、b分别表示、和. 解：由三角形中位线定理，知DEBC.故=，即=a.=+=a+b+a=a+b，=+=+=a+ab=ab.探究创新21.在ABC中，AMAB=13，ANAC=14，BN与CM交于点E，=a，=b，用a、b表示.解：由已知得=，=.设=，R，则=+=+.而=，=+（）=+（）.=（）+.同理，设=t，tR，则=+=+t=+t（）=+t（）.=（）+t.（）+=（）+t.由与是不共线向量，得解得=+，即=a+b.评述：此题所涉及的量较多，且
21、向量与向量之间的关系较为复杂，因此对学生来说确有一定困难.通过共线向量，增加辅助量来理清向量之间关系是“探索”之所在，即对基本定理的深化及应用.思悟小结1.我们学习的向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.2.共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础.3.对于两个向量平行的充要条件：aba=b，只有b0才是正确的.而当b=0时，ab是a=b的必要不充分条件.4.向量的坐标表示体现了数形的紧密关系，从而可用“数”来证明“形”的问题.5.培养学生的观察、分析、归纳、抽
22、象的思维能力.教师下载中心教学点睛1.本课复习的重点是：理解向量的基本概念，掌握向量的加法、减法运算，掌握实数与向量的积的运算.2.复习时要构建良好的知识结构.3.向量的加法、减法运算既要注重几何运算，又要注重代数运算.4.强化数学思想的教学，尤其是数形结合思想、化归思想等.拓展题例【例题】 对任意非零向量a、b，求证：|a|b|ab|a|+|b|.证明：分三种情况考虑.（1）当a、b共线且方向相同时，|a|b|a+b|=|a|+|b|，|a|b|=|ab|a|+|b|.（2）当a、b共线且方向相反时，ab=a+（b），a+b=a（b），利用（1）的结论有|a|b|a+b|a|+|b|，|a|b|ab|=|a|+|b|.（3）当a，b不共线时，设=a，=b，作=+=a+b，=ab，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得|a|b|ab|a|+|b|.综上得证.
