1、3.5 三角函数的图像与性质 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 3.5 三角函数的图像与性质双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1周期函数一般地，对于函数yf(x)，如果存在一个_实数T，使得当x取定义域内的每一个值时，_都成立，那么就把函数yf(x)叫作周期函数，不为零的实数T叫作这个函数的周期对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为_周期，今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是指它的_非零f(xT)f(x)最小正最小正周期思考感悟如果函数yf(x)的周期为T，那么函数yf(x)的周期是多少？2正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质课前热身1设
2、函数 f(x)cos(2x2)，xR，则 f(x)是()A最小正周期为 的奇函数B最小正周期为 的偶函数C最小正周期为2的奇函数D最小正周期为2的偶函数答案：A答案：B2函数 f(x)sinxcosx 的最大值为()A1 B.2C.3D2答案：C3M，N 是曲线 ysinx 与曲线 ycosx 的两个不同的交点，则|MN|的最小值为()A B.2C.3 D24(教材习题改编)y1cosx，x0,2的图像与y0的交点的个数为_答案：15(原创题)函数y|tanx|的单调增区间是_解析：画出函数 y|tanx|的图像如下图，易知其单调增区间为：k，k2)，kZ.答案：k，k2)，kZ考点探究挑战高
3、考 考点突破 三角函数的定义域求三角函数的定义域时，转化为三角不等式组求解，常常借助于三角函数的图像和周期解决，求交集时可以利用单位圆，对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数倍即可【思路点拨】先列出使函数有意义的不等式(组)，再结合函数的图像或三角函数线求解求下列函数的定义域：(1)y2cos2x3cosx1lg(36x2)；(2)ylg2sinx1 tan x1cosx28.例1【解】(1)由题意，得2cos2x3cosx10，36x20.即2cosx1cosx10，6x6.也即cosx12，6x6.解得32kx32kkZ，6x0，tanx10，cosx280，即 sinx12，tanx1
4、，x28k2kZ.可利用单位圆中的三角函数线直观地求得不等式组的解集，如图所示，有 2k6x2k56 kZ，k2xk4kZ，x2k34 kZ.该函数的定义域为x|2k2x2k34，kZ【方法小结】(1)三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提(2)三角函数的定义域要求同其他函数中对自变量的限制一样，另外 ytanx 中 xk2，kZ.(3)求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图像来求解1三角函数属于初等函数，因而前面学过的求函数值域的一般方法，也适用于三角函数，但涉及正弦、余弦函数的值域时，应注意正弦、余弦函数的有界性，即|sinx|1，|cosx|1对值域的
5、影响2解答此类题目首先应进行三角恒等变形，将函数式化为只含一个三角函数式的形式，再根据定义域求解三角函数的值域和最值【思路点拨】先将原函数式进行恒等变形，再化为一个角的三角函数或利用|sinx|1，|cosx|1等求解(1)求函数 ysin2xsinx1 的值域；(2)若4x2，求函数 ytan2xtan3x 的最大值；(3)求函数 f(x)sin2x2sin2x的最大值及 f(x)取最大值时 x 的集合例2【解】(1)令 tsinx，则 t1,1，yt2t1(t12)254，t1,1，y54，1(2)ytan2xtan3x 2tan4x1tan2x21tan4x1tan2x21tan2x12
6、214，4x1,01tan2x1，121tan2x1212.0(1tan2x12)214，14(1tan2x12)2140，0)的单调区间的确定，基本思想是把 x 看做一个整体，比如：由 2k2x2k2(kZ)解出 x 的范围，所得区间即为增区间；由 2k2x2k32(kZ)解出 x 的范围，所得区间即为减区间【思路点拨】利用复合函数的单调性规律“同增异减”求解求下列函数的单调递增区间：(1)ysin(32x4)；(2)y12cos(3x)；(3)ysin2xsinx.例3【解】(1)该函数的定义域为 R.令 t32x4，则 ysint.因为 t 是 x 的一次减函数，故应取 ysin t 的
7、减区间才符合要求由单调性可知，2k2t2k32(kZ)，即 2k232x42k32(kZ)4k3 56 x4k3 6，kZ.ysin(32x4)的单调递增区间是4k3 56，4k3 6(kZ)(2)该函数的定义域为 R，yf(x)12cos(3x)12cos(x3)，所以 f(x)的单调增区间恰为 g(x)2cos(x3)的单调减区间，而 g(x)的单调减区间为2k3，2k43(kZ)，所以原函数的单调增区间为2k3，2k43(kZ)(3)该函数的定义域为 R.令 usinx，则 yu2u，u1,1，而 yu2u(u12)214开口向上，对称轴为 u12.故当12u1 时，yu2u 是增函数，
8、所求 x 的范围应使 usinx 是增函数且满足条件12sinx1，则 2k6x2k2(kZ)；当1u12时，yu2u 是减函数，所求 x 的范围应使 usinx 是减函数且满足条件1sinx12，【误区警示】(1)单调区间是定义域的子区间，因而应先求定义域(2)正确分析复合函数的复合情况是解题关键也是易错点则 2k76 x2k32(kZ)综上所述，函数 ysin2xsinx 的单调递增区间是2k6，2k2和2k76，2k32，kZ.三角函数的周期性和对称性1yAsin(x)和 yAcos(x)的最小正周期为2|，ytan(x)的最小正周期为|.2正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称
9、图形，正切函数的图像只是中心对称图形，应熟记他们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用(1)(2010年高考陕西卷)函数f(x)2sinxcosx是()A最小正周期为2的奇函数B最小正周期为2的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为偶函数例4(2)(2009 年高考全国卷)如果函数 y3cos(2x)的图像关于点(43，0)中心对称，那么|的最小值为()A.6 B.4C.3D.2【思路点拨】(1)化为 f(x)Asin(x)后再判断；(2)余弦函数的对称中心是(k2，0)(kZ)，由此来求|的最小值【解析】(1)f(x)2sinxcosxsin2x 是奇函数，T22，因此 f(x)是
10、最小正周期为 的奇函数(2)y3cos(2x)的图像关于点(43，0)中心对称，3cos(243)0.83 2k，kZ.136 k，kZ.当 k2 时，|有最小值6.【答案】(1)C(2)A【名师点评】形如yf(x)的三角函数在求解单调区间、周期、最值、对称性等问题时，往往把x看作一个整体变式训练 2(1)函数 y12sin2x 的最小正周期 T_.(2)(2009 年高考江西卷)函数 f(x)(1 3tanx)cosx的最小正周期为()A2 B.32C D.2解析：(1)函数 ysinx 的最小正周期 T2|，所以函数 y12sin2x 的最小正周期 T22.故填.(2)选 A.依题意得 f
11、(x)cosx 3sinx2sin(x6)，因此其最小正周期是 2，故选 A.答案：(1)(2)A方法技巧1利用函数的有界性(1sin x1，1cos x1)，求三角函数的值域(最值)(如例2(1)、(3)2利用函数的单调性求函数的值域或最值(如例2(2)3利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负号)(如例3)方法感悟4正、余弦函数的线性关系式都可以转化为 f(x)Asin xBcosx a2b2sin(x)，特别注意把 sin 3cos ，3sin cos 转化为 y2sin()形式时，为特殊角5三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域，事实上就是解最简单的三角
12、不等式(组)通常可用三角函数的图像或三角函数线来求解注意数形结合思想的应用(如例 1)6函数 yAsin(x)(A，0)为奇函数的充要条件为 k，kZ；为偶函数的充要条件为 k2，kZ.函数 yAcos(x)(A，0)为奇函数的充要条件为 k2，kZ；为偶函数的充要条件为 k，kZ.函数 yAtan(x)(A，0)为奇函数的充要条件为 k2，kZ；它不可能是偶函数(如例 4)1闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域的基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响2求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如yAsin(x)(0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间
13、应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考虑注意区分下列两题的单调增区间不同：失误防范(1)ysin(2x4)；(2)ysin(42x)3利用换元法求三角函数最值时，注意三角函数的有界性，注意新元的范围考情分析 考向瞭望把脉高考 三角函数的性质是每年高考必考的知识点之一，考查重点是三角函数的周期性、单调性、最值题型既有小题，又有解答题，难度中、低档近几年试题加强了与三角恒等变换交汇命题的考查，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧预测2012年高考仍将以三角函数周期性、单调性、最值为主要考点，考查运算和恒等变形能力规范解答(本题满分 12 分)(2010 年高考湖北卷)已知函数
14、 f(x)cos(3x)cos(3x)，g(x)12sin2x14.(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)求函数 h(x)f(x)g(x)的最大值，并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合例【解】(1)f(x)cos(3x)cos(3x)(12cosx 32 sinx)(12cosx 32 sinx)14cos2x34sin2x1cos2x833cos2x812cos2x14，f(x)的最小正周期为22.4 分(2)由(1)知 h(x)f(x)g(x)12cos2x12sin2x 22cos(2x4)，6 分当 2x42k(kZ)，即 xk8(kZ)时，h(x)取得最大值 22.10 分h
15、(x)取得最大值时，对应的 x 的集合为x|xk8，kZ.12 分【名师点评】(1)本题易错点是：不会化简f(x)，不知从何处入手；三角变换公式不熟，不能逆用两角和(差)的三角公式将f(x)，h(x)化为“一角一函数”；记混正、余函数取得最值时的x的集合，致使h(x)取得最大值时x的集合求错(2)解决这类题目的一般思路就是变换函数解析式，将其化为yAsin(x)h的形式，一般要求A0，0(当然这不是绝对的)，然后根据yAsin(x)h的性质解决问题对于函数yAsin(x)(A0，0)的性质，完全可以令zx，与函数ysin z的性质类比得到，解决相应的问题(3)在三角函数试题中一个重要的技巧就是
16、变换 yasin xbcos x(a，b 为常数)对于函数式 yasinxbcos x，一般情况是将其化为 y a2b2sin(x)，其中确定的常数 满足 cosaa2b2，sinba2b2注意其中 a1，b1；a1，b 3；a 3，b1 这几种特殊情况在一般情况下，尽可能取 为正值，若是负值可以再通过诱导公式变换为正值，如求函数 ysin(42x的单调递增区间时，一般是转化为求函数 ysin(2x4)的单调递减区间名师预测设函数 f(x)sin(4x6)2cos28x1.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)若函数 yg(x)与 yf(x)的图像关于直线 x1 对称，求当 x0，43时，yg
17、(x)的最大值解：(1)f(x)sin4xcos6cos4xsin6cos4x 32 sin4x32cos4x 3sin(4x3)，故 f(x)的最小正周期为 T248.(2)法一：在 yg(x)的图像上任取一点(x，g(x)，它关于 x1 的对称点为(2x，g(x)由题设条件，点(2x，g(x)在 yf(x)的图像上g(x)f(2x)3sin4(2x)3 3sin(24x3 3cos(4x3)当 0 x43时，34x323，因此 yg(x)在区间0，43上的最大值为 g(x)max 3cos3 32.法二：因区间0，43关于 x1 的对称区间为23，2，且 yg(x)与 yf(x)的图像关于 x1 对称，故 yg(x)在0，43上的最大值即为 yf(x)在23，2上的最大值当23x2 时，64x36，f(x)在23，2上的最大值为 f(x)32，g(x)在0，43上的最大值为 32.