1、高考资源网（） 您身边的高考专家1.2.3同角三角函数的基本关系式学 习 目 标核 心 素 养1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用(重点)2会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明(难点)1.通过同角三角函数基本关系式推理，培养学生的逻辑推理素养2借助同角三角函数基本关系式的应用，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2 cos2 1.商数关系：tan_.(2)语言叙述：同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切思考：“同角”一词的含义是什么？提示一是“角相同”，如sin2cos21就不一定成立二是对任意一个角(
2、在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin215cos2151，sin2cos21等1已知是第二象限角，sin ，则cos ()ABCDA利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算因为为第二象限角，所以cos .2已知sin ，则sin4cos4的值为()ABC DBcos21sin21，sin4cos4(sin2cos2)(sin2cos2).3若sin 3cos 0，则的值为_因为sin 3cos 0，所以tan 3，因此原式.应用同角三角函数关系求值【例1】(1)若sin ，且是第三象限角，求cos ，tan 的值；(2)若cos ，求tan 的值；(3)
3、若tan ，求sin 的值思路探究对(1)中明确是第三象限角，所以只有一种结果对(2)，(3)中未指出角所在象限的情况，需按所在象限讨论，分类求解，一般有两种结果解(1)sin ，是第三象限角，cos ，tan .(2)cos 0，是第一、四象限角当是第一象限角时，sin ，tan ；当是第四象限角时，sin ，tan .(3)tan 0，是第二、四象限角由可得sin2.当是第二象限角时，sin ；当是第四象限角时，sin .利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：(1)已知角的某一种三角函数值，求角的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系；(2)若
4、角所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果.1已知sin cos ，且0，求tan 的值解法一：sin cos ，sin2cos21，sin2cos22sin cos 12，(sin cos )2，sin cos .同理(sin cos )212sin cos 1.sin cos 0,0，0，cos 0，sin cos .由，得或，tan 或tan .法二：sin cos ，12tan225tan 120，(3tan 4)(4tan 3)0，tan 或tan .应用同角三角函数关系化简【例2】若sin tan 0，化简.解sin
5、tan 0，cos 0.原式.解答此类题目常用的方法有：1化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的2对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的3对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的2化简：.解原式1.三角恒等式的证明探究问题1证明三角恒等式常用哪些方法？提示(1)从右证到左(2)从左证到右(3)证明左右归一(4)变更命题法如：欲证明，则可证MQNP，或证等2在三角函数的化简和证明问题中，常利用“1”的代换求解，常见的代换形式有哪些？提示sin2cos21，tan
6、 1.【例3】求证：(1)；(2)2(sin6 cos6 )3(sin4 cos4 )10.思路探究解答本例题可以从左边推到右边，也可以作差比较关键是利用好“1”的代换和乘法公式等变形技巧证明(1)左边右边，原等式成立(2)左边2(sin2)3(cos2)33(sin4cos4)12(sin2cos2)(sin4 sin2cos2cos4)3(sin4cos4)1(2sin42sin2cos22cos4)(3sin43cos4)1(sin42sin2cos2cos4)1(sin2cos2)21110右边，原等式成立1证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，
7、即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法)2常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)3解决此类问题要有整体代换思想3求证：.证明右边左边，原等式成立(教师用书独具)1同角三角函数基本关系式的变形形式(1)平方关系：1sin2 cos2 ，1cos2 sin2 .(2)商数关系：sin tan cos ，cos .2已知sin cos ，整体代入求值已知sin cos 求值的问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解涉及的三角恒等式：(sin cos )212sin cos；(sin cos )212sin cos；(sin
8、 cos )2(sin cos )22；(sin cos )2(sin cos )24sin cos .所以知道sin cos ，sin cos ，sin cos 这三者中任何一个，另两个式子的值均可求出3应用平方关系式由sin 求cos 或由cos 求sin 时，注意的范围，如果出现无法确定的情况一定要对所在的象限进行分类讨论，以便确定其符号.1如果是第二象限的角，下列各式中成立的是()Atan Bcos Csin Dtan B由商数关系可知A，D项均不正确，当为第二象限角时，cos 0，sin 0，故B项正确2已知是第四象限角，cos ，则sin 等于()A.BC.DB由条件知sin .3已知sin cos ，则sin cos _.sin cos ，(sin cos )2.sin22sin cos cos2.12sin cos .sin cos .4已知tan ，且是第三象限的角，求sin ，cos 的值解由tan 得sin cos .又sin2cos21，由得cos2cos21.cos2.又是第三象限的角，cos .sin cos .- 10 - 版权所有高考资源网