1、224点到直线的距离1了解点到直线的距离公式的推导方法2掌握点到直线的距离公式，两条平行线间的距离公式3会求点到直线的距离，两平行线间的距离1点到直线的距离公式点P(x1，y1)到直线AxByC0的距离d(1)点P(x1，y1)到x轴的距离为d|y1|；(2)点P(x1，y1)到y轴的距离为d|x1|；(3)点P(x1，y1)到与x轴平行的直线ya(a0)的距离为d|y1a|；(4)点P(x1，y1)到与y轴平行的直线xb(b0)的距离为d|x1b|2两平行线间的距离设直线l1为AxByC10，直线l2为AxByC20(A，B不同时为0)，则两线间的距离d 1点(2，1)到直线l：x2y20的
2、距离为()AB C D0答案：B2直线l1：2x3y80与l2：2x3y100之间的距离d_答案：3直线l1：xy10与l2：2x2y50之间的距离d_答案：4当点P(x1，y1)在直线AxByC0上时，还适合点到直线的距离公式吗？解：适合点P在直线AxByC0上，则距离d0，且有Ax1By1C0，所以d0求点到直线的距离求点P(1，2)到下列直线的距离：(1)l1：yx3；(2)l2：y1；(3)y轴【解】(1)将直线方程化为一般式为xy30，由点到直线的距离公式，得d12(2)法一：直线方程化为一般式为y10，由点到直线的距离公式，得d23法二：因为y1平行于x轴(如图所示)，所以d2|1
3、2|3(3)y轴的方程为x0，由点到直线的距离公式，得d31 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式 (2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用(3)直线方程AxByC0，当A0或B0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合法求解求过点P(3，4)，且到原点距离为3的直线方程解：由题意可知当所求直线的斜率不存在时，x3，满足题意当所求直线的斜率存在时，设为yk(x3)4，化为一般式为kxy43k0，所以3，解得k所以直线方程为7x24y750综上，所求直线方程为x3或7x24y750求平行线间的距离(
4、1)求两平行线l1：3x4y10和l2：3x4y15间的距离(2)已知直线l1：3x4ya0与直线l2：6x8y0间的距离d3，求实数a的取值范围【解】(1)法一：若在直线l1上任取一点A(2，1)，则点A到直线l2的距离，即是所求的平行线间的距离所以d1法二：设原点到直线l1，l2的距离分别为|OF|、|OE|，结合图形(图略)可知，|OE|OF|即为所求所以|OE|OF|1法三：利用公式d，得d1(2)法一：直线l2的方程可以化为3x4y0，则由平行线之间的距离公式可得d，因为d3，所以3，所以|a|15所以a15或a15法二：在l2上取点(0，0)，则d3所以a15或a15两平行线间距离
5、的求法(1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以应用公式(2)应用两平行线间的距离公式d时，两直线方程必须是一般形式，而且x，y的系数对应相等 求与直线l：5x12y60平行且到l的距离为2的直线方程解：法一：设所求直线的方程为5x12ym0，因为两直线间的距离为2，所以2，所以m32或m20所以所求直线的方程为5x12y320或5x12y200法二：设所求直线的方程为5x12yC0在直线5x12y60上取一点P0，则点P0到直线5x12yC0的距离为d，由题意得2，则C32或C20所以所求直线的方程为5x12y320或5x12y200距离公式的综合运用已知A(4，3)，B(2
6、，1)和直线l：4x3y20，求一点P，使|PA|PB|，且点P到直线l的距离等于2【解】法一：设点P的坐标为P(a，b)，由|PA|PB|得，(4a)2(3b)2(2a)2(1b)2，化简得ab5，由点P到直线l的距离等于2，得2，由方程联立，解得，或所以，所求的点为P(1，4)或P(，)法二：设点P的坐标为P(a，b)，因为A(4，3)，B(2，1)，所以线段AB的中点M的坐标为(3，2)而直线AB的斜率kAB1，所以线段AB的垂直平分线方程为y(2)x3，即xy50而点P(a，b)在直线xy50上，故ab50由已知点P到l的距离为2，得2由方程联立，解得或所以，所求的点为P(1，4)或P
7、(，)解析几何的主要思想就是利用点的坐标反映图形的位置对于求点的问题，首先需设出点的坐标，根据题目中的条件，用点的坐标表示出来，列出方程组进行求解，即可得出所需结论 1动点P(x，y)在直线xy40上，O为原点，求|OP|最小时P点的坐标解：直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP1，所以OP所在直线方程为yx，由解得所以P点坐标为(2，2)2求过点P(1，2)且与原点距离最大的直线方程解：由题意知与OP垂直的直线到原点O的距离最大，因为kOP2，所以所求直线方程为y2(x1)，即x2y501点到直线距离公式的推导用到了解析几何中的常用方法“设而不求”
8、，希望在今后学习中注意这种方法在解题中的应用公式只与直线方程中的系数有关，因而它适合任意直线，在具体应用过程中，应将直线方程化为一般式，再套用公式2两平行线间的距离求法有两种：一是转化为点到直线的距离；二是直接使用两平行线间的距离公式d，但应注意两直线方程中x、y系数分别对应相等(即A1A2，B1B2)；若不相等，应化为相等，再使用3某些距离最值问题常使用数形结合法转化为点到直线的距离问题1求点到直线的距离时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，要先化成一般式再用公式2点P在直线l上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用，故应用公式时不必判断点P与直线l的位置关系3应用两条平行直线间的距离公式时
9、，应把直线方程化为一般形式，且使两条平行直线方程中x，y的系数分别对应相等4求两条平行线间的距离，通常转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离1原点到直线x2y50的距离为()A1BC2 D解析：选Dd2与直线2xy10平行且距离等于的直线方程为()A2xy0B2xy20C2xy0或2xy20D2xy0或2xy20解析：选D设与直线2xy10平行的直线方程为2xyC0，由两平行线间的距离公式得，所以|C1|1，所以C0或C2，故选D3直线2xy10与直线6x3y100的距离是_解析：直线2xy10可化为6x3y30，则d答案：4与直线3x4y10垂直，且与点(1，1)距离为2的直线方程
10、为_解析：设所求直线方程为4x3yC0则2，即|C7|10解得C3或C17故所求直线方程为4x3y30或4x3y170答案：4x3y30或4x3y170学生用书P119(单独成册)A基础达标1点P(1，1)到直线l：3y2的距离是()A3BC1 D解析：选B点P(1，1)到直线l的距离d，选B2已知点M(1，4)到直线l：mxy10的距离为3，则实数m()A0 BC3 D0或解析：选D点M到直线l的距离d，所以3，解得m0或m，选D3已知点A(1，3)，B(3，1)，C(1，0)，则ABC的面积等于()A3 B4C5 D6解析：选C设AB边上的高为h，则SABC|AB|h|AB|2，AB边上的
11、高h就是点C到直线AB的距离AB边所在的直线方程为，即xy40点C到直线xy40的距离为，因此SABC254已知点P(1t，13t)到直线l：y2x1的距离为，则点P的坐标为()A(0，2) B(2，4)C(0，2)或(2，4) D(1，1)解析：选C直线l：y2x1可化为2xy10，依题意得，整理得|t|1，所以t1或1当t1时，点P的坐标为(2，4)；当t1时，点P的坐标为(0，2)，故选C5若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则l1，l2间的距离是()A BC4 D2解析：选B因为l1l2，所以解得a1所以l1的方程为xy60，l2的方程为3x3y20，即xy0，所以
12、l1，l2间的距离是6经过两直线x3y100和3xy0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为_解析：设所求直线l的方程为x3y10(3xy)0，即(13)x(3)y100，因为原点到直线的距离d1，所以3，即直线方程为x1或4x3y50，所以和原点相距为1的直线的条数为2答案：27已知xy30，则的最小值为_解析：设P(x，y)，A(2，1)，则点P在直线xy30上，且|PA|PA|的最小值为点A(2，1)到直线xy30的距离d答案：8已知ABC中，A(3，2)，B(1，5)，点C在直线3xy30上，若ABC的面积为10，则点C的坐标为_解析：设C(x，y)，由|AB|5，ABC的面积为10，
13、得点C到直线AB的距离为4，又线段AB所在直线方程为3x4y170所以解得或所以点C的坐标为(1，0)或答案：(1，0)或9如图，在ABC中，顶点A、B和内心I的坐标分别为A(9，1)、B(3，4)、I(4，1)，求顶点C的坐标解：AB边所在直线方程为，即x2y110由于内心I到直线AB的距离等于内切圆半径r，则r设AC边所在直线的方程为y1k(x9)，即kxy19k0又I到直线AC的距离也是，所以，解得k因为kAB，所以k故AC所在直线的方程为y1(x9)，即x2y70同理，可求BC边所在直线方程为2xy20解方程组得故点C坐标为(1，4)10已知正方形的中心为直线xy10和2xy20的交点
14、，正方形一边所在直线方程为x3y20，求其他三边所在直线的方程解：由解得所以中心坐标为(1，0)所以中心到已知边的距离为 设正方形相邻两边方程为x3ym0和3xyn0因为正方形中心到各边距离相等，所以和 所以m4或m2(舍去)，n6或n0所以其他三边所在直线的方程为x3y40，3xy0，3xy60B能力提升11P、Q分别为直线3x4y120与6x8y60上任意一点，则|PQ|的最小值为()A BC3 D6解析：选C法一：|PQ|的最小值是这两条平行线间的距离，在直线3x4y120上取点(4，0)，然后利用点到直线的距离公式得|PQ|的最小值为3法二：|PQ|的最小值即为两平行直线6x8y240
15、与6x8y60的距离d3，故选C12直线x2y10关于直线x1对称的直线方程是()Ax2y10 B2xy10C2xy30 Dx2y30解析：选D设所求直线上任一点(x，y)，则它关于x1对称的点(2x，y)在直线x2y10上，所以2x2y10，即x2y30故选D13已知直线l经过直线l1：2xy50与l2：x2y0的交点(1)若点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y50，因为点A(5，0)到l的距离为3，所以3，即22520，所以2或，所以l的方程为x2或4x3y
16、50(2)由解得交点P(2，1)，如图，过P作任意一直线l，设d为点A到l的距离，则d|PA|(当lPA时等号成立)所以dmax|PA|14(选做题)已知直线l：x2y80和两点A(2，0)，B(2，4)(1)在直线l上求一点P，使|PA|PB|最小；(2)在直线l上求一点P，使|PB|PA|最大解：(1)设A关于直线l的对称点为A(m，n)，则解得故A(2，8)因为P为直线l上的一点，则|PA|PB|PA|PB|AB|，当且仅当B，P，A三点共线时，|PA|PB|取得最小值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，则得故所求的点P的坐标为(2，3)(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则|PB|PA|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时，|PB|PA|取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，直线AB的方程为yx2，则得故所求的点P的坐标为(12，10)