1、第三章 函数的概念与性质 3.2 函数的基本性质 3.2.2 奇偶性 第1课时 奇偶性的概念 学 习 目 标核 心 素 养 1.理解奇函数、偶函数的定义2了解奇函数、偶函数图象的特征3掌握判断函数奇偶性的方法.1.借助奇(偶)函数的特征，培养直观想象素养2借助函数奇、偶的判断方法，培养逻辑推理素养情 景 导 学 探 新 知 在我们日常生活中，可以观察到许多对称现象：美丽的蝴蝶，盛开的花朵，水中的倒影，再观察一下函数f(x)x2和f(x)1x的图象，我们发现，函数f(x)x2的图象关于y轴对称，而函数f(x)1x的图象关于原点对称问题：如何用数量关系来刻画函数图象的这种对称性呢？提示：若函数 f
2、(x)满足 f(x)f(x)，则 f(x)的图象关于 y 轴对称；若函数 f(x)满足 f(x)f(x)，则 f(x)的图象关于原点对称函数的奇偶性 奇偶性偶函数奇函数 条件设函数 f(x)的定义域为 I，如果xI，都有xI 结论f(x)f(x)f(x)f(x)图象特点关于对称关于对称 原点y轴思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？提示：定义域关于原点对称1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)函数 f(x)x2，x0，)是偶函数()(2)对于函数 yf(x)，若存在 x，使 f(x)f(x)，则函数 yf(x)一定是奇函数()(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数()(4)若函数
3、的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数()答案(1)(2)(3)(4)2下列函数是偶函数的是()AyxBy2x23Cy 1xDyx2，x0,1B 选项 C、D 中函数的定义域不关于原点对称，选项 A 中的函数是奇函数，故选 B.3下列图象表示的函数具有奇偶性的是()A B C DB B 选项的图象关于 y 轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性4函数 yf(x)，x1，a(a1)是奇函数，则 a 等于()A1 B0C1D无法确定C 奇函数的定义域关于原点对称，a10，即 a1.合 作 探 究 释 疑 难 函数奇偶性的判断【例 1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x4；(2)
4、f(x)x5；(3)f(x)x1x；(4)f(x)1x2.解(1)函数 f(x)x4 的定义域为 R.因为xR，都有xR，且 f(x)(x)4x4f(x)，所以，函数 f(x)x4 为偶函数(2)函数 f(x)x5 的定义域为 R.因为xR，都有xR，且 f(x)(x)5x5f(x)，所以，函数 f(x)x5 为奇函数(3)函数 f(x)x1x的定义域为x|x0 因为xx|x0，都有xx|x0，且 f(x)x 1xx1x f(x)，所以，函数 f(x)x1x为奇函数(4)函数 f(x)1x2的定义域为x|x0 因为xx|x0，都有xx|x0，且 f(x)1x21x2f(x)，所以，函数 f(x
5、)1x2为偶函数判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法：(2)图象法：跟进训练1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x3x；(2)f(x)1x2 x21；(3)f(x)2x22xx1；(4)f(x)x1，x0.解(1)函数的定义域为 R，关于原点对称 又 f(x)(x)3(x)(x3x)f(x)，因此函数 f(x)是奇函数(2)由1x20，x210得 x21，即 x1.因此函数的定义域为1,1，关于原点对称 又 f(1)f(1)f(1)0，所以 f(x)既是奇函数又是偶函数(3)函数 f(x)的定义域是(，1)(1，)，不关于原点对称，所以 f(x)既不是奇函数也不是偶函数(4)函数 f(x)的
6、定义域为 R，关于原点对称 f(x)x1，x0，即 f(x)x1，x0，0，x0，x1，x0.于是有 f(x)f(x)所以 f(x)为奇函数奇偶函数的图象问题【例 2】已知奇函数 f(x)的定义域为5,5，且在区间0,5上的图象如图所示(1)画出在区间5,0上的图象；(2)写出使 f(x)0 的 x 的取值集合解(1)因为函数 f(x)是奇函数，所以 yf(x)在5,5上的图象关于原点对称 由 yf(x)在0,5上的图象，可知它在5,0上的图象，如图所示 (2)由图象知，使函数值 y0 的 x 的取值集合为(2，0)(2,5)(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题解(1)
7、如图所示：(2)由(1)可知，使函数值y0的x的取值集合为(5，2)(2,5)巧用奇、偶函数的图象求解问题 1依据：奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于 y 轴对称.2求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.跟进训练2如图是函数 f(x)1x21在区间0，)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数 f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据解 因为 f(x)1x21，所以 f(x)的定义域为 R.又对任意 xR，都有 f(x)1x211x21f(x)，所以 f(x)为偶函数所以 f(x)的图象关于 y 轴对称，其图象如图所示 利用函数的奇偶性求值 探究问题
8、1对于定义域内的任意 x，若 f(x)f(x)0，则函数 f(x)是否具有奇偶性？若 f(x)f(x)0 呢？提示：由 f(x)f(x)0 得 f(x)f(x)，f(x)为奇函数 由 f(x)f(x)0 得 f(x)f(x)，f(x)为偶函数2若 f(x)是奇函数且在 x0 处有定义，则 f(0)的值可求吗？若f(x)为偶函数呢？提示：若 f(x)为奇函数，则 f(0)0；若 f(x)为偶函数，无法求出f(0)的值【例 3】(1)若函数 f(x)ax2bx3ab 是偶函数，定义域为a1,2a，则 a_，b_；(2)已知 f(x)x7ax5bx3cx2，若 f(3)3，则 f(3)_.思路点拨(
9、1)fx是偶函数 定义域关于原点对称求a的值 图象关于y轴对称求b的值 (1)13 0(2)7 (1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a12a，解得a13.又函数f(x)13 x2bxb1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b0.(2)令g(x)x7ax5bx3cx，则g(x)是奇函数，f(3)g(3)2g(3)2，又f(3)3，g(3)5.又f(3)g(3)2，所以f(3)527.利用奇偶性求参数的常见类型及策略 1定义域含参数：奇、偶函数fx的定义域为a，b，根据定义域关于原点对称，利用ab0求参数.2解析式含参数：根据fxfx或fxfx列式，比较系数即可求解.跟进训练3若f(x)(
10、xa)(x4)为偶函数，则实数a_.4 法一：f(x)(xa)(x4)x2(a4)x4a，f(x)(xa)(x4)x2(a4)x4a，两式恒相等，则a40，即a4.法二：f(x)(xa)(x4)x2(a4)x4a，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为0，即a40，则a4.课 堂 小 结 提 素 养 1理解1个概念函数的奇偶性(1)定义域特点：关于原点对称；(2)图象特点：偶函数关于y轴对称；奇函数关于原点对称；(3)解析式特点：偶函数满足f(x)f(x)或f(x)f(x)0，奇函数满足f(x)f(x)或f(x)f(x)0.2掌握2种方法判断函数奇偶性的方法(1)定义法；(2)图象法3规避
11、1个误区忽略函数的定义域的对称性，只有定义域关于原点对称，才可能具有奇偶性1若函数yf(x)，x2，a是偶函数，则a的值为()A2 B2C0D不能确定B 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以2a0，所以a2.2函数f(x)|x|1是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数B f(x)|x|1|x|1f(x)，f(x)为偶函数3已知函数f(x)ax22x是奇函数，则实数a_.0 f(x)为奇函数，f(x)f(x)0，2ax20对任意xR恒成立，所以a0.4下列函数中，是偶函数的有_(填序号)f(x)x3；f(x)1x2；f(x)x1x；f(x)x2，x1,2 对于，f(x)x3f
12、(x)，则为奇函数；对于，定义域为x|x0，关于原点对称，f(x)1x2 1x2f(x)，则为偶函数；对于，定义域为x|x0，关于原点对称，f(x)x 1x f(x)，则为奇函数；对于，定义域为1,2，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数5已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)x22x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示(1)请补出完整函数yf(x)的图象；(2)根据图象写出函数yf(x)的增区间；(3)根据图象写出使f(x)0的x的取值集合解(1)由题意作出函数图象如图：(2)据图可知，单调增区间为(1,0)，(1，)(3)据图可知，使f(x)0的x的取值集合为(2,0)(0,2)点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
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