1、2014-2015学年福建省宁德市五校教学联合体高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点在（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2函数y=的单调递减区间是（）A （，0）B （，2）C （2，+）D （0，2）3抛物线x2=2y的焦点到准线的距离是（）A 2B 1C D 4下列几个推理由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180，归纳出所有三角形的内角和是180；由圆的面积S=r2类比出球的体积；三角形内角和是180，四边形内角和是360，五边
2、形内角和是540，由此得出凸多边形内角和是（n2）180教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；其中推理正确的序号是（）A B C D 5用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A 方程x2+ax+b=0没有实根B 方程x2+ax+b=0至多有一个实根C 方程x2+ax+b=0至多有两个实根D 方程x2+ax+b=0恰好有两个实根6执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A 10B 17C 19D 367已知点A（3，0）、B（3，0），动点P满足|PA|PB|=m，则0m6是动点P的轨迹为双曲线的（）A 充分不必要条件B 必要
3、不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件8下列有关命题说法正确的是（）A 命题“若x2=4，则x=2”的否命题为“若x2=4，则x2”B 所有常数列既是等差数列也是等比数列C 命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为假命题D 命题“xR，x2+x0”的否定是“xR，x2+x0”9已知数列an是等差数列，其前n项和为Sn，且a1=1，S5=25，则数列的前10项和等于（）A B C D 10已知直线l与椭圆交于A、B两点，弦AB的中点为P（1，1），则直线l的方程是（）A x+2y3=0B 2x+y3=0C 2xy1=0D x2y+1=011已知集合a，b，c=0，1，2，且下列
4、三个关系：a2；b=2；c0有且只有一个正确，则a+2b+5c等于（）A 4B 5C 7D 1112已知曲线为函数f（x）=3xx3的图象，过点A（2，2）作曲线的切线，可能的切线条数是（）A 3B 2C 1D 0二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在答题卡相应位置13已知复数z=a+i（i是虚数单位）是纯虚数，则|z|=14已知函数，则f（1）=15已知双曲线G：与抛物线H：y2=2px在第一象限相交于点A，且有相同的焦点F，AFx轴，则双曲线G的离心率是16观察以下列出的表达式：，f（n，2）=n2，f（n，4）=2n2n，推测f（n，k）的表达式，由此计算f（10，2
5、0）=三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17某中学对高二甲、乙两个同类班级，进行“加强语文阅读理解训练，对提高数学应用题得分率作用”的试验，其中甲班为试验班（加强语文阅读理解训练），乙班为对比班（常规教学，无额外训练），在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩（均取整数）如下表所示：60分以下6170分7180分8190分91100分甲班（人数）36111812乙班（人数）713101010现规定平均成绩在80分以上（不含80分）的为优秀（）试分析估计两个班级的优秀率；（）由以上统计数据
6、填写下面22列联表，并问“加强语文阅读理解训练对提高数学应用题得分率”是否有帮助优秀人数非优秀人数合计甲班乙班合计参考公式及数据：，P（2k0）0.500.400.250.150.10k00.4550.7081.3232.0722.706P（2k0）0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.82818已知数列an是公差d0的等差数列，其中a1、a2是方程x23x+2=0的两根（）求数列an的通项公式；（）记，求数列bn的前100项和T10019通过市场调查，得到某产品的资金投入x（万元）与获得的利润y（万元）的数据，如表所示：资金投入x2
7、3456利润y23569（1）画出数据对应的散点图；（2）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程=x+；（3）现投入资金10万元，估计获得的利润为多少万元？（参考公式：=）20已知命题p：方程表示焦点在x轴上的双曲线；命题q：函数在2，5上单调递增（）若p为真命题，求实数m的取值范围；（）若（p）q为真命题，求实数m的取值21已知点M是椭圆E：上一动点，椭圆E的左、右焦点分别为F1（c，0）、F2（c，0），离心率为e（）若且|MF1|+|MF2|=4；（i）求椭圆E的方程；（ii）设点M到直线x=4的距离为d1，则比值是否为定值？若是求出该定值，若不是，说明理由（）若点M到直线的
8、距离为d2，类比（1）中的（ii），则比值是否为定值？若是，写出该定值（不要求书写求解或证明过程）22已知函数f（x）=axlnx，aR（） 若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处切线的斜率为1，求a的值；（） 讨论函数f（x）极值点的个数；（） 若f（x）xlnx在1，+）上恒成立，求a的取值范围2014-2015学年福建省宁德市五校教学联合体高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点在（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限考点：复数
9、代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的除法运算法则化简求解即可解答：解：复数=3i+=3i+1i=1+2i复数对应点（1，2）在第一象限故选：A点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数的几何意义，基本知识的考查2函数y=的单调递减区间是（）A （，0）B （，2）C （2，+）D （0，2）考点：函数的单调性及单调区间专题：导数的概念及应用分析：先求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出解答：解：y=，y=x22x，函数y=的单调递减，y=x22x0，解得0x2，故选：D点评：本题考查了导数和函数单调性的关系，属于基础题3抛物线x2=2y的焦
10、点到准线的距离是（）A 2B 1C D 考点：抛物线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：直接利用抛物线方程求解即可解答：解：抛物线x2=2y的焦点到准线的距离为：p=1故选：B点评：本题考查抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查4下列几个推理由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180，归纳出所有三角形的内角和是180；由圆的面积S=r2类比出球的体积；三角形内角和是180，四边形内角和是360，五边形内角和是540，由此得出凸多边形内角和是（n2）180教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；其中推理正确的序号是（）A B C D 考点：进行简单的合情推
11、理专题：推理和证明分析：判断一个推理过程是否是正确，关键是看是哪一种推理，是否满足该推理的定义解答：解：对于为归纳推理，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程，正确；对于为类比推理，在推理过程由圆的性质类比出球的有关性质，正确；对于为归纳推理，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程，正确；对于不是合情推理，是由特殊到特殊的推理过程，不正确故选：B点评：本题考查了推理的分类和命题的真假，属于基础题5用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A 方程x2+ax+b=0没有实根B 方程x2+ax+b=0至多有一个实根C 方程x2+a
12、x+b=0至多有两个实根D 方程x2+ax+b=0恰好有两个实根考点：反证法与放缩法专题：证明题；反证法分析：直接利用命题的否定写出假设即可解答：解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+b=0没有实根故选：A点评：本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查6执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A 10B 17C 19D 36考点：程序框图专题：算法和程序框图分析：根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件k10，跳出循环体，计算输出S的值解答：解：由程序框图知：第一次循环S=2
13、，k=221=3；第二次循环S=2+3=5，k=231=5；第三次循环S=5+5=10，k=251=9；第四次循环S=10+9=19，k=291=17，不满足条件k10，跳出循环体，输出S=19故选：C点评：本题考查了当型循环结构程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法7已知点A（3，0）、B（3，0），动点P满足|PA|PB|=m，则0m6是动点P的轨迹为双曲线的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：简易逻辑分析：结合双曲线的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断解答：解：根据双曲线的
14、定义可知，点A（3，0）、B（3，0），c=3，|PA|PB|=m=2a，ac，即2a6，且a0，所以0m6，所以动点P满足|PA|PB|=m，则0m6是动点P的轨迹为双曲线的充要条件故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线的定义是解决本题的关键8下列有关命题说法正确的是（）A 命题“若x2=4，则x=2”的否命题为“若x2=4，则x2”B 所有常数列既是等差数列也是等比数列C 命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为假命题D 命题“xR，x2+x0”的否定是“xR，x2+x0”考点：命题的真假判断与应用专题：简易逻辑分析：A，否定原命题的题设做题设，否定原命题
15、的结论做结论，就得到原命题的否命题B，可举反例，取为零的常数列来加以判断B；C，由于互为逆否命题的真假关系相同，则只要判断原命题的真假即可D，利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可解答：解：对于A，命题“若x2=4，则x=2”的否命题为“若x24，则x2”，故A错对于B，若为非零的常数列，则既是等差数列又是等比数列；若是为零的常数列，则为等差数列，不为等比数列故B错；对于C，若x=y，则sinx=siny为真命题，且互为逆否命题的真假关系相同可知逆否命题为真，故C错；对于D，命题“xR，x2+x0”的否定是“xR，x2+x0”故D对故选：D点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的关系，
16、要考查命题的否定形式等知识点，基本知识的考查9已知数列an是等差数列，其前n项和为Sn，且a1=1，S5=25，则数列的前10项和等于（）A B C D 考点：数列的求和专题：等差数列与等比数列分析：利用等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”即可得出解答：解：设等差数列an的公差为d，a1=1，S5=25，51+=25，解得d=2an=1+2（n1）=2n1=数列的前10项和=+=故选：B点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10已知直线l与椭圆交于A、B两点，弦AB的中点为P（1，1），则直线l的方程是（）A x+
17、2y3=0B 2x+y3=0C 2xy1=0D x2y+1=0考点：椭圆的简单性质专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用“点差法”可求得直线AB的斜率，再利用点斜式即可求得直线l的方程解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（1，1）是线段AB的中点，则x1+x2=2，y1+y2=2，依题意，得：（x1+x2）（x1x2）=2（y1+y2）（y1y2），由题意知，直线l的斜率存在，kAB=，直线l的方程为：y1=（x1），整理得：x+2y3=0P（1，1）在椭圆内，故成立故选A点评：本题考查椭圆的简单性质与直线的点斜式方程，求直线l的斜率是关键，也是难点，着重考查点差法
18、，属于中档题11已知集合a，b，c=0，1，2，且下列三个关系：a2；b=2；c0有且只有一个正确，则a+2b+5c等于（）A 4B 5C 7D 11考点：元素与集合关系的判断专题：集合分析：根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a、b、c的值后代入式子求值解答：解：由a，b，c=0，1，2得，a、b、c的取值有以下情况：当a=0时，b=1、c=2或b=2、c=1，此时不满足条件；当a=1时，b=0、c=2或b=2、c=0，此时不满足条件；当a=2时，b=1、c=0，此时不满足条件；当a=2时，b=0、c=1，此时满足条件；综上得，a=2、b=0、c=1，代
19、入a+2b+5c=7，故选：C点评：本题考查了集合相等的条件的应用，以及分类讨论思想，注意列举时按一定的顺序列举，做到不重不漏12已知曲线为函数f（x）=3xx3的图象，过点A（2，2）作曲线的切线，可能的切线条数是（）A 3B 2C 1D 0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的概念及应用；直线与圆分析：设出切点P（m，3mm3），利用导数求出过切点的切线方程，代入M点坐标，然后再利用导数求解关于m的方程的解的个数，则答案可求解答：解：设切点为P（m，3mm3），由f（x）=3xx3，得f（x）=33x2，切线的斜率k=33m2，得曲线过P点的切线方程为y3m+m3=（33m2）（
20、xm），即y=3（1m2）x+2m3，切线过点M（2，2），故2=66m2+2m3，即2m36m2+4=0，令h（m）=2m36m2+4，则h（m）=6m212m，由h（m）=0，解得m=0或m=2，当m（，0），（2，+）时，h（m）0，当m（0，2）时，h（m）0h（m）的极大值、极小值分别为h（0）=50，h（2）=30，故其图象与x轴交点3个，也就是切线条数为3故选：A点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了函数零点个数的判断，体现了数学转化思想方法，是中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在答题卡相应位置13已知复数z=a+i（i是虚数单位）是
21、纯虚数，则|z|=1考点：复数求模专题：数系的扩充和复数分析：由于复数z=a+i（i是虚数单位）是纯虚数，可得a=0即可得出|z|解答：解：复数z=a+i（i是虚数单位）是纯虚数，a=0z=i则|z|=1故答案为：1点评：本题考查了纯虚数的定义、模的计算公式，属于基础题14已知函数，则f（1）=0考点：导数的运算专题：导数的概念及应用分析：根据导数的公式求出函数的导数，直接代入即可求值解答：解：函数，f（x）=，f（1）=，故答案为：0点评：本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，比较基础15已知双曲线G：与抛物线H：y2=2px在第一象限相交于点A，且有相同的焦点F，AFx轴
22、，则双曲线G的离心率是+1考点：双曲线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：首先根据题意得到c=，AF=2c=FF，进而根据勾股定理得出AF，然后表示出离心率即可解答：解：由题设知：AF=p，设双曲线的半焦距c，另一个焦点为F，则c=，AF=2c=FF，由AFF为Rt知AF=2c，e=+1故答案为：+1点评：本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题16观察以下列出的表达式：，f（n，2）=n2，f（n，4）=2n2n，推测f（n，k）的表达式，由此计算f（10，20）=910考点：归纳推理专题：推理和证明分析：观察已知式子的规律，并
23、改写形式，归纳可得，把n=10，k=20代入可得答案解答：解：=n2+n，f（n，2）=n2=n2+n，=n2+nf（n，4）=2n2n=n2+n，由归纳推理可得N（n，k）=n2+n，故f（10，20）=10100910=910故答案为：910点评：本题考查归纳推理，观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键，属基础题三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17某中学对高二甲、乙两个同类班级，进行“加强语文阅读理解训练，对提高数学应用题得分率作用”的试验，其中甲班为试验班（加强语文阅读理解训练），乙班为对比班（常规教学，无额外训练），在试验前的测试中，甲、
24、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩（均取整数）如下表所示：60分以下6170分7180分8190分91100分甲班（人数）36111812乙班（人数）713101010现规定平均成绩在80分以上（不含80分）的为优秀（）试分析估计两个班级的优秀率；（）由以上统计数据填写下面22列联表，并问“加强语文阅读理解训练对提高数学应用题得分率”是否有帮助优秀人数非优秀人数合计甲班乙班合计参考公式及数据：，P（2k0）0.500.400.250.150.10k00.4550.7081.3232.0722.706P（2k0）0.050.0250.0100.
25、0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828考点：独立性检验的应用专题：应用题；概率与统计分析：（）根据所给的表格，看出两个班的所有的人数和两个班优秀的人数，分别用两个班优秀的人数除以总人数，得到两个班的优秀率（）根据所给的数据列出列联表，做出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到有95%的把握认为有帮助解答：解：（）由题意知，甲、乙两班均有学生50人，甲班优秀人数为30人，优秀率为，乙班优秀人数为25人，优秀率为，所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%（4分）（）优秀人数非优秀人数合计甲班302050乙班203050合计5050100（8分）因为（10分）所以
26、由参考数据知，有95%的把握认为有帮助 （12分）点评：本题考查列联表，考查独立性检验的作用，在解题时注意求这组数据的观测值时，注意数字的运算，因为这种问题一般给出公式，我们要代入公式进行运算，得到结果18已知数列an是公差d0的等差数列，其中a1、a2是方程x23x+2=0的两根（）求数列an的通项公式；（）记，求数列bn的前100项和T100考点：数列的求和；等差数列的通项公式专题：等差数列与等比数列分析：（）由x23x+2=0，解得x可得a1，a2，利用等差数列的通项公式即可得出；（）由，利用等比数列的前n项和公式即可得出解答：解：（）x23x+2=0，解得x=1，或x=2由题意得a1=
27、1，a2=2，d=1，an=1+（n1）1=n（），=21012+50=2101+48点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19通过市场调查，得到某产品的资金投入x（万元）与获得的利润y（万元）的数据，如表所示：资金投入x23456利润y23569（1）画出数据对应的散点图；（2）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程=x+；（3）现投入资金10万元，估计获得的利润为多少万元？（参考公式：=）考点：回归分析的初步应用专题：计算题；概率与统计分析：（1）根据所给的五对数据，在坐标系中描出对应的点，画出散点图，可
28、以看出这组数据是线性相关的关系；（2）作出横标和纵标的平均数，得到样本中心点的坐标，利用最小二乘法作出线性回归方程的系数，得到方程；（3）把所给的x的值代入线性回归方程，求出y的预报值，得到投入资金10（万元），估计获得的利润解答：解：（1）由x、y的数据可得对应的散点图如图；（3分）（2）=4，=5，（5分）=1.7，（8分）=1.8，（9分） 故y=1.7x1.8（10分）（3）当x=10万元时，y=15.2万元，所以投入资金10万元，估计获得的利润为15.2万元（12分）点评：本题考查了线性回归方程，解题的关键是正确利用最小二乘法来计算线性回归方程的系数考查了学生的运算能力，属于基础题2
29、0已知命题p：方程表示焦点在x轴上的双曲线；命题q：函数在2，5上单调递增（）若p为真命题，求实数m的取值范围；（）若（p）q为真命题，求实数m的取值考点：复合命题的真假；双曲线的标准方程专题：简易逻辑分析：（）根据双曲线的定义即可求出m的范围；（）当q为真命题时，利用导数求出参数m的范围，再根据符合命题，（p）q为真命题，得到p假q真，继而求出m的范围解答：解：（）表示焦点在x轴上的双曲线，（2分）解得m3（4分）p为真命题时，实数m的取值范围为（3，+），）（）在2，5上单调递增，f（x）=x22x+m0在2，5上恒成立，即mx2+2x在2，5上恒成立x2+2x=（x1）2+1函数g（x）
30、=x2+2x在2，5上单调递减g（x）max=g（2）=4+4=0，即 q：m0（p）q为真命题，p假q真，0m3（p）q为真命题，实数a的取值范围为0，3点评：本题考查复合函数的真假与构成其简单命题的真假的关系，解决此类问题应该先求出简单命题为真时参数的范围，属于中档题21已知点M是椭圆E：上一动点，椭圆E的左、右焦点分别为F1（c，0）、F2（c，0），离心率为e（）若且|MF1|+|MF2|=4；（i）求椭圆E的方程；（ii）设点M到直线x=4的距离为d1，则比值是否为定值？若是求出该定值，若不是，说明理由（）若点M到直线的距离为d2，类比（1）中的（ii），则比值是否为定值？若是，写出
31、该定值（不要求书写求解或证明过程）考点：直线与圆锥曲线的综合问题专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）（i）通过椭圆定义即得结论；（ii）通过设点M的坐标为（x0，y0），利用点到直线的距离公式、两点间距离公式代入化简即得结论；（）类比可知为离心率解答：解：（）（i）由题意得（1分）解得：a=2，c=1（2分）b2=a2c2=3，椭圆E的方程为（4分）（ii）设点M的坐标为（x0，y0），则，d1=|x04|，（7分），为定值（10分）（）为定值e（或） （12分）点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题22已知函数f（x）=ax
32、lnx，aR（） 若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处切线的斜率为1，求a的值；（） 讨论函数f（x）极值点的个数；（） 若f（x）xlnx在1，+）上恒成立，求a的取值范围考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的综合应用分析：（）先求出函数f（x）的导数，根据f（1）=1，从而求出a的值；（）先求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，从而得到函数的极值点的个数；（）问题转化为在1，+）上恒成立，令，通过求导得到函数g（x）的单调性，从而有g（x）min=g（1）=0，进而求出a的范围解答：解：（） 由f（x）=axlnx，得，又，a=2；（），x0，当a0
33、时，f（x）0在（0，+）上恒成立，函数f（x）在（0，+）上单调递减；f（x）在（0，+）上没有极值点，当a0时，f（x）0得，f（x）0得，f（x）在上单调递减，在上单调递增，f（x）在有极小值综上得 当a0时，f（x）在（0，+）上没有极值点；当a0时，f（x）在（0，+）上有一个极值点（） f（x）xlnx在1，+）上恒成立，即在1，+）上恒成立，令，x1，+），令h（x）=xlnx+1，在1，+）上恒成立，h（x）在1，+）上单调递增，h（x）h（1）=2，g（x）0在1，+）上恒成立，g（x）在1，+）上单调递增，g（x）min=g（1）=0，a0点评：本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查导数的应用，考查转化思想，本题属于难题