1、第2讲 三角恒等变换与解三角形-2-热点考题诠释高考方向解读1.(2017山东,理9)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是()A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 答案解析解析关闭sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,sin B+2sin Bcos C=(sin Acos C+cos Asin C)+sin Acos C,sin B+2sin Bcos C=sin B+sin Acos C,2sin B
2、cos C=sin Acos C,又ABC为锐角三角形,2sin B=sin A,由正弦定理,得a=2b.故选A.答案解析关闭A-3-热点考题诠释高考方向解读2.(2017浙江,14)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则BDC的面积是 ,cosBDC=.答案解析解析关闭如图,取 BC 中点 E,DC 中点 F,由题意知 AEBC,BFCD.在 RtABE 中,cosABE=14,cosDBC=-14,sinDBC=1-116=154.SBCD=12BDBCsinDBC=152.cosDBC=1-2sin2DBF=-14,且DBF 为锐角,sinD
3、BF=104.在 RtBDF 中,cosBDF=sinDBF=104.综上,可得BCD 的面积是 152,cosBDC=104.答案解析关闭 152 104 -4-热点考题诠释高考方向解读3.(2017 天津,理 15)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 ab,a=5,c=6,sin B=35.(1)求 b 和 sin A 的值;(2)求 sin 2+4 的值.-5-热点考题诠释高考方向解读解:(1)在ABC 中,因为 ab,故由 sin B=35,可得 cos B=45.由已知及余弦定理,有 b2=a2+c2-2accos B=13,所以 b=13.由正弦定理
4、sin=sin,得 sin A=sin=3 1313.故 b 的值为 13,sin A 的值为3 1313.(2)由(1)及 ac,得 cos A=2 1313,所以 sin 2A=2sin Acos A=1213,cos 2A=1-2sin2A=-513.故 sin 2+4=sin 2Acos4+cos 2Asin4=7 226.-6-热点考题诠释高考方向解读4.(2017 全国 1,理 17)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知ABC 的面积为 23sin.(1)求 sin Bsin C;(2)若 6cos Bcos C=1,a=3,求ABC 的周长.-7-热点考题诠
5、释高考方向解读解:(1)由题设得12acsin B=23sin,即12csin B=3sin.由正弦定理得12sin Csin B=sin3sin.故 sin Bsin C=23.(2)由题设及(1)得 cos Bcos C-sin Bsin C=-12,即 cos(B+C)=-12.所以 B+C=23,故 A=3.由题设得12bcsin A=23sin,即 bc=8.由余弦定理得 b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得 b+c=33.故ABC 的周长为 3+33.-8-热点考题诠释高考方向解读5.(2017全国2,理17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin
6、(A+C)=8sin2 .(1)求cos B;(2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.2-9-热点考题诠释高考方向解读解:(1)由题设及 A+B+C=,得 sin B=8sin22,故 sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得 17cos2B-32cos B+15=0,解得 cos B=1(舍去),cos B=1517.(2)由 cos B=1517,得 sin B=817,故 SABC=12acsin B=417ac.又 SABC=2,则 ac=172.由余弦定理及 a+c=6 得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2172 1
7、+1517=4.所以 b=2.-10-热点考题诠释高考方向解读本部分主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换及解三角形等基本知识.三角函数与解三角形相结合或三角函数与平面向量相结合是考向的主要趋势,试题难度为中低档.三角恒等变换是高考的热点内容,主要考查利用各种三角函数进行求值与化简,其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点,切化弦、角的变换是常考的三角变换思想.正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容,主要考查:边和角的计算;三角形形状的判断;面积的计算;有关的范围问题.考向预测:三角恒等变换和解三角形综合的问题是浙江高考主要考查方式,以考查三角恒等变换公式、正余弦定理公式和面积公式为
8、主.这部分内容是解答题常考题型,但从2017年高考和样卷角度来看目前这部分内容以填空题形式出现,2018年很可能延续这种风格.-11-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点一 三角恒等变换(热度:)例 1(1)已知 tan +4=12,且-20,则2sin2+sin2cos-4=()A.-2 55B.-3 510C.-3 1010D.2 55(2)已知函数 f(x)=(sin x+3cos x)(cos x-3sin x).求函数 f(x)的单调递增区间;若 f(x0)=65,x0 0,2,求 cos 2x0 的值.-12-命题热点一命题热点二命题热点三(1)A 解析:2sin2+sin2co
9、s-4=2sin(sin+cos)22(sin+cos)=2 2sin,由 tan +4=12,得 tan=tan +4-4=tan+4-tan41+tan+4 tan4=-13即 3sin=-cos,又 sin2+cos2=1,sin=1010,而-20,sin=-1010,故2sin2+sin2cos-4=-2 55.-13-命题热点一命题热点二命题热点三(2)解:f(x)=(sin x+3cos x)(cos x-3sin x)=2sin 2+23 ,函数 f(x)的单调递增区间为-712,-12(kZ).f(x0)=2sin 20+23 =65,sin 20+23 =35,又 x0 0
10、,2,cos 20+23 =-45,cos 2x0=cos 20+23 -23 =-45 -12+35 32=4+3 310.-14-命题热点一命题热点二命题热点三规律方法1.三角恒等变换求值时应注意下列问题:当“已知角”有两个时,一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式;当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.常见的配角技巧:=22;=(+)-;=-(-);=12(+)+(-);=12(+)-(-);4+=2 4-;=4 4-.-15-命题热点一命题热点二命题热点三迁移训练 1 若 为锐角,sin-4=
11、210,则 tan+1tan=()A.2512B.724C.247D.1225答案解析解析关闭因为 为锐角,且 sin-4=210,所以-4 0,2,所以cos-4=7 210,所以 tan-4=17,即tan-tan41+tantan4=17,解得 tan=34,所以 tan+1tan=34+43=2512.故选 A.答案解析关闭A-16-命题热点一命题热点二命题热点三迁移训练 2 已知函数 f(x)=3sin xcos x+cos2x.(1)求函数 f(x)的最小正周期;(2)若-20,f()=56,求 sin 2 的值.答案答案关闭(1)f(x)=32 sin 2x+cos2+12=si
12、n 2+6+12,函数 f(x)的最小正周期是.(2)f()=sin 2+6+12=56,sin 2+6=13.又-20,-56 2+6 0,02+6 6,cos 2+6=2 23,sin 2=sin 2+6-6=32 sin 2+6 12cos 2+6=3-2 26.-17-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点二 解三角形(热度:)例 2(1)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知B=30,ABC 的面积为32,且 sin A+sin C=2sin B,则 b 的值为()A.4+2 3B.4-2 3C.3-1D.3+1(2)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别
13、为 a,b,c,已知b+c=2acos B.证明:A=2B;若ABC 的面积 S=24,求角 A 的大小.-18-命题热点一命题热点二命题热点三(2)证明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B.于是sin B=sin(A-B).又A,B(0,),故0A-B,所以B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B.故A=2B.(1)D 解析:由已知可得12acsin 30=32,即 ac=6,又 sin A+sin C=2sin B,由正弦定理可得 a+c=
14、2b,由余弦定理得 b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-3ac=4b2-12-6 3,解得 b2=4+2 3.故 b=1+3.-19-命题热点一命题热点二命题热点三解:由 S=24 得 12absin C=24,故有 sin Bsin C=12sin 2B=sin Bcos B.因 sin B0,得 sin C=cos B.又 B,C(0,),所以 C=2B.当 B+C=2时,A=2;当 C-B=2时,A=4.综上,A=2或 A=4.-20-命题热点一命题热点二命题热点三规律方法利用正弦定理与余弦定理解题,经常需要转化思想,一种是边转化为角,另一种是角转化为边.具体情况应根
15、据题目给定的表达式进行确定,不管哪个途径,最终转化为角的统一或边的统一,在解题过程中常用到以下规律:(1)分析已知等式中的边角关系,若要把“边”化为“角”,常利用“a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C”,若要把“角”化为“边”,常利用 (2)如果已知等式两边有齐次的边的形式或齐次的角的正弦的形式,可以利用正弦定理进行边角互换.如果已知中含有形如b2+c2-a2=bc(为常数)的代数式,一般向余弦定理靠拢.sin A=2,sin B=2,sin C=2,cos C=2+2-22等.-21-命题热点一命题热点二命题热点三(3)余弦定理与完全平方式相联系可有:a2=b2+c2-
16、2bccos A=(b+c)2-2bc(1+cos A).可联系已知条件,利用方程思想进行求解三角形的边;与重要不等式相联系,由b2+c22bc,得a2=b2+c2-2bccos A2bc-2bccos A=2bc(1-cos A),可探求边或角的范围问题.-22-命题热点一命题热点二命题热点三迁移训练 3(1)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 a=2 3,C=3,tan A=34,则 sin A=,b=.(2)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,b(1-2cos A)=2acos B.证明:b=2c;若 a=1,tan A=2 2,求AB
17、C 的面积.(1)35 4+3 解析:由 tan A=34sin A=35,由正弦定理得 sin=sinc=sinsina=5,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,b=ccos A+acos C=4+3.-23-命题热点一命题热点二命题热点三(2)解:b(1-2cos A)=2acos B,由正弦定理得 sin B(1-2cos A)=2sin Acos B,sin B=2sinBcos A+2sin Acos B=2sin(A+B)=2sin C,b=2c.tan A=sincos=2 2,sin A=2 2cos A,sin2A+cos2A=(2 2c
18、os A)2+cos2A=1,A 为锐角,解得 cos A=13,sin A=2 23.由余弦定理有 cos A=2+2-22,即13=42+2-142,解得 c2=311,SABC=12bcsin A=c2sin A=311 2 23=2 211.-24-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点三 三角恒等变换与解三角形综合问题(热度:)例 3 设 f(x)=sin2x+3sin xcos x-12(xR).(1)求函数 f(x)的最小正周期与值域;(2)设ABC 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,A为锐角,a=2 3,c=4,若 f(A)=1,求 A,b.答案答案关闭(1)化简得
19、f(x)=sin 2-6(xR),所以最小正周期为,值域为-1,1.(2)因为 f(A)=sin 2-6=1,又 A 为锐角,所以 2A-6 -6,56 ,所以 2A-6=2,所以 A=3.由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,得 b2-4b+4=0,解得 b=2.-25-命题热点一命题热点二命题热点三规律方法在解决与三角形有关的实际问题时,首先要明确题意,正确地画出平面图形或空间图形,然后根据条件和图形特点将问题归纳到三角形中解决.要明确先用哪个公式或定理,先求哪些量,确定解三角形的方法.在演算过程中,要算法简练、算式工整、计算正确,还要注意近似计算的要求.在画图和识图过程中要准确
20、理解题目中所涉及的几种角,如仰角、俯角、方位角,以防出错.有些时候也必须注意到三角形的特殊性,如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等.-26-命题热点一命题热点二命题热点三迁移训练 4 已知 f(x)=2cos xsin +6+3sin xcos x-sin2x,(1)求函数 y=f(x)的单调递增区间;(2)设ABC 的内角 A 满足 f(A)=2,而 =3,求边 BC 的最小值.答案答案关闭(1)f(x)=2cos x 32 sin+12 cos+3sin xcos x-sin2x=2 3sin xcos x+cos2x-sin2x=3sin 2x+cos 2x=2sin 2+6,由 2k
21、-22x+62k+2,kZ 得 k-3xk+6,kZ.故所求单调递增区间为-3,+6(kZ).(2)由 f(A)=2sin 2+6=2,0A 得 A=6,=3,即 bccos A=3,bc=2,又在ABC 中,a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-3bc2bc-3bc=(2-3)bc=(2-3)2=4-2 3,amin=4-2 3=3-1.-27-答题规范提分 解答题解题过程要求“解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤”,因此,在解答题答题过程中应该有规范的书写步骤,分步得分.例题(本题 12 分)已知ABC 三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 acos C+3csin
22、 A-b-c=0,(1)求角 A 的值;(2)求函数 f(x)=cos 2x+4sin Asin x 在区间 27,34 的值域.-28-解:(1)因为 acos C+3csin A-b-c=0,由正弦定理得 sin Acos C+3sin Csin A-sin B-sin C=0,即 3sinCsin A-cos Asin C-sin C=0;3 分因为 sin C0,得 3sin A-cos A=1,所以 sin-6=12.所以 A-6=6或 A-6=56(舍去),解得 A=3.6 分(2)由(1)得 sin A=32,所以 f(x)=cos 2x+4sin Asinx=1-2sin2x+
23、2 3sin x=-2 sin-32 2+32.9 分因为 x 27,34 ,所以 sin x 22,1.故函数 f(x)的值域为 6,52.12 分-29-123451.已知 为第四象限角,sin+cos=15,则 tan 2的值为()A.-12B.12C.-13D.13答案解析解析关闭由 sin+cos=15平方得1+2sin cos=125,2sin cos=-2425.(sin-cos)2=1-2sin cos=4925.为第四象限角,sin 0,sin-cos=-75.因此 sin=-35,cos=45,tan2=sin2cos2=sin2cos2cos22=sin1+cos=-35
24、1+45=-13.故选 C.答案解析关闭C-30-123452.ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=2,则 C=()A.12B.6C.4D.3答案解析解析关闭由题意结合三角形的内角和,可得 sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,整理得 sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,则 sin C(sinA+cos A)=0,因为 sin C0,所以 sin A+cos A=0,即 tan A=-1,因为 A(0,),所以 A=34.由正弦
25、定理 sin=sin,得2sin34=2sin,即 sin C=12,所以C=6.故选 B.答案解析关闭B-31-123453.已知 a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,其面积满足 SABC=14a2,则的最大值为()A.2-1B.2C.2+1D.2+2答案解析解析关闭根据题意,有 SABC=14a2=12bcsin A,应用余弦定理,可得b2+c2-2bccos A=2bcsin A,于是 t2+1-2tcos A=2tsin A,其中 t=.于是 2tsin A+2tcos A=t2+1,所以 2 2sin +4=t+1,从而 t+12 2,解得 t 的最大值为 2+1.故选 C.
26、答案解析关闭C-32-123454.已知直线 x=518是函数 f(x)=sin(3x+)(-0)图象的一条对称轴.(1)求;(2)求函数 y=f(x)+f 6-,x 0,3 的值域.解:(1)直线 x=518是函数 f(x)=sin(3x+)(-0)图象的一条对称轴,3518+=k,kZ,=-3,f(x)=sin 3-3.-33-12345(2)函数 y=f(x)+f 6-=sin 3-3+sin 3 6-3=sin 3-3+cos 3+3=12sin 3x-32 cos 3x+12cos 3x-32 sin 3x=1-32 sin 3x+1-32 cos 3x=2-62sin 3+4,x
27、0,3,3x+4 4,54 ,sin 3+4 -22,1,y 2-62,3-12 .-34-123455.如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为32 cm,容器的底面对角线AC的长为10 cm,容器的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14 cm和62 cm.分别在容器和容器中注入水,水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;(2)将l放在容器中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.7 容器 容器-3
28、5-12345解:(1)由正棱柱的定义,CC1平面ABCD,所以平面A1ACC1平面ABCD,CC1AC.记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处.记AM与水面的交点为P1,过P1作P1Q1AC,Q1为垂足,则P1Q1平面ABCD,故P1Q1=12,答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24 cm)因为 AC=10 7,AM=40,所以 MC=402-(10 7)2=30,从而 sinMAC=34.从而 AP1=11sin=16.-36-12345(2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义,OO1平面EFGH,所以平面E1E
29、GG1平面EFGH,O1OEG.同理,平面E1EGG1平面E1F1G1H1,O1OE1G1.记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.过G作GKE1G1,K为垂足,则GK=OO1=32.因为EG=14,E1G1=62,-37-12345所以 KG1=62-142=24,从而 GG1=12+2=242+322=40.设EGG1=,ENG=,则 sin=sin 2+1=cosKGG1=45.因为2,所以 cos=-35.在ENG 中,由正弦定理可得 40sin=14sin,解得 sin=725.因为 02,所以 cos=2425.-38-12345于是 sinNEG=sin(-)=sin(+)=sin cos+cos sin=45 2425+-35 725=35.记 EN 与水面的交点为 P2,过 P2作 P2Q2EG,Q2为垂足,则 P2Q2平面 EFGH,故 P2Q2=12,从而 EP2=22sin=20.答:玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 20 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为 20cm)
