1、第6讲 函数y=Asin(wx+)的图像与性质及三角函数模型的简单应用知 识 梳理 形如的函数：（1）几个物理量：A振幅；频率（周期的倒数）；相位；初相；（2）函数表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，（3）函数图象的画法：“五点法”设，令0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法。（4）函数的图象与图象间的关系：函数的图象纵坐标不变，横坐标向左（0）或向右（0）平移个单位得的图象；函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象；函数图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数的图象；函数图象的横坐标不变，纵坐标
2、向上（）或向下（），得到的图象。要特别注意，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位，（5）研究函数性质的方法：类比于研究的性质，只需将中的看成中的，但在求的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。重 难 点 突 破 1.重点：熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则处理与图象间的关系2.难点：将三角函数式化为的过程以及已知的图象求参数的过程3.重难点：合理利用三角变换公式化简三角函数解析式，分析图象特征求参数值，研究三角函数的性质以及解析一些实际问题。(1).三角函数的性质要熟记。问题1 (广东省五校2008年高三上期末联考)定义行列式运算=. 将函数的图象向左平移（）个单位,
3、所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值为 ABCD点拨:本题考查了信息的处理、迁移和应用能力以及三角函数的基础知识=2cos(x+) 左移 n 2cos(x+n+) , 因此，n=选C（2）对三角函数图像的对称性和平移变换要熟练掌握问题2. (潮州市20082009学年度第一学期高三级期末质量检测)已知函数的一部分图象如右图所示，则函数可以是A B C D 点拨:用代入法,结合周期为及对称性可知选D（3）重视三角函数的应用题问题3. 某港口水的深度（米）是时间 (,单位：时)的函数，记作, 下面是某日水深的数据：t/h03691215182124y/m10.013.09.97.010.013.
4、010.17.010.0经常期观察，的曲线可以近似的看成函数的图象，根据以上的数据，可得函数的近似表达式为 . 解析:从表可以看出，当t0时，y10，且函数的最小正周期b10，由得，由时得,的近似表达式为，热 点 考 点 题 型 探 析考点1函数图象变换问题题型:将几何条件转化为参数的值.例1（2008广东省惠州市高三第二次调研考试 ）将函数的图象先向左平移，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（ ）A B CD【解题思路】直接按变换法则进行转化解析的图象先向左平移，横坐标变为原来的倍选【名师指引】三角函数图象变换问题一般步骤是先平移再伸缩
5、.【新题导练】1（2008东莞五校联考题）将函数的图像向左平移个单位，得到的图像，则等于（ ）A、B、 C、 D、解析C将函数的图像向左平移个单位，得到2我们知道，函数的图象经过适当变换可以得到的图象，则这种变换可以是A沿x轴向右平移个单位 B沿x轴向左平移个单位 C沿x轴向左平移个单位 D沿x轴向右平移个单位解析：选B考点2确定函数解析式问题题型1:分析图形定参数yx11O例1.(08海南、宁夏省) 已知)在区间的图像如下：那么（ ）A1B2 CD 【解题思路】在解析式中的值由周期确定,从图象分析周期为【解析】由图象知函数的周期，所以答案：B【名师指引】确定函数的解析式就是确定其中的参数等，
6、从图像的特征上寻找答案，它的一般步骤是:主要由最值确定，是由周期确定，周期通过特殊点观察求得，可由点在函数图像上求得，确定值时，注意它的不唯一性，一般要求中最小的题型2.分析图象特征确定参数再求值例2.（广东省实验中学2008学年高三第二次阶段测试试已知向量，（），函数且f(x) 图像上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点的坐标为. ( 1 )求f(x)的解析式。（2）在ABC中，是角所对的边，且满足，求角B的大小以及f(A)取值范围。【解题思路】将条件代入求参数,分析角之间的关系求值.解析：() 1分2分3分f(x) 图像上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点的坐标为.,所以,于是4
7、分5分（2），7分又， 8分， ，可知 10分 12分【名师指引】.按确定的解析式的一般步骤定参数.题型3. 分析图表确定参数再研究函数的性质例3. 已知函数的一系列对应值如下表：（1）根据表格提供的数据求函数的一个解析式；（2）根据（1）的结果，若函数周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围；【解题思路】分析图表发现周期性、最值、对称点坐标确定参数.借助数形结合讨论方程的解.解：（1）设的最小正周期为，得 . 2分由得 又，解得 . 3分令，即，解得 . 5分（2）函数的周期为又 . 6分令， . 8分如图在上有两个不同的解的充要条件是方程在时恰好有两个不同的解的充要条件是，即实
8、数的取值范围是 . 12分【名师指引】高考中三角函数的大题往往在知识的交汇处入手.【新题导练】3函数的图像的两个相邻零点为和，且该函数的最大值为2，最小值为2，则该函数的解析式为（ ）A、 B、C、 D、解析A 由图像的两个相邻零点为和得，由最大值为2，最小值为2知，又函数过点得，故，而，故，从而所求函数为4若函数的图像（部分）如下图所示，则和的取值是（ ）A、 B、 C、 D、解析C 由解出即可5.已知函数(，)为偶函数，且其图像上相邻的一个最高点和最低点之间距离为.求的解析式；若，求的值。解析：设最高点为，相邻的最低点为，则|x1x2|=，（3分） ， 是偶函数，.， (6分)， (8分)
9、原式考点3三角函数模型的简单应用题型1. 形如的建模例1（2006广东模拟）如图某地夏天从814时用电量变化曲线近似满足函数（1）求这一天的最大用电量及最小用电量；（2）写出这段曲线的函数解析式【解题思路】在实际背景中抽取出基本的数学关系是解题的关键所在解析（1）最大用电量为50万度，最小用电量为30万度（2）观察图像可知，从814时的图像是的半个周期的图像，将代入上式，解得所求解析式为 【名师指引】将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型题型2. 分析平面图形建立三角函数模型例2如图，是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位
10、圆上， ,四边形的面积为（）求的最大值及此时的值；（）设点的坐标为，在（）的条件下，求【解题思路】由单位圆联想到三角函数的定义解析：（）由已知，的坐标分别为，又故的最大值的最大值是，此时（）【名师指引】分析实际问题时,若发现变量既与长度有关又与角度有关时,可考虑将变量设成角度.题型3.利用三角与函数综合知识建立模型例3. 如图,某小区准备在一直角围墙内的空地上植造一块“绿地”,其中长为定值, 长可根据需要进行调节(足够长).现规划在的内接正方形内种花,其余地方种草,且把种草的面积与种花的面积的比值称为“草花比”.()设,将表示成的函数关系式； ()当为多长时,有最小值?最小值是多少? 【解题思
11、路】由条件知需找到边与角的关系,分析图形建模. 解:()因为,所以的面积为() 设正方形的边长为,则由,得,解得,则 所以,则 ()因为,所以 当且仅当时取等号,此时.所以当长为时,有最小值1【名师指引】三角与函数综合知识建立模型是近两年高考的热点题型之一.【新题导练】6.某港口的水深（米）是时间（024，单位：小时）的函数，下面是不同时间的水深数据：根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图像（1）试根据以上数据，求出的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于45米时是安全的，如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能
12、够安全进港?若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间?（忽略进出港所用的时间）? 解析（1）从拟合曲线可知：函数在一个周期内由最大变到最小需936小时，此为半个周期，所以函数的最小正周期为12小时，因此又当时，；时，；故于是所求的函数表达式为了 （2）由于船的吃水深度为7米，船底与海底的距离不少于45米,故在船舶航行时水深应大于等于745115（米）令故取0，则15；取1，则1317；而取2时，则2529（不合题意）从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1点（1点到5点都可以）进港，而下午的17点（即13点到17点之间）前离港，在港内停留的时间最长为16小时
13、7.已知中，120记，（1）求关于的表达式；（2）求的值域；解：（1）由正弦定理有：；，；（2）由；抢 分 频 道 基础巩固训练1（广东省六校2009届高三第二次联考试）将函数的图象先向左平移，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（ ）A B C D 解析：将函数的图象先向左平移得，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的倍得选C2函数是上的偶函数，则的值是（ ）A B C D 解析：C 当时，而是偶函数3. 函数的图象如图，则的解析式和的值分别为（ ）A ， B ， C ， D ， 解析：B 观察图形知，只知 ， ， ， ，且以4为周
14、期， ， .4若在区间上的最大值是，则=_ 解析：5（广东省北江中学2009届高三上学期12月月考）已知的图象如右图04（）求的解析式；（）说明的图象是由的图象经过怎样的变换得到?解: ( 1) 由图知A= 4由,得 所以由 ,得所以, (2) 由得图象向左平移单位得的图象 再由图象的横坐标缩短为原来得的图象由的图象纵坐标伸长为原来的4倍得的图象 综合拔高训练6已知存在实数（其中）使得函数是奇函数，且在上是增函数。（1）试用观察法猜出两组与的值，并验证其符合题意；（2）求出所有符合题意的与的值。解：（1）猜想：或；-4分由知，而为奇函数且在上是增函数。-6分由知，而为奇函数且在上是增函数。-8
15、分（2）由为奇函数，有所以，又，解得。-10分当时，为奇函数，由于在上是增函数，所以，由，又在上是增函数，故有，且或，故。-12分当时，为奇函数，由于在上是增函数，所以，由，又在上是增函数，故有，且或2，故 -14分所以所有符合题意的与的值为：或-16分7已知矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=12，将矩形纸片的右下角折起，使该角的顶点B落在矩形的边AD上，且折痕MN的两端点，M、N分别位于边AB、BC上，设。ABCDMN（）试将表示成的函数；（）求的最小值。如图所示，则MB=，由题设得：+=6从而得即 ， 设：则，即，令，得当时，当时，所以当时，取到最大值：的最小值为8如图所示的等腰梯形是一个简易水槽的横断面，已知水槽的最大流量与横断面的面积成正比，比例系数为().aaa（）试将水槽的最大流量表示成关于函数；（）求当多大时，水槽的最大流量最大.解：（1）设水槽的截面面积为S，则S则，。（2）因为，令0，则2+-1=0,解得或-1。由于0，得-1，所以，此时因为0时，0；时，0；所以，当时，水槽的流量最大。