1、广东省惠州市2015届高考数学模拟试卷（文科）（4月份）来源:学+科+网Z+X+X+K一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项.1（5分）已知集合A=0，1，2，集合B=x|x20，则AB=（）A0，1B0，2C1，2D0，1，22（5分）若函数y=f（x）是函数y=2x的反函数，则f（2）的值是（）A4B2C1D03（5分）已知点A（1，1），B（4，2）和向量=（2，），若，则实数的值为（）ABCD4（5分）已知数列an为等差数列，且a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6=（）A45B43C40D
2、425（5分）下列函数中周期为且为偶函数的是（）Ay=cos（2x）By=sin（2x+）Cy=sin（x+）Dy=cos（x）6（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） AB1CD37（5分）已知椭圆与双曲线=1的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，那么椭圆的离心率等于（）ABCD来源:学科网ZXXK8（5分）执行如图的程序框图，输出的T=（）A30B25C20D12来源:学.科.网9（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值等于（）A7B8C10D1110（5分）若直角坐标平面内的两不同点P、Q满足条件：P、Q都在函数y=f（x）的图象上；
3、P、Q关于原点对称，则称点对P，Q是函数y=f（x）的一对“友好点对”（注：点对P，Q与Q，P看作同一对“友好点对”）已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（）对A0B1C2D3二、填空题：本大题共3小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分15分（一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答11（5分）计算：（1+i）（12i）=（i为虚数单位）12（5分）函数f（x）=x33x2+4在x=处取得极小值13（5分）设a0，b0若是2a与2b的等比中项，则的最小值为一、（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分（坐标系与参数方
4、程选做题）14（5分）在极坐标系中，圆=4sin的圆心到直线=（R）的距离是一、几何证明选做题15如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E若AB=8，DC=4，则DE=三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知函数f（x）=Asin（x+）（xR，A0，0）的最小正周期为T=6，且f（2）=2（1）求和A的值；（2）设，0，f（3+）=，f（3+）=；求cos（）的值17（12分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组；第一组13，14），
5、第二组14，15），第五组17，18，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图（）求这50名学生百米测试成绩的平均数和方差s2（）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1的概率18（14分）如图所示，在所有棱长都为2a的三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1平面ABC，D点为棱AB的中点（1）求证：AC1平面CDB1；（2）求四棱锥C1ADB1A1的体积19（14分）若正项数列an的前n项和为Sn，首项a1=1，点P（，Sn+1）（nN*）在曲线y=（x+1）2上（1）求数列an的通项公式an；（2）设bn=，Tn表示数列bn的前n项和，求证：Tn20（14分）已知椭圆
6、的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B（）求椭圆的方程；（）求m的取值范围；（）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形21（14分）已知aR，函数f（x）=4x32ax+a（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：当0x1时，f（x）+|2a|0广东省惠州市2015届高考数学模拟试卷（文科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项.1（5分）已知集合A=0，1，2，集合B=x|x20，则AB=（）
7、A0，1B0，2C1，2D0，1，2考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可解答：解：由B中不等式x20，得到x2，即B=（，2），A=0，1，2，AB=0，1，故选：A点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）若函数y=f（x）是函数y=2x的反函数，则f（2）的值是（）A4B2C1D0考点：反函数 专题：函数的性质及应用分析：令反函数的值 2x =2，可得x的值，即为f（2）的值解答：解：根据函数与反函数的关系，令 2x =2，可得x=1，故f（2）=1，故选C点评：本题主要考查函数与反函数的关系，属于基础题3（5
8、分）已知点A（1，1），B（4，2）和向量=（2，），若，则实数的值为（）ABCD考点：平面向量共线（平行）的坐标表示 专题：平面向量及应用分析：直接利用向量的平行的充要条件求解即可解答：解：根据A、B两点A（1，1），B（4，2），来源:Zxxk.Com可得=（3，1），213=0，解得故选：C点评：本题考查向量的坐标运算，向量的平行的充要条件的应用基本知识的考查4（5分）已知数列an为等差数列，且a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6=（）A45B43C40D42考点：等差数列的通项公式 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：根据等差数列的通项公式以及项的性质，求出公差d，再求a4
9、+a5+a6的值解答：解：在等差数列an中，a1=2，a2+a3=13，（a1+d）+（a1+2d）=13，即22+3d=13，解得d=3；a4+a5+a6=3a5=3（a1+4d）=3（2+34）=42故选：D点评：本题考查了等差数列的通项公式以及项的性质的应用问题，是基础题目5（5分）下列函数中周期为且为偶函数的是（）Ay=cos（2x）By=sin（2x+）Cy=sin（x+）Dy=cos（x）考点：三角函数的周期性及其求法 专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：先利用函数的周期性排除C，D，再利用诱导公式与函数的奇偶性可排除A，从而可得答案来源:学_科_网解答：解：A：令g（x）=c
10、os（2x）=sin2x，则g（x）=sin（2x）=sin2x=g（x），g（x）=cos（2x+）为奇函数，故可排除A；B：y=f（x）=sin（2x+）=cos2x，其周期T=，f（x）=cos（2x）=cos2x=f（x），y=sin（2x+）是偶函数，y=sin（2x+）是周期为的偶函数，故B正确；C：y=sin（x+）其周期T=2，故可排除C；D：同理可得y=cos（x）的周期为2，故可排除D；故选：B点评：本题考查正弦函数与余弦函数的周期性与奇偶性，考查诱导公式的应用，属于中档题6（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） AB1CD3考点：由三视图求面积、体积
11、 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的高为3，底面三角形的一条边长为3，该边上的高为1，把数据代入棱锥的体积公式计算可得答案解答：解：由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的高为3，底面三角形的一条边长为3，该边上的高为1，几何体的体积V=313=故选C点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量7（5分）已知椭圆与双曲线=1的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，那么椭圆的离心率等于（）ABCD考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求得双曲线的焦点，可得椭圆的c=4，再
12、由椭圆的定义可得a=5，运用离心率公式计算即可得到解答：解：双曲线=1的焦点为（，0），即为（4，0），即有椭圆的c=4，由椭圆的定义可得2a=10，可得a=5，则椭圆的离心率为e=故选：B点评：本题考查双曲线和椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，运用定义和离心率公式是解题的关键8（5分）执行如图的程序框图，输出的T=（）A30B25C20D12考点：循环结构 专题：算法和程序框图分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，T，n的值，当S=25，T=30时，满足条件TS，输出T的值为30解答：解：执行程序框图，有S=0，T=0，n=0不满足条件TS，S=5，n=2，T=2不满足条
13、件TS，S=10，n=4，T=6不满足条件TS，S=15，n=6，T=12不满足条件TS，S=20，n=8，T=20不满足条件TS，S=25，n=10，T=30满足条件TS，输出T的值为30故选：A点评：本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查9（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值等于（）A7B8C10D11考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点B（4，2）时，
14、直线y=2x+z的截距最大，此时z最大，此时z=24+2=10，故选：C点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键10（5分）若直角坐标平面内的两不同点P、Q满足条件：P、Q都在函数y=f（x）的图象上；P、Q关于原点对称，则称点对P，Q是函数y=f（x）的一对“友好点对”（注：点对P，Q与Q，P看作同一对“友好点对”）已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（）对A0B1C2D3考点：函数的图象；分段函数的应用 专题：函数的性质及应用分析：根据题意可知只须作出函数（x0）的图象关于原点对称的图象，确定它与函数y=x24x（x0）交点个数即可解答：解：
15、由题意得：函数f（x）=“友好点对”的对数，等于函数（x0）的图象关于原点对称的图象，与函数y=x24x（x0）交点个数在同一坐标系中做出函数（x0）的图象关于原点对称的图象，与函数y=x24x（x0）的图象如下图所示：由图象可知，两个图象只有一个交点故选B点评：本题考查的知识点是函数的图象，分段函数，新定义，其中将“友好点对”的对数转化为对应图象交点个数是解答的关键二、填空题：本大题共3小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分15分（一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答来源:学科网11（5分）计算：（1+i）（12i）=3i（i为虚数单位）考点：复数代数形式的乘除
16、运算 来源:学科网ZXXK专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则即可得出解答：解：原式=1+2+i2i=3i故答案为：3i点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题12（5分）函数f（x）=x33x2+4在x=2处取得极小值考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题；导数的综合应用分析：求出导数，求出单调区间，由极小值的定义，即可得到解答：解：函数f（x）=x33x2+4的导数f（x）=3x26x，由f（x）0，得x2或x0，由f（x）0，得0x2，故x=2处的导数左负右正，则x=2为极小值点故答案为：2点评：本题考查考查导数的运用：求单调区间和求极值，考查运算能力，属于基础题
17、13（5分）设a0，b0若是2a与2b的等比中项，则的最小值为4考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：利用等比中项的性质、“乘1法”与基本不等式的性质即可得出解答：解：由题意知，又a0，b0，当且仅当a=b=时取等号的最小值为4故答案为：4点评：本题考查了等比中项的性质、“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题一、（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分（坐标系与参数方程选做题）14（5分）在极坐标系中，圆=4sin的圆心到直线=（R）的距离是1来源:学科网ZXXK考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：如图，可得圆=4s
18、in的圆心到直线=（R）的距离是d=2解答：解：如图：d=2=1故答案为：1点评：本题考查了圆的极坐标方程的应用，考查了计算能力，属于基础题一、几何证明选做题15如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E若AB=8，DC=4，则DE=2考点：与圆有关的比例线段 专题：选作题；推理和证明分析：由已知条件，利用圆的性质和弦切角定理及30角所对直角边等于斜边长一半，推导出DCE是DEC=90，DCE=30的直角三角形，由此能求出结果解答：解：如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于EBAC=DAC，ACB
19、D，ABC=ADC=ACE，CEAD，AB=8，DC=4，BC=DC=4，ABC=DCE=30，DE=2故答案为：2点评：本题考查与圆有关的线段长的求法，是中档题，解题时要注意弦切角定理的灵活运用三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知函数f（x）=Asin（x+）（xR，A0，0）的最小正周期为T=6，且f（2）=2（1）求和A的值；（2）设，0，f（3+）=，f（3+）=；求cos（）的值考点：函数y=Asin（x+）的图象变换；三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）通过函数的周期求出，利用f（2）=2即可求出
20、A的值；（2）通过，0，f（3+）=，f（3+）=；分别求出cos，cos，sin，sin，然后利用两角和与差的三角函数直接求cos（）的值解答：解：（1）依题意得=，函数f（x）=Asin（+） （2分）由f（2）=2得Asin（+）=2，即 Asin=2，A=4 （4分）函数f（x）=4sin（+） （5分）（2）由f（3+）=，得4sin+=，即4sin（）=cos，（6分）又0，sin（7分）由f（3+）=得4sin+=，即sin（+）=，sin，（9分）又0， （10分）cos（）=coscos+sinsin=（12分）点评：本题考查两角和与差的三角函数，函数的解析式的求法，考查计算
21、能力17（12分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组；第一组13，14），第二组14，15），第五组17，18，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图（）求这50名学生百米测试成绩的平均数和方差s2（）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1的概率考点：频率分布直方图 专题：概率与统计分析：（1）由频率分布直方图先估算出这50名学生百米测试成绩的平均数，进而根据方差公式，计算出答案（2）由频率分布直方图得到成绩在13，14）和17，18内的频率，然后用50分别乘以两组的频率可得第一、五组中的学生数，分别设出两组
22、中的学生的成绩，然后用枚举法写出从第一、五组中随机取出两个成绩的总的取法种数N，找出取出的两个成绩的差的绝对值大于1的取法种数n，则从第一、五组中随机取出两个成绩，这两个成绩的差的绝对值大于1的概率P=解答：解：（1）由频率分布直方图知，成绩在13，14）的人数为500.061=3（人），成绩在14，15）的人数为500.161=8（人），成绩在15，16）的人数为500.381=19（人），成绩在16，17）的人数为500.321=16（人），成绩在17，18的人数为500.081=4（人），故这50名学生百米测试成绩的平均数=（13.53+14.58+15.519+16.516+17.54
23、）=15.7；方差s2=（13.515.7）23+（14.515.7）28+（15.515.7）219+（16.515.7）216+（17.515.7）24=1（2）并设第一组三人的成绩分别为x、y、z；第五组四人的成绩分别为A、B、C、D；则从第一、五组中随机取出两个成绩的总的取法种数为：xy，xz，yz，AB，AC，AD，BC，BD，CD，xA，xB，xC，xD，yA，yB，yC，yD，zA，zB，zC，zD共21（种）取出的两个成绩的差的绝对值大于1的取法种数为：xA，xB，xC，xD，yA，yB，yC，yD，zA，zB，zC，zD共12（种）则从第一、五组中随机取出两个成绩，这两个成绩
24、的差的绝对值大于1的概率为P=点评：本题考查了频率分布直方图，考查了古典概型及其概率计算公式，解答此题的两个关键点是：一、明确频率分布直方图中纵轴的单位；二、古典概型及其概率的计算解答（2）时除了枚举法之外，也可运用排列组合知识求解此题属中低档题18（14分）如图所示，在所有棱长都为2a的三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1平面ABC，D点为棱AB的中点（1）求证：AC1平面CDB1；（2）求四棱锥C1ADB1A1的体积考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（1）要证AC1平面CDB1，可采用线面平行的判定定理，故可连结BC1，得到BC1与B1C交
25、点E，则DE是ABC1的中位线，由此证得答案；（2）取线段A1B1中点M，连结C1M，由已知可证得C1M是四棱锥C1ADB1A1的高，再由已知求出平面ADB1A1的面积，代入棱锥的体积公式得答案解答：（1）证明：如图，连结BC1，设BC1与B1C交于点E，则点E是BC1的中点，连结DE，D点为AB的中点，DE是ABC1的中位线，来源:学科网ZXXKAC1DE，DE平面CDB1，AC1面CDB1，AC1平面CDB1；（2）取线段A1B1中点M，连结C1M，C1A1=C1B1，点M为线段A1B1中点，C1MA1B1又A1A平面ABC，即A1A平面C1A1B1，C1M平面C1A1B1，A1AC1M，
26、A1AA1B1=A1，C1M平面ADB1A1，则C1M是四棱锥C1ADB1A1的高则=点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题19（14分）若正项数列an的前n项和为Sn，首项a1=1，点P（，Sn+1）（nN*）在曲线y=（x+1）2上（1）求数列an的通项公式an；（2）设bn=，Tn表示数列bn的前n项和，求证：Tn考点：数列的求和；数列递推式 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）将点P（，Sn+1）代入曲线y=（x+1）2方程，即得，从而可得an=2n1 （nN*）；（2
27、）由于bn=，所以Tn=+=解答：解：（1）因为点P（，Sn+1）在曲线y=（x+1）2上，所以，从而，且，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以=+（n1）1=n，即，当n2时，an=SnSn1=n2（n1）2=2n1，当n=1时，an=211=1也成立，所以an=2n1 （nN*）；（2）因为bn=，所以bn0，则Tn=+=（1）=点评：本题考查求通项公式以及数列的前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题20（14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B（）求椭圆的方程；（）求m的取值范围；（）若直线l不过点
28、M，求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：计算题；压轴题分析：（I）设出椭圆的标准方程，根据椭圆的离心率为，得出a2=4b2，再根据M（4，1）在椭圆上，解方程组得b2=5，a2=20，从而得出椭圆的方程；（II）因为直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B，可将直线方程与椭圆方程消去y得到关于x的方程，有两个不相等的实数根，从而0，解得5m5；（III）设出A（x1，y1），B（x2，y2），对（II）的方程利用根与系数的关系得：再计算出直线MA的斜率k1=，MB的斜率为k2=，将式子K1+K2通分化简，最后可得其分子为0，从而得出k1+k2=0
29、，得直线MA，MB的倾斜角互补，命题得证解答：解：（）设椭圆的方程为，椭圆的离心率为，a2=4b2，又M（4，1），解得b2=5，a2=20，故椭圆方程为（4分）（）将y=x+m代入并整理得5x2+8mx+4m220=0，直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B=（8m）220（4m220）0，解得5m5（7分）（）设直线MA，MB的斜率分别为k1和k2，只要证明k1+k2=0设A（x1，y1），B（x2，y2），根据（）中的方程，利用根与系数的关系得：上式的分子=（x1+m1）（x24）+（x2+m1）（x14）=2x1x2+（m5）（x1+x2）8（m1）=所以k1+k2=0，得直线MA
30、，MB的倾斜角互补直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形（12分）点评：本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系等知识点，属于难题解题时注意设而不求和转化化归等常用思想的运用，本题的综合性较强对运算的要求很高来源:Zxxk.Com21（14分）已知aR，函数f（x）=4x32ax+a（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：当0x1时，f（x）+|2a|0考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：（1）求导函数，再分类讨论：a0时，f（x）0恒成立；a0时，f（x）=12x22a=12（x）（x+），由此可确定f（x）的单调区间；（2）由于0x1，故当a2
31、时，f（x）+|2a|=4x32ax+24x34x+2；当a2时，f（x）+|2a|=4x3+2a（1x）24x3+4（1x）2=4x34x+2，构造函数g（x）=2x32x+1，0x1，确定g（x）min=g（）=10，即可证得结论解答：（1）解：求导函数可得f（x）=12x22aa0时，f（x）0恒成立，此时f（x）的单调递增区间为（，+）a0时，f（x）=12x22a=12（x）（x+）f（x）的单调递增区间为（，），（，+）；单调递减区间为（，）；（2）证明：由于0x1，故当a2时，f（x）+|2a|=4x32ax+24x34x+2当a2时，f（x）+|2a|=4x3+2a（1x）24x3+4（1x）2=4x34x+2设g（x）=2x32x+1，0x1，g（x）=6（x）（x+） x 0 （0，） （，1） g（x）+ g（x） 极小值函数g（x）在（0，）上单调减，在（，1）上单调增g（x）min=g（）=10当0x1时，2x32x+10当0x1时，f（x）+|2a|0点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，属于中档题