1、2 排序不等式课时过关能力提升1.若 abc,则 a+2b+3c 与 3a+2b+c 的大小关系是()A.a+2b+3c3a+2b+cB.a+2b+3c3a+2b+cC.a+2b+3c3a+2b+cD.a+2b+3c21,进而由排序不等式得 3a+2b+ca+2b+3c,当且仅当 a=b=c 时取“=”号.答案:B2.若A 其中 都是正数 则 与 的大小关系是 A.ABB.AQD.P0,则 a2b2 即 根据排序不等式,知 即()()故 PQ(当且仅当 a=b 时,取“=”号).答案:A4.某班学生要开联欢会,需要买价格不同的礼品 4 件、5 件和 2 件.如果选择商店中单价为 3 元、2 元
2、和 1 元的礼品,那么花费最少和最多的值分别为 .解析:设花钱 y 元,则由排序不等式,有 51+42+23y53+42+21,即 19y25.答案:19 元和 25 元5.已知两组数 1,2,3 和 25,30,45.若 c1,c2,c3是 25,30,45 的一个排列,则 c1+2c2+3c3的最大值是 ,最小值是 .解析:c1+2c2+3c3的最大值应该是顺序和 125+230+345=220,最小值则为反序和145+230+325=180.答案:220 1806.设 a1,a2,an为正数,求证 a1+a2+an.分析先假设出大小关系,再利用排序不等式证明.证明由所证不等式的对称性,不
3、妨设 00,则 a2b2c2 则 a2 乱序和)a2 逆序和),同理 b2 乱序和)a2 逆序和).将两式相加再除以 2,得a+b+c 再考虑数组 a3b3c3及 仿上可证得 综上,原不等式成立.8.设 a,b,c 为正实数,求证:aabbcc(ab 证明设 abc0,则 lg alg blg c.根据排序不等式,有alg a+blg b+clg cblg a+clg b+alg c,alg a+blg b+clg cclg a+alg b+blg c,且 alg a+blg b+clg c=alg a+blg b+clg c.将以上三式相加,得3(alg a+blg b+clg c)(a+b
4、+c)(lg a+lg b+lg c),即 lg(aabbcc)lg(abc),即 aabbcc(ab 9.设 x0,求证:1+x+x2+x2n(2n+1)xn(nN+).分析题中只给出了 x0,但是对于 x1 或 0 x1 并不确定,因此,我们需要分类讨论.证明(1)当 x1 时,1xx2xn,由顺序和逆序和,得11+xx+x2x2+xnxn1xn+xxn-1+xn-1x+xn1,即 1+x2+x4+x2n(n+1)xn.又因为 x,x2,xn,1 为序列 1,x,x2,xn的一个排列,于是再次由乱序和逆序和,得1x+xx2+xn-1xn+xn11xn+xxn-1+xn-1x+xn1,得 x+x3+x2n-1+xn(n+1)xn.将和相加,得1+x+x2+x2n(2n+1)xn.(2)当 0 xxx2xn.仍然成立,于是也成立.综合(1)(2),原不等式成立.
