1、 庆云一中2019级卓越班第六次周考数学试题一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分1.设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且点到两个焦点的距离之差为 2，则是( )A.钝角三角形B.锐角三角形C.斜三角形D.直角三角形2.一动圆与两圆：和都外切，则动圆圆心的轨迹为( )A.抛物线B.圆C.双曲线的一支D.椭圆3.若双曲线的一个焦点为，则m的值为( )A.B.1或3C.D.4.若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的3倍,则( )A.B.C.1D.25.已知椭圆上任意一点都满足关系式,则椭圆的标准方程为( )A.B.C.D.6.已知双曲线上有一点M到左焦点的距离为,则点M到右焦点的
2、距离是()A.8B.28C.12D.8或287.已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上的一个动点有下列命题:椭圆的长轴长是；内切圆面积的最大值是；的最小值是 其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.38.如图,圆和抛物线,过的直线与抛物线和圆依次交于四点,则的值是( )A.1B.2 C.3D.无法确定二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分全部选对的得分5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9.已知分别是双曲线的左、右焦点,点是双曲线上异于双曲线顶点的一点,且向量,则下列结论正确的是( )A.双曲线的渐近线方程为B.以为直径的圆的方程为C.到双曲线的一条渐近线的距离为1D.的面积为
3、110.椭圆的左、右焦点分别为和为椭圆上的动点,则下列说法正确的是( )A.,满足的点有两个 B.,满足的点有四个C.的面积的最大值为 D.的周长小于11.已知抛物线的焦点为,准线为,过点的直线与抛物线交于点,点在上的射影为,则( )A.若,则 B.以为直径的圆与准线相切C.设,则D.过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条12.设椭圆的方程为,斜率为的直线不经过原点,且与椭圆相交于两点,为线段的中点,则下列结论正确的是( )A.B.若点坐标为,则直线的方程为C.若直线的方程为,则点坐标为D.若直线的方程为,则三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上13.过点
4、作抛物线的弦,恰被点平分,则弦所在直线的方程为_.14.设椭圆的两焦点为.若椭圆上存在点,使,则椭圆的离心率的取值范围为_.15.已知双曲线过点,且渐近线方程为,则双曲线的标准方程为_.16.P为椭圆上一点，,则最小值为_.四、解答题：本题共6小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为(1)求抛物线的标准方程及准线方程(2)斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，求线段的长18.椭圆的离心率是,过点的动直线与椭圆相交于两点,当直线与轴平行时,直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程.(2)在轴上是否存在异于点的定点,使得直线变
5、化时,总有?若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由.19.已知抛物线的焦点是,点是抛物线上的动点,点.(1)求的最小值,并求出取最小值时点的坐标；(2)求点到点的距离与到直线的距离之和的最小值.20.已知曲线和直线.(1)若直线与曲线有两个不同的交点,求实数的取值范围；(2)若直线与曲线交于两点,是坐标原点,且的面积为,求实数的值.21.已知抛物线y24x，椭圆1，它们有共同的焦点F2，并且相交于P、Q两点，F1是椭圆的另一个焦点，试求：(1)m的值；(2)P、Q两点的坐标；(3)PF1F2的面积22.已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，过作直线交椭圆于两点,的周长为.（1）求椭圆的方程;
6、（2）若斜率为的直线与椭圆相交于两点，求定点与交点所构成的三角形面积的最大值。参考答案1.答案：D解析：由椭圆的定义，知.由题可得,则，或.又,所以为直角三角形.2.答案：C解析：由题意两定圆的圆心坐标为，半径分别为1,2.设动圆圆心为，动圆半径为r，则，,故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支.3.答案：A解析：双曲线的一个焦点为，焦点在x轴上且，.4.答案：D解析：抛物线的准线方程为,由抛物线的定义知,抛物线上一点到焦点的距离为,所以,解得.故选D.5.答案：B解析：由题设可知椭圆的焦点在轴上,其坐标分别为,故,所以椭圆的标准方程为.6.答案：D解析：双曲线的,由双曲线的定义可得,即为,解得或.检
7、验若M在左支上,可得,成立;若M在右支上,可得,成立.故选: .求得双曲线的,运用双曲线的定义,可得,解方程可得所求值,检验M在两支的情况即可7.答案：B解析：长轴长为，故错误设的内心为C，内切圆的半径为r，点P到的距离为h，则，即.， ，.故正确由余弦定理，得.又，当且仅当时等号成立，故错误.故选B. 8.答案：A解析：若直线的斜率不存在,则直线方程为,代入抛物线方程和圆的方程,可直接得到四个点的坐标分别为,所以,从而.若直线的斜率存在,设为,因为直线过抛物线的焦点,所以直线方程为.不妨设,过点分别作抛物线准线的垂线,由抛物线的定义得,.把直线方程与抛物线方程联立,消去可得,由根与系数的关系
8、得.而抛物线的焦点同时是已知圆的圆心,所以.从而有,所以.故选A.9.答案：ACD解析：A.由双曲线的标准方程可得其渐近线方程为,正确.B.由题意得,则以为直径的圆的方程为,错误.C.,不妨取一条渐近线为,点到该条渐近线的距离,正确.D.由题意得,设,由,得.又,解得,则的面积,正确.故选ACD.10.答案：ACD解析：记椭圆的上、下顶点分别为,易知.选项A中,正确.选项B中,不存在90的,错误.选项C中,面积,正确.选项D中,周长,正确.11.答案：ABC解析：对于A,因为,所以,则,故A正确.对于B,设为的中点,点在上的射影为,点在上的射影为,则由梯形性质可得,故B正确.对于C,因为,所以
9、,故C正确.对于D,显然直线与抛物线只有一个公共点.设过的直线为,由,可得.令,解得,所以直线与抛物线也只有一个公共点,所以有三条直线符合题意,故D错误.故选ABC.12.答案：BD解析：设,则,两式相减,得,即,即.对于A,所以A不正确；对于B,由,得,所以直线的方程为,即,所以B正确；对于C,若直线的方程为,则,所以C不正确；对于D,由,得,解得或,所以,所以D正确.故选BD.13.答案：解析：方法一：设,则有是弦的中点,.得.将代入得,即直线的斜率.所求弦所在直线的方程为,即.方法二：设弦所在直线的方程为.由消去得,此方程的两根就是两点的纵坐标,由根与系数的关系和中点坐标公式,得.又.所
10、求弦所在直线的方程为.14.答案：解析：当是椭圆的上、下顶点时,最大,所以,所以,所以因为,所以,则椭圆的离心率的取值范围为.15.答案：解析：方法一：因为双曲线过点,渐近线方程为,且点在直线的下方,所以该双曲线的标准方程可设为,所以解得故双曲线的标准方程为.方法二：因为双曲线的渐近线方程为,所以可设双曲线的方程为.又因为双曲线过点,所以,解得,故双曲线的标准方程为.16.答案： 解析： 17.答案：1.因为抛物线的焦点在x轴的正半轴上，且，所以所求抛物线方程为，准线方程为2.设，到准线的距离为，于是，由已知得直线的方程为：，将代入抛物线方程，得，所以，所以解析： 18.答案：(1),椭圆的方
11、程化为.由题意知,椭圆过点,解得,所以椭圆的方程为.(2)当直线斜率存在时,设直线,由得,.设,则假设存在定点符合题意,.上式对任意实数恒等于零,即；当直线斜率不存在时,两点分别为椭圆的上、下顶点,显然此时.综上,存在定点满足题意.解析：19.答案：(1)过点作垂直抛物线的准线于点,由抛物线的定义,知,当三点共线时,的值最小,最小值为,即的最小值为,此时点的纵坐标为2,代入,得,即点的坐标为.(2)设抛物线上点到准线的距离为.由抛物线的定义,得,当三点共线(在线段上)时取等号.又,所以所求最小值为2.解析：20.答案：(1)由消去,得.直线与双曲线有两个不同的交点,解得,且,实数的取值范围为.(2)设.由(1)可知,.点到直线的距离,即或.实数的值为.解析：21.(1)抛物线方程为y24x，2p4，1，抛物线焦点F2的坐标为(1,0)，它也是椭圆的右焦点，在椭圆中，c1，a29b2c2，9m1，m8.(2)解方程组得或点P、Q的坐标为(，)、(，)(3)点P的纵坐标就是PF1F2的边F1F2上的高，SPF1F2|F1F2|yp|2.22.答案：解（1）由题意的:, 椭圆C的方程为 2.直线的斜率为，可设直线的方程为 与椭圆的方程联立可得： 设，由韦达定理得：， 点到直线的距离， 由知：， 令，则，令，则的最大值为 综上所述：三角形面积的最大值解析：
