1、第2课时等差数列的性质学 习 目 标核 心 素 养1.掌握等差数列中两项及多项之间的关系(重点、易错点)2能灵活运用等差数列的性质解决问题(难点)1.借助等差数列通项公式的推广学习，提升学生的数据分析的素养2通过等差数列性质的学习，培养学生的数学运算的素养.1等差数列的图象等差数列的通项公式ana1(n1)d，当d0时，an是一固定常数；当d0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点2等差数列的性质(1)an是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足mnpq，则amanapaq.特别地，当mn2k(m，n，kN)时，aman2ak.
2、对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1ana2an1akank1.(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列(3)若an是公差为d的等差数列，则can(c为任一常数)是公差为d的等差数列；can(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；anank(k为常数，kN)是公差为2d的等差数列(4)若an，bn分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列panqbn(p，q是常数)是公差为pd1qd2的等差数列(5)an的公差为d，则d0an为递增数列；d1，mn)，从而有anam(nm)d在解决与等差数列的通项有关的问题时，巧妙利用此结论，可以简化问
3、题的计算过程1(1)已知等差数列an中，a48，a84，则数列an的通项公式为_；(2)若xy，且两个数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各成等差数列，那么等于_(1)an12n(2)(1)设an的公差为d，则a8a44d，d1.ana8(n8)d4(n8)(1)12n.(2)数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y均为等差数列，1，即，故.灵活设元解等差数列【例2】已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数解法一：设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得解得或这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法二：设此等差数列的首项为a1，公
4、差为d，根据题意，得化简，得解得或这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法三：设这四个数分别为a3d，ad，ad，a3d，根据题意，得化简，得解得这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.1当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列2当已知数列有2n项时，可设为a(2n1)d，a3d，ad，ad，a3d，a(2n1)d，此时公差为2d3当已知数列有2n1项时，可设为and，a(n1)d，ad，a，ad，a(n1)d，and，此时公差为d2三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三
5、个数解设这三个数依次为ad，a，ad，则解得这三个数为4,3,2.等差数列的性质探究问题1数列1,2,3,4,5,6,7,8，是等差数列吗？1,3,5,7，是等差数列吗？2,4,6,8，是等差数列吗，它们有什么关系？这说明了什么？提示这三个数列均是等差数列，后两个数列是从第一个数列中每隔相同的项数抽取一项，按原来顺序组成的新数列，这说明从一个等差数列中每隔相同的项数取一项，按原来的顺序排列，还是一个等差数列2在等差数列an中，若an3n1.那么a1a5a2a4吗？a2a5a3a4成立吗？由此你能得到什么结论？该结论对任意等差数列都适用吗？为什么？提示由an3n1可知a1a5a2a4与a2a5a
6、3a4均成立，由此有若m，n，p，qN且mnpq，则amanapaq.对于任意等差数列an，设其公差为d则amana1(m1)da1(n1)d2a1(mn2)d，apaqa1(p1)da1(q1)d2a1(pq2)d，因mnpq，故amanapaq对任意等差数列都适用3在等差数列an中，2anan1an1(n2)成立吗？2anankank(nk0)是否成立？提示在探究2的结论中令mn，pn1，qn1，可知2anan1an1成立；mn，pnk，qnk，可知2anankank也成立【例3】在公差为d的等差数列an中(1)已知a2a3a23a2448，求a13；(2)已知a2a3a4a534，a2a
7、552，求d思路探究解答本题可以直接转化为基本量的运算，求出a1和d后再解决其他问题，也可以利用等差数列的性质来解决解法一：(1)化成a1和d的方程如下：(a1d)(a12d)(a122d)(a123d)48，即4(a112d)48.4a1348.a1312.(2)化成a1和d的方程如下：解得或d3或3.法二：(1)根据已知条件a2a3a23a2448，及a2a24a3a232a13.得4a1348，a1312.(2)由a2a3a4a534，及a3a4a2a5得2(a2a5)34，即a2a517.解得或d3或d3.1利用等差数列的通项公式列关于a1和d的方程组，求出a1和d，进而解决问题是处理
8、等差数列问题的最基本方法2巧妙地利用等差数列的性质，可以大大简化解题过程3通项公式的变形形式anam(nm)d(m，nN)，它又可变形为d，应注意把握，并学会应用3设数列an，bn都是等差数列若a1b17，a3b321，则a5b5_.35法一：设数列an，bn的公差分别为d1，d2，因为a3b3(a12d1)(b12d2)(a1b1)2(d1d2)72(d1d2)21，所以d1d27，所以a5b5(a3b3)2(d1d2)212735.法二：数列an，bn都是等差数列，数列anbn也构成等差数列，2(a3b3)(a1b1)(a5b5)，2217a5b5，a5b535.1本节课的重点是等差数列性
9、质的应用2要重点掌握等差数列的如下性质：(1)在等差数列an中，当mn时，d为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为aman(mn)d(2)等差数列an中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列(3)等差数列an中，若mnpq，则anamapaq(n，m，p，qN)，特别地，若mn2p，则anam2ap.3等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若an是等差数列，则
10、|an|也是等差数列()(2)若|an|是等差数列，则an也是等差数列()(3)若an是等差数列，则对任意nN都有2an1anan2.()(4)数列an的通项公式为an3n5，则数列an的公差与直线y3x5的图象的斜率相等()解析(1).如2，1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列(2).如数列1,2，3,4，5，其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列(3).根据等差数列的通项可判定对任意nN都有2an1anan2成立(4).因为an3n5的公差d3，而直线y3x5的斜率也是3.答案(1)(2)(3)(4)2已知等差数列an，则使数列bn一定为等差数列的是()AbnanBbnaC
11、bnDbnA数列an是等差数列，an1and(常数)对于A：bn1bnanan1d，正确；对于B不一定正确，如ann，则bnan2，显然不是等差数列；对于C，D：及不一定有意义，故选A3若2，a，b，c,9成等差数列，则ca_.由题意得该等差数列的公差d，所以ca2d.4在等差数列an中，已知a2a5a89，a3a5a721，求该数列的通项公式解因为a2a5a89，a3a5a721，a2a8a3a72a5，所以a53.法一：a3a72a56.所以a3a77.由解得a31，a77或a37，a71.当a31时，d2；当a37时，d2.由ana3(n3)d，得an2n7或an2n13.法二：a3a77，(a52d)(a52d)7，(32d)(32d)7，解得d2.若d2，ana5(n5)d32(n5)2n7；若d2，ana5(n5)d32(n5)132n.an2n7或an2n13.