1、3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质学 习 目 标核 心 素 养1.了解不等式的性质(重点)2能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系(难点)1.通过不等关系与不等式的学习，培养学生的数据分析素养2借助不等式性质的学习，提升学生的逻辑推理素养.1不等式的定义所含的两个要点(1)不等符号，.(2)所表示的关系是不等关系2比较两实数a，b大小的依据3常用不等式的重要性质名称式子表达性质1(对称性)abba性质2(传递性)ab，bcac性质3(可加性)abacbc性质3推论1abcacb推论2ab，cdacbd性质4(可乘性)ab，c0acbc；ab，c0acbc性
2、质4推论1ab0，cd0acbd推论2ab0 anbn(nN，n1)推论3ab0(nN，n1)1完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是()A5x4yNBMNCM0，故MN.3用不等号填空：(1)若ab，则ac2_bc2.(2)若ab0，bb，cd，则ac_bd(4)已知x1，则x22_3x.(1)(2)(4)(1)因为当c20时，有ac2bc2.当c20时，有ac2bc2，故应填“”(2)因为ab0，b0，故应填“”(3)因为cd，又因为ab，所以acbd，故应填“”(4)因为x2
3、23x(x2)(x1)，而x1，所以x20，x10，即x223x0，所以x223x，故应填“”用不等式(组)表示不等关系【例1】某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式解设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则即1此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等关系2当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量即可3用不等式(组)表示不等关
4、系的步骤：(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等(2)适当的设未知数表示变量(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式1如图所示，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地仓库的长L大于宽W的4倍写出L与W的关系解由题意，得实数大小的比较【例2】设x，y，zR，比较5x2y2z2与2xy4x2z2的大小解5x2y2z2(2xy4x2z2)4x24x1x22xyy2z22z1(2x1)2(xy)2(z1)20，5x2y2z22xy4x2z2，当且仅当xy且z1时取等号1作差法比较两个数大小的步骤及变形方法：(1)作差法比较的步骤：作差变形定号结论(2
5、)变形的方法：因式分解；配方；通分；对数与指数的运算性质；分母或分子有理化；分类讨论2如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1.2已知xy0，试比较(x2y2)(xy)与(x2y2)(xy)的大小解(x2y2)(xy)(x2y2)(xy)(xy)(x2y2)(xy)22xy(xy)xy0，xy0.(x2y2)(xy)(x2y2)(xy)不等式的性质应用探究问题1小明同学做题时进行如下变形：2b3，又6a8，24.你认为正确吗？为什么？提示不正确因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道6a8，不明确
6、a值的正负故不能将与6a8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘2由6a8，4b2，两边分别相减得2ab6，你认为正确吗？提示不正确因为同向不等式具有可加性与可乘性但不能相减或相除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质3你知道下面的推理、变形错在哪吗？2ab4，4ba2.又2ab2，0a3，3b0，3ab3.这怎么与2ab2矛盾了呢？提示利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形本题中将2ab4与2ab2两边相加得0a3，又将4ba2与2ab2两边相加得出3b0，又将该式与0a3两边
7、相加得出3ab3，多次使用了这种转化，导致了ab范围的扩大【例3】(1)已知，试求的取值范围；(2)设f(x)ax2bx且1f(1)2,2f(1)4，求f(2)的取值范围思路探究(1)(2)法一：法二：解(1)，.又，0，b及cd，推不出acbd；由ab，推不出a2b2等(3)准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误3(1)已知12a60,15b0，求证：.解(1)15b36，36b15，1236ab6015，即24ab45.，0，两边同除以bd得，.1本节课的重点是不等式的性质及两个数(式)的大小比较问题，难点是利用不等式(组)表示不等关系2要熟练掌握常见的文字语言与数学语言
8、之间的转换文字语言数学符号文字语言数学符号大于至多小于0.()(3)不等式x2的含义是指x不小于2.()(4)若a2或x2，即x不小于2，故此说法是正确的(4).因为不等式ab表示ab或ab故若a5BM0，(y1)20，因此(x2)2(y1)20.故M5.3已知12x11，则1的取值范围是_(1，)12x110x1211.4(1)已知x1，比较3x3与3x2x1的大小；(2)若ab0，cd0，e.解(1)3x3(3x2x1)(3x33x2)(x1)3x2(x1)(x1)(x1)(3x21)x1，x10.又3x210，(x1)(3x21)0，3x33x2x1.(2)证明：cdd0.又ab0，acbd0，则(ac)2(bd)20，即.又e.