1、第2课时 等差数列 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 2第2课时双基研习面对高考 基础梳理 1等差数列的基本问题(1)定义 如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的差等于_，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_，通常用字母_表示，定义的表达式为_.同一个常数公差dan1and2(2)通项公式如果等差数列an的首项为 a1，公差为 d，那么通项公式为 an_.(3)等差中项如果 a，A，b 成等差数列，那么_叫做 a 与 b的等差中项且_.a1(n1)dAAab2Aab2 是 a，A，b 成等差数列的什么条件？思考感悟提示：充要条件Aab2 2AabAab
2、Aa，A，b 成等差数列反之，若 a，A，b 成等差数列，则 Aab2.故 Aab2 是 a，A，b 成等差数列的充要条件(4)前 n 项和公式Snna1n(n1)2d_.(a1an)n22等差数列的性质 已知数列an是等差数列，Sn是其前n项和(1)若mnpq，则_.特别地：若mn2p，则aman2ap.(2)am，amk，am2k，am3k，仍是等差数列，公差为_.(3)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列 amanapaqkd课前热身 答案：A 1an是首项a11，公差d3的等差数列，若an292，则序号n等于()A98 B99 C100D101 答案：A 2(2010年高考
3、重庆卷)在等差数列an中，a1a910，则a5的值为()A5B6 C8D10 答案：B 3(教材习题改编)在等差数列an中Sn为其前n项和，且S312，a57，则S8等于()A31B52 C69D92 4已知数列的通项an5n2，则其前n项和Sn_.答案：5n2n25已知数列an中，a11，1an1 1an13，则 a10 等于_答案：14考点探究挑战高考 等差数列的判定考点突破 证明一个数列an是等差数列的基本方法有两种：一是利用等差数列的定义法，即证明an1and(nN*)，二是利用等差中项法，即证明：an2an2an1(nN*)在选择方法时，要根据题目条件的特点，如果能够求出数列的通项公
4、式，则可以利用定义法，否则，可以利用等差中项法 例1已知数列an的通项公式anpn2qn(p、qR，且p、q为常数)(1)当p和q满足什么条件时，数列an是等差数列？(2)求证：对任意实数p和q，数列an1an是等差数列【思路分析】(1)直接运用定义证明；(2)视an1an为一整体再用定义法即可【解】(1)an 1anp(n1)2q(n1)(pn2qn)2pnpq，要使an是等差数列，则2pnpq应是一个与n无关的常数，所以只有2p0，即p0.故当p0时，数列an是等差数列(2)证明：an1an2pnpq，an2an12p(n1)pq，而(an2an1)(an1an)2p为一个常数 an1an
5、是等差数列【方法小结】证明an为等差数列除了可以利用定义法及中项法外还可以利用；(1)通项法：an 为 n 的一次函数an为等差数列(2)前 n 项 和 法：Sn An2 Bn 或 Sn n(a1an)2等差数列的基本运算(1)等差数列可以由首项a1和公差d确定，所有关于等差数列的计算和证明，都可围绕a1和d进行(2)对于等差数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程求出a1，d.如果再给出第三个条件就可以完成an，a1，d，n，Sn的“知三求二”问题 例2(2010 年高考山东卷)已知等差数列an满足：a37，a5a726，an的前 n项和为 Sn.(1)求 an 及 Sn；(2)令 bn1
6、a2n1(nN*)，求数列bn的前 n项和 Tn.【思路分析】(1)利用公式先求a1和d，再求an和Sn；(2)利用裂项法求bn的前n项和Tn.【解】(1)设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，由于 a37，a5a726，所以 a12d7,2a110d26，解得 a13，d2.由于 ana1(n1)d，Snn(a1an)2，所以 an2n1，Snn(n2)(2)因为 an2n1，所以 a2n14n(n1)，因此 bn14n(n1)14(1n 1n1)故 Tnb1b2bn14(11212131n 1n1)14(1 1n1)n4(n1).所以数列bn的前 n 项和 Tnn4(n1).【误区警示
7、】由 bn14n(n1)14(1n1n1)时，易漏系数14，再者对相消后所剩的项不明确变式训练1 已知等差数列an的前n项和为Sn，且a35，S15225.(1)求数列an的通项an；(2)设bn2 2n，求数列bn的前n项和Tn.an解：(1)设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，由题意，得a12d515a115142d225，解得a11d2，an2n1.(2)bn2an2n124n2n，Tnb1b2bn12(4424n)2(12n)4n146n2n234nn2n23.等差数列的性质已知数列an是等差数列，Sn是其前n项和(1)若mnpq，则amanapaq.若mn2p，则aman2ap
8、.(2)am，amk，am2k，am3k，仍是等差数列，公差为kd.(3)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(4)S2n1(2n1)an.(5)若 n 为偶数，则 S 偶S 奇n2d.若 n 为奇数，则 S 奇S 偶a 中(中间项)(6)数列can，can，panqbn也是等差数列，其中 c、p、q 均为常数，bn是等差数列例3(1)设等差数列的前 n 项和为 Sn，已知前 6 项和为 36，Sn324，最后 6 项的和为180(n6)，求数列的项数 n 及 a9a10；(2)等差数列an、bn的前 n 项和分别为 Sn、Tn，且SnTn3n12n3，求a8b8的值【思路分析】(
9、1)可利用前6项与后6项的和及等差数列的性质求出a1an的值，(2)可先利用中项公式求解，然后利用前n项和公式求出项数n.【解】(1)由题意可知 a1a2a636，anan1an2an5180，得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216，a1an36.又 Snn(a1an)2324，18n324.n18.a1a1836.a9a10a1a1836.(2)SnTn3n12n3，S15T1531512153443343.S1515(a1a15)215a8，T1515(b1b15)215b8，a8b815a815b8S15T1543.【名师点评】(1)中解法运用了等差数列的性质，若
10、mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq，从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与简洁，应注意运用；(2)小题中，直接得出Sn(3n1)k，Tn(2n3)k，然后求a8，b8.这种做法是错误的互动探究 2 本例(2)中条件不变，求a2a9a13b5b7b12的值解：a2a9a13b5b7b123a83b8a8b843.方法感悟 方法技巧1等差数列的判断方法(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列(2)等 差 中 项 公 式：2an 1 an an 2(nN*)an是等差数列(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列(4)前n项和公式：SnAn2Bn(A、B为
11、常数)an是等差数列 2对于等差数列有关计算问题主要围绕着通项公式和前n项和公式，在两个公式中共五个量a1、d、n、an、Sn，已知其中三个量可求出剩余的量,而a1与d是最基本的，它可以确定等差数列的通项公式和前n项和公式 3要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如anam(nm)d，S2n1(2n1)an等 4在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a，ad，a2d；(2)ad，a，ad；(3)ad，ad，a3d等，可视具体情况而定 失误防范1如果pqrs，则apaqaras，一般地，apaqapq，必须是两项相加，当然可以是aptapt2ap(如例3(1)2等差数列的通项
12、公式通常是n的一次函数，除非公差d0.3公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是n的常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列 考向瞭望把脉高考 考情分析 通过对近几年高考试题的统计分析不难发现，等差数列作为最基本的数列模型之一，一直是高考重点考查的对象难度属中低档的题目较多，但也有难度偏大的题目其中，选择题、填空题突出“小、巧、活”，主要以通项公式、前n项和公式为载体，结合等差数列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想，要注重通性、通法；解答题“大而全”，注重题目的综合与新颖，突出对逻辑思维能力的考查预测2012年高考仍
13、将以等差数列的定义、通项公式和前n项和公式为主要考点，重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力规范解答 例(本题满分12分)(2010年高考课标全国卷)设等差数列an满足 a35，a109.(1)求an的通项公式；(2)求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值【解】(1)由 ana1(n1)d 及 a35，a109 得a12d5，a19d9，可解得a19，d2，4 分所以数列an的通项公式为 an112n.6 分(2)由(1)知，Snna1n(n1)2d10nn2.8 分因为 Sn(n5)225，所以当 n5 时，Sn 取得最大值.12 分【名师点评】本题难度较小，考查等差数列的基本运算，8
14、0%的考生都能拿到全分，本题(2)中也可利用an0而an10求解名师预测 1已知an是等差数列，a1a24，a7a8 28，则 该 数 列 前 10 项 的 和 S10 _.解析：根据a1a24，a7a828，可得a11，d2，故 a10a19d19219.S1010(a1a10)210(119)2100.答案：1002在数列an中，若点(n，an)在经过点(5,3)的定直线l上，则数列an的前9项和S9_.解析：点(n，an)在定直线 l 上，数列an为等差数列ana1(n1)d.将(5,3)代入，得 3a14da5.S992(a1a9)9a53927.答案：273已知数列an满足 2an1anan2(nN*)，它的前 n 项和为 Sn，且 a310，S672.若 bn12an30，求数列bn的前 n 项和的最小值解：2 an1anan2，an是等差数列，设an的首项为 a1，公差为 d，由 a310，S672，得a12d10，6a115d72，a12d4，4n2.则 bn12302n31.解2n310（2n1）310，得292 n312.nN*，n15.bn的前 15 项为负值，S15 最小，由可知bn是以 b129 为首项，d2为公差的等差数列，S1515（2921531）215（6030）2225.本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用