1、1.3充要条件与反证法夯实基础一、自主梳理1.充分条件：如果pq,则p叫q的充分条件.原命题(或逆否命题)成立,命题中的条件是充分的,也可称q是p的必要条件.2.必要条件：如果qp,则p叫q的必要条件，逆命题(或否命题）成立，命题中的条件为必要的，也可称q是p的充分条件.3.充要条件：如果既有pq,又有qp,记作pq,则p叫做q的充分必要条件，简称充要条件，原命题和逆命题(或逆否命题和否命题)都成立，命题中的条件是充要的.4.反证法：当直接证明有困难时，常用反证法.二、点击双基1条件甲：“a1”是条件乙：“a”的()A.既不充分也不必要条件 B.充要条件C.充分不必要条件 D.必要不充分条件解
2、析：a1,1.1,即a,即a1a.当a时，则1.a1,即aa1.故选B.答案：B2（2006四川成都检测）设p:x1,q:x1,则p是q的 ()A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:qppq;反之,pqqq.选A.答案:A3（2006北京西城模拟） 设a、bR,则“ab”是“a|b|”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:ab并不能得到a|b|.如2-5,但2|b|ab.故选B.答案:B4若条件p:a4,q:5a45a4,但显然a不满足5a0且b2-4ac0”的()A.充分不必要条件 B.必要不充
3、分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:若a0且b2-4ac0，反之，则不一定成立.如a=0,b=0且c0时，也有对任意xR，有ax2+bx+c0.因此应选A.答案:A实例点拨【例1】 2005山东高考,文 设集合A、B是全集U的两个子集,则AB是(A)B=U的 ()A.充分不必要条件出 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:运用文氏图.AB时,如图所示.则(A)B=U成立.当A=B时,如图所示.则(A)B=(B)B=U成立,即(A)B=U成立时,可有AB.答案:A讲评:本题主要考查集合的运算.借助文氏图可获解,也可举出特殊的集合来求解.【例2】 求证:关于x
4、的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充分必要条件是a+b+c=0.证明:(1）必要性，即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根，则a+b+c=0”.x=1是方程的根，将x=1代入方程，得a12+b1+c=0,即a+b+c=0.(2）充分性，即“若a+b+c=0,则x=1是方程ax2+bx+c=0的根”.把x=1代入方程的左边，得a12+b1+c=a+b+c.a+b+c=0,x=1是方程的根.综合(1)(2)知命题成立.链接拓展求ax2+2x+1=0(a0)至少有一负根的充要条件.解:必要性:(1)方程有一正根和一负根，等价于(2)方程有两负根，等价于综上,可知原方程至少有一负根的必要条件是a0或0a1.充分性:由以上推理的可逆性，知当a0时方程有异号两根；当0a1时，方程有两负根.故a0或01),求证:方程f(x)=0没有负数根.证法一:设存在x00(x0-1),满足f(x0)=0,则=-,且01,所以0-1,即x02.与假设x00矛盾,故方程f(x)=0没有负数根.证法二:设存在x00(x0-1),满足f(x0)=0.(1)若-1x00,则-2, 1,所以f(x0)-1与f(x0)=0矛盾;(2)若x00, 0,所以f(x0)0与f(x0)=0矛盾.故方程f(x)=0没有负数根.讲评:直接证明有困难时,往往采用反证法.
