1、22直线的方程221直线方程的概念与直线的斜率1了解直线的方程与方程的直线的概念2理解直线的倾斜角和斜率的概念3掌握过两点的直线斜率的计算公式1直线的方程与方程的直线的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线2直线的倾斜角与斜率名称斜率倾斜角定义直线ykxb中的系数k叫做这条直线的斜率x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角关系当k0时，直线与x轴平行或重合当k0时，倾斜角为锐角当k0时，倾斜角为钝角特别地，当倾斜角为直角时，斜率k不存在3斜率的计算公式若A(x1，y1)，B(x
2、2，y2)且x1x2，令xx2x1，yy2y1，则斜率的计算公式k(x1x2)1若直线x1的倾斜角为，则()A等于0B等于45C等于90 D不存在答案：C2直线l经过原点和(1，2)，则直线l的斜率等于解析：k2答案：23过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)且x1x2的直线的倾斜角和斜率怎样？解：此时，倾斜角为90，斜率不存在直线的倾斜角(1)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A45B135C135D当0135时，倾斜角为45；当135180时，倾斜角为135(2)已知直线l1的倾斜角115，直线l1与l2的交
3、点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120，如图，则直线l2的倾斜角为【解析】(1)因为0180，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意，通过画图(如图所示)可知：当0135时，l1的倾斜角为45；当135180时，l1的倾斜角为45180135故选D(2)设直线l2的倾斜角为2，因为l1和l2向上的方向所成的角为120，所以BAC120，所以21201135【答案】(1)D(2)135分类讨论思想求直线的倾斜角(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论(2)结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关
4、推论 一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为(090)，则其倾斜角为()AB180C180或90 D90或90解析：选D如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90故选D求直线的斜率已知直线l经过两点A(2，1)，B(t，4)，求直线l的斜率【解】(1)当t2时，x1x22，直线l与x轴垂直，所以直线l的斜率不存在(2)当t2时，直线l的斜率k综上所述，当t2时，斜率不存在；当t2时，k应用斜率公式求斜率应注意的问题(1)运用公式的前提条件是“x1x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；(2)斜率
5、公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置 1过点P(2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为解析：由斜率公式k1，得m1答案：12已知过两点A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角为135，则y解析：直线AB的斜率ktan 1351，又k，由1，得y5答案：5三点共线问题求证：A(1，1)，B(2，7)，C(0，3)三点共线【证明】因为A(1，1)，B(2，7)，C(0，3)，所以kAB2，kAC2所以kABkAC因为直线AB与直线AC的倾斜角相同且过同一点A，所以直线AB与直线AC为同一直线故A，B，C三点共线用斜率公式解决三点共线
6、问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于x轴当任意两点的连线垂直 于x轴，且过同一点时，三点共线否则，直线的斜率存在，只要证明过同一点的两直线的斜率相等即可如果三点A(2，1)，B(2，m)，C(6，8)在同一条直线上，求m的值解：kAB，kAC，因为A、B、C三点共线，所以kABkAC，即，所以m61理解直线的倾斜角应弄清的几个问题(1)倾斜角定义中含有三个条件：x轴正向；直线向上的方向；小于180的非负角(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角(3)直线的倾斜角的取值范围是：01802求直线倾斜角的方法(1)定义法：根据题意画出图形，结
7、合倾斜角的定义找倾斜角(2)分类法：根据题意把倾斜角分为以下四类讨论：0，090，90，901803对斜率公式的认识(1)斜率公式从数的角度分析了直线的倾斜程度，体现了用代数的方法刻画几何图形的思想因此，以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(2)斜率公式与P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的先后顺序无关，即x1与x2，y1与y2可以同时互换位置，但分子分母不可以互换(3)利用斜率公式计算斜率比先求直线的倾斜角再求直线的斜率更方便任一直线均有倾斜角，0，180)，但并不是所有的直线都有斜率当90时，斜率不存在有关斜率的问题要分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论1直线l过点M(
8、，)，N(，)，则l的斜率为()AB1C D解析：选Bl的斜率为12对于下列命题若是直线l的倾斜角，则0180；若k是直线的斜率，则kR；任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率；任一条直线都有斜率，但不一定都有倾斜角 其中正确命题的个数是()A1 B2C3 D4答案：C3a、b、c是两两不等的实数，则经过P(b，bc)、C(a，ca)的直线的倾斜角为解析：因为k1，所以倾斜角为45答案：454如图，设直线AB，BC，CD的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为答案：k1k2k3学生用书P109(单独成册)A基础达标1关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是()A直线的倾斜角
9、越大，它的斜率越大B平行于x轴的直线的倾斜角为0或180C若一条直线的倾斜角为，则它的斜率ktan D直线斜率的取值范围是(，)答案：D2直线l过(m，n)，(n，m)两点，其中mn，mn0，则()Al与x轴垂直Bl与y轴垂直Cl的倾斜角为45Dl的倾斜角为135解析：选D由斜率公式可得k1，即tan 1，所以135故选D3若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1 Dk1k3k2解析：选D由题图可知k10，k30，又由当倾斜角为锐角时，倾斜角越大，斜率越大，得k2k3，所以k1k3k24经过两点A(2，1)，B(1，m)的直线的倾
10、斜角为锐角，则m的取值范围是()Am1C1m1或m0，即1m0，所以mbc0，则，的大小关系为()A B Dbc0，所以，故选B13若直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，求直线l的斜率解：设P(a，b)为l上任一点，经过平移后，点P到达点Q(a3，b1)，此时直线PQ与l重合，故l的斜率kkPQ14(选做题)已知实数x，y满足yx22x2(1x1)，试求的最大值和最小值解：由的几何意义和已知，可知它表示经过定点P(2，3)与曲线AB上任意一点(x，y)的直线的斜率k，如图所示，kPAkkPB由已知可得A(1，1)，B(1，5)，所以kPA，kPB8所以k8，故的最大值为8，最小值为