1、课后素养落实(十三)椭圆的标准方程(建议用时：40分钟)一、选择题1已知点M是平面内的动点，F1，F2是平面内的两个定点，则“点M到点F1，F2的距离之和为定值”是“点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆”的()A充要条件B充分不必要条件 C必要不充分条件D既不充分也不必要条件C若点M到点F1，F2的距离之和恰好为F1，F2两点之间的距离，则点M的轨迹不是椭圆，所以前者不能推出后者根据椭圆的定义，椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a，所以后者能推出前者，故前者是后者的必要不充分条件，故选C2椭圆1的焦点坐标是()A(5，0)B(0，5)C(0，12)D(12，0)C由标准方程知，椭圆的焦点在y
2、轴上，且c216925144，故焦点为(0，12)3已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|2，若|PF1|2|F1F2|PF2|，则椭圆C的标准方程为()A1B1或1C1D1或1B2c|F1F2|2，c2a|PF1|PF2|2|F1F2|4，a2b2a2c29故椭圆C的标准方程是1或14设F1，F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|PF2|21，则F1PF2的面积等于()A5B4C3D1B由椭圆方程，得a3，b2，c，|PF1|PF2|2a6，又|PF1|PF2|21，|PF1|4，|PF2|2，由2242(2)2，可知F1PF2是直角三角形，故F1PF2的
3、面积为|PF1|PF2|424，故选B5已知P为椭圆1上的一点，M，N分别为圆(x3)2y21和圆(x3)2y24上的点，则|PM|PN|的最小值为()A5B7C13D15B由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|PF2|10，从而|PM|PN|的最小值为|PF1|PF2|127二、填空题6已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为_1由题意知解得则b2a2c23，故椭圆的标准方程为17在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(4，0)，B(4，0)，点C在椭圆1上，则_由题意知|AB|8，|AC|BC|1
4、0，所以8已知P是椭圆1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且F1PF230，则F1PF2的面积是_84由椭圆的标准方程，知a，b2，c1，|F1F2|2又由椭圆的定义，知|PF1|PF2|2a2在F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2，即4(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|cos 30，即420(2)|PF1|PF2|，|PF1|PF2|16(2)S|PF1|PF2|sinF1PF216(2)84三、解答题9已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(4，3)若F1AF2A，求椭圆的标
5、准方程解设所求椭圆的标准方程为1(ab0)设焦点F1(c，0)，F2(c，0)(c0)F1AF2A，0，而(4c，3)，(4c，3)，(4c)(4c)320，c225，即c5F1(5，0)，F2(5，0)2a|AF1|AF2|4a2，b2a2c2(2)25215所求椭圆的标准方程为110已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C求C的方程解由已知得圆M的圆心为M(1，0)，半径r11；圆N的圆心为N(1，0)，半径r23设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r
6、242由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点的椭圆(左顶点除外)，则a2，c1，故b2a2c2413，故所求C的方程为1(x2)11(多选题)下列说法中错误的是()A已知F1(4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B已知F1(4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C平面内到点F1(4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆D平面内到点F1(4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆ABDA中，|F1F2|8，则平面内到F1，F2两点的距离之和等于
7、8的点的轨迹是线段，所以A错误；B中，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的轨迹不存在，所以B错误；C中，点M(5，3)到F1，F2两点的距离之和为4|F1F2|8，则其轨迹是椭圆，所以C正确；D中，轨迹应是线段F1F2的垂直平分线，所以D错误故选ABD12若，方程x2sin y2cos 1表示焦点在y轴上的椭圆，则的取值范围是()ABCDA易知sin 0，cos 0，方程x2sin y2cos 1可化为1因为椭圆的焦点在y轴上，所以0，即sin cos 0又，所以13已知椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|4，则F1PF2_若F1PF290，则F
8、1PF2的面积是_1202由题得a29，b22，a3，c2a2b2927，c，|F1F2|2|PF1|4，|PF2|2a|PF1|2cosF1PF2，又0F1PF2180，F1PF2120又|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2)228，配方得(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|28，362|PF1|PF2|28，即|PF1|PF2|4，S|PF1|PF2|214如图所示，F1，F2分别为椭圆1(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆上，POF2是面积为的正三角形，则b2_2设正三角形POF2的边长为c，则c2，解得c2，从而|OF2|PF2|2，连接PF1(图略)，由|OF1|OF2|OP|知，PF1PF2，则|PF1|2，所以2a|PF1|PF2|22，即a1，所以b2a2c2(1)24215已知椭圆1(ab0)的焦点分别是F1(0，1)，F2(0，1)，且3a24b2(1)求椭圆的标准方程；(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|PF2|1，求F1PF2的余弦值解(1)依题意，知c21，又c2a2b2，且3a24b2，所以a2a21，即a21，所以a24，b23，故椭圆的标准方程为1(2)由于点P在椭圆上，所以|PF1|PF2|2a224又|PF1|PF2|1，所以|PF1|，|PF2|又|F1F2|2c2，所以由余弦定理得cosF1PF2故F1PF2的余弦值等于