1、6.1 不等关系与不等式 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 6.1 不等关系与不等式双基研习面对高考 1比较两个实数大小的依据ab_，abab0，abab0双基研习面对高考 基础梳理 2不等式的基本性质(1)对称性：abbb，bcac(单向)(3)同向不等式可加性：abacbc(双向)；ab，cdacbd(单向)(4)乘法法则：ab，c0ac_bc(单向)；ab，c0acab0cd0 ac_bd(单向)(5)倒数法则：ab，ab01ab0 a_nbn(n N 且n1)(单向)(7)开方法则：ab0n an b(nN 且 n1)(单向)课前热身 1设 a、b 为非零实数，若 ab，则下列不等式
2、成立的是()Aa2b2 Bab2a2bC.1ab2 1a2bD.bab，则 ac2bc2B若 ababb2C若 ab0，则1a1bD若 abab答案：B3.xy1 的一个充分不必要条件是()AxyBxy0CxyDyxb，cd，则下列不等关系中一定成立的是_abdcadbcacbcacg(x)考点探究挑战高考 考点突破 应用不等式表示不等关系将实际的不等关系写成对应的不等式时，应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换，这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分 别 为 40 万 元、90 万 元
3、 的 A 型 汽 车 和 B 型 汽车根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式【思路点拨】把握关键点，不超过1000万元，且A、B两种车型分别至少5辆、6辆，则不等关系不难表示，要注意取值范围 例1【解】设购买 A 型汽车和 B 型汽车分别为 x辆、y 辆，则 40 x90y1000 x5y6x，yN，即4x9y100 x5y6x，yN.【名师点评】注意区分“不等关系”和“不等式”的异同，不等关系强调的是关系，可用“”、“b”是“ac2bc2”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)(2010年高考陕西卷)“a0”
4、是“|a|0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件例2(3)(2010 年高考广东卷)“x0”是“3 x20”成立的()A充分非必要条件B必要非充分条件C非充分非必要条件D充要条件【思路点拨】利用不等式的性质判断【解析】(1)由 ac2bc2ab，但 abac2bc2，故选 B.(2)因为|a|0a0 或 a0|a|0，但|a|0 a0，所以 a0 是|a|0 的充分不必要条件，故选 A.(3)当 x0 时，3 x20 成立；但当3 x20 时，得x20，则 x0 或 x0.【答案】(1)B(2)A(3)A【名师点评】正确全面地理解不等式的基本性质，不能忽视性
5、质成立的条件，更不能凭想当然，解题时要做到言必有据 变式训练 1 若1a1b0，则下列不等式：ab|b|，a2 中，正确的有个数为()A1B2C3D4解析：选 B.1a1b0，a0，b0.ab0，abab，正确由1a1b0，得1a1bbaab 0，ba0，即 ba，错误由 ba|a|，错误易知正确比较大小代数式大小的比较问题常常用“比较法”来解决，“比较法”有“作差比较法”和“作商比较法”两种，可根据代数式的结构特点灵活选用已知等比数列an中，a10，q0，前 n项和为 Sn，试比较S3a3与S5a5的大小例3【思路点拨】可以利用等比数列前n项和公式将两个式子表示出来，再作差进行比较，但应注意
6、对公比的分类讨论【解】当 q1 时，S3a33，S5a55，所以S3a30 且 q1 时，S3a3S5a5a11q3a1q21qa11q5a1q41qq21q31q5q41qq1q40，所以有S3a3S5a5.综上可知有S3a30ab，ab0a1，b0ab”，是把两数的大小比较转化为两数的商与 1 进行比较，在数式结构含有幂或根式、绝对值时，可采用此方法变式训练2 设f(x)1logx3，g(x)2logx2(x0且x1)，试比较f(x)与g(x)的大小 解：f(x)g(x)1logx32logx2logx(3x)logx4logx3x4，(1)当 logx34x0 时，即x1，34x1，或0
7、 x1，03x4 43或 0 xg(x)；(2)当 logx34x0 时，即34x1，也就是当 x43时，f(x)g(x)；(3)当 logx34x103x4 1，或0 x1，时，也就是当 1x43时，f(x)43或 0 xg(x)；当 x43时，f(x)g(x)；当 1x43时，f(x)g(x)不等式性质的应用在利用不等式的基本性质求范围时，一定要强调不等式性质中条件的作用，不等式的两边同乘以一个含有字母的式子，一定要知道它的值是正还是负，并且不能为零，才能得到正确结论同向不等式只能相加，不能相减设f(x)ax2bx,1f(1)2,2f(1)4.求f(2)的取值范围【思路点拨】根据f(x)的
8、解析式，用f(1)和f(1)表示f(2)，再根据不等式性质求解 例4【解】法一：设 f(2)mf(1)nf(1)(m、n 为待定系数)，则 4a2bm(ab)n(ab)，即 4a2b(mn)a(nm)b.于是得mn4，nm2，解得m3，n1.f(2)3f(1)f(1)1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10.故 5f(2)10.法二：f(1)ab，且 1f(1)2，f(1)ab，且 2f(1)4，1ab2，2ab4.目标函数为 zf(2)4a2b，于是问题转化为：目标函数 z4a2b 在可行域ab1ab2ab2ab4内的最大值、最小值问题易求得 zmax10，zmin5.5f(2)
9、10.【误区警示】此题常见错误有：1ab2，2ab4.得 32a6.由得2ba1.得 02b3.32b0.2得 34a2b12，即 3f(2)12.同向(异向)不等式两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，在解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实值的取值范围，解题时务必小心谨慎方法感悟 方法技巧1用同向不等式求差的范围axbcyd axbdyc a dx yb c.(如例 4)这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到2放缩法：等式不等式如：112 1231nn11 1n10ab1a0a1b.(如例 2)4作差法：判定不等关系的基本方法abab0，ababbbbacbc，abacbc
10、(c0)是可以逆推的，而其余几条性质不可逆推，在应用性质时要准确把握条件是结论的充分条件还是必要条件2在使用不等式的性质时，要先确定独立变量，再搞清它们成立的条件(1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的如ab，bcabac2bc2；若无 c0 这个条件，则 abac2bc2 就是错误结论(当 c0 时，取“”)(3)“ab0anbn0(nN，n1)”成立的条件是“n 为大于 1 的自然数，ab0”，假如去掉“n 为大于 1 的自然数”这个条件，取 n1，a3，b2，那么就会出现“3121，即1312”的错误结论；假如去掉“b0”这个条件，取 a
11、3，b4，n2，那么就会出现“32(4)2”的错误结论考情分析 考向瞭望把脉高考 不等式是高考的知识点之一，不等关系、不等式的性质及应用是高考的热点，题型既有选择题，也有填空题，难度为中、低档，客观题中突出对不等式性质及应用的考查，与不等式有关的集合的运算也是常考内容；主观题与其他知识交汇，考查不等式的性质及综合分析问题、解决问题的能力预测2012年高考仍将以不等式性质及应用、不等关系为考查点，重点考查学生的逻辑推理能力真题透析 例(2010 年高考江苏卷)设 x，y 为实数，满足 3xy28，4x2y 9，则x3y4 的最大值是_【解析】法一：由题设知，实数 x，y 均为正实数，则条件可化为
12、 lg 3lg x2lg ylg 8，lg 42lg x lg ylg 9，令 lg x a，lg y b，则 有lg 3a2b3lg 22lg 22ab2lg 3，又设 tx3y4，则 lg t3lg x4lg y3a4b，令 3a4bm(a2b)n(2ab)，解得 m1，n2，即 lg t(a2b)2(2ab)lg 34lg 3lg 27，x3y4的最大值是 27.法二：将 4x2y 9 两边分别平方得，16x4y281，又由 3xy28 可得，18 1xy213，由得，2x3y427，即x3y4的最大值是 27.【答案】27【名师点评】(1)本题易失误的是：找不到解题思路，不能用 xy2
13、 和x2y 表示x3y4，从而不能解答此题；不能从已知条件中发现 x，y 为正实数；解出 x，y 的范围，解除了 x，y 的相互限制，使最大值扩大(2)利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合性问题，因此解决此类问题可先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“整体”不等关系的代换求得待求的整体范围1若xy0，ay0，则xy的值为()A大于0 B小于0C等于0 D符号不确定答案：B名师预测 2设 a、b 是正实数，以下不等式：ab 2abab，a|ab|b，a2b24ab3b2，ab 2ab2恒成立的序号为()ABCD解析：选 D.ab2 ab，ab 2abab
14、，不恒成立a、b 是正实数，ab|ab|，即 a|ab|b，恒成立a24b24ab，a2b24ab3b2，不恒成立ab 2ab2 ab 2ab2 22，恒成立故选 D.3用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的1k(kN)已知一个铁钉受击 3 次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，请从这个事实中提炼出一个不等式组是_解析：依题意得，第二次钉子没有全部进入木 板；第 三 次 全 部 进 入 木 板，47 47k1，47 47k 47k21.(kN)答案：47 47k1，47 47k 47k21(kN)4给出下列四个命题：若 ab，则 a21，则 a1a b1b；若正整数 m 和 n 满足：m0，且 x1，则 lnx 1lnx2.其中真命题的序号是_(请把真命题的序号都填上)解析：对于，取 a2b2，故错对于，lnx 不一定为正数，故 0 x1 时，lnx 1lnx2，故错答案：