1、2.2.3两条直线的位置关系学 习 目 标核 心 素 养1.掌握两条直线相交的判定方法，会求两条相交直线的交点坐标(重点)2掌握两条直线平行与垂直的判定方法，注意利用直线方程的系数和利用斜率判定直线平行与垂直的差别(重点)3灵活选取恰当的方法判定两条直线的位置关系(难点)1.通过学习两直线位置关系的方法，培养逻辑推理的数学核心素养2借助两直线方程的学习，培养数学运算的核心素养.1两条直线相交、平行与重合的条件(1)代数方法判断两条直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20的位置关系，可以用方程组的解进行判断(如下表所示)方程组的解位置关系交点个数代数条件无解平行无交点A1B2A2B
2、10而B1C2C1B20或A2C1A1C20或(A2B2C20)有唯一解相交有一个交点A1B2A2B10或(A2B20)有无数个解重合无数个交点A1A2，B1B2，C1C2(0)或(A2B2C20)(2)几何方法判断若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在y轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下：设l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，l1与l2相交k1k2；l1l2k1k2且b1b2；l1与l2重合k1k2且b1b2.2两条直线垂直对应关系l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1l2k1k21l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1l2图示1
3、已知A(2,0)，B(3,3)，直线lAB，则直线l的斜率k等于()A3 B3CD.B因为kkAB3，所以l的斜率为3.2直线l1，l2的斜率是方程x23x10的两根，则l1与l2的位置关系是()A平行B重合C相交但不垂直D垂直D设两直线的斜率分别为k1，k2，则k1k21，故l1与l2垂直3l1过点A(m,1)，B(3,4)，l2过点C(0,2)，D(1,1)，且l1l2，则m_.0l1l2，且k21，k11，m0.4经过点P(2，1)，Q(3，a)的直线与倾斜角为45的直线垂直则a_.6由题意知1，所以a6.两条直线平行的判定【例1】根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行(1)
4、l1经过点A(2,1)，B(3,5)，l2经过点C(3，3)，D(8，7)；(2)l1经过点E(0,1)，F(2，1)，l2经过点G(3,4)，H(2，3)；(3)l1的倾斜角为60，l2经过点M(1，)，N(2，2)；(4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，2)，Q(0,5)思路探究先确定各题中直线的斜率是否存在，斜率存在的直线利用斜率公式求出斜率，再利用两条直线平行的条件判断它们是否平行解(1)由题意知，k1，k2，所以直线l1与直线l2平行或重合，又kBC，故l1l2.(2)由题意知，k11，k21，所以直线l1与直线l2平行或重合，kFG1，故直线l1与直线l2重合(3)由题意知，k1
5、tan 60，k2，k1k2，所以直线l1与直线l2平行或重合(4)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1l2.1判断两条直线平行，应首先看两条直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等，对于横坐标相等是特殊情况，应特殊判断在证明两条直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不重合才能确定平行因为斜率相等也可以推出两条直线重合2应用两条直线平行求参数值时，应分斜率存在与不存在两种情况求解1已知P(2，m)，Q(m,4)，M(m2,3)，N(1,1)，若直线PQ直线MN，求m的值解当m2时，直线PQ的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与PQ不平行，不合
6、题意；当m1时，直线MN的斜率不存在，而直线PQ的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意；当m2且m1时，kPQ，kMN.因为直线PQ直线MN，所以kPQkMN，即，解得m0或m1.当m0或1时，由图形知，两直线不重合综上，m的值为0或1.两条直线垂直的判定【例2】(1)l1经过点A(3,2)，B(3，1)，l2经过点M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直；(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(1，a2)，若l1l2，求a的值思路探究(1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断；若一条直线的斜率不存在，再看另一条的斜率是否为0，若为0
7、，则垂直；(2)当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于1求解；若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解解(1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1l2.(2)由题意，知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在当l1的斜率不存在时，3a2，即a5，此时k20，则l1l2，满足题意当l1的斜率k1存在时，a5，由斜率公式，得k1，k2.由l1l2，知k1k21，即1，解得a0.综上所述，a的值为0或5.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法1一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进
8、行第二步2二代：就是将点的坐标代入斜率公式3求值：计算斜率的值，进行判断尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论提醒：若己知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况2已知直线l1的斜率为k1，直线l2经过点A(3a，2)，B(0，a21)，且l1l2，则实数a_.1或3l1l2，且k1，kAB，即，即a24a30，解得a1或a3.直线平行与垂直的综合应用探究问题1已知ABC的三个顶点坐标A(5，1)，B(1,1)，C(2,3)，你能判断ABC的形状吗？提示如图，AB边所在的直线的斜率kAB，BC边所在直线的斜率kBC2.由kABkBC1，得A
9、BBC，即ABC90.ABC是以点B为直角顶点的直角三角形2若已知直角三角形ABC的顶点A(5，1)，B(1,1)，C(2，m)，你能求出m的值吗？提示若A为直角，则ACAB，所以kACkAB1，即1，得m7；若B为直角，则ABBC，所以kABkBC1，即1，得m3；若C为直角，则ACBC，所以kACkBC1，即1，得m2.综上可知，m7或m3或m2.【例3】如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)，P(1，t)，Q(12t,2t)，R(2t,2)，其中t0.试判断四边形OPQR的形状思路探究利用直线方程的系数关系，或两直线间的斜率关系，判断两直线的
10、位置关系解由斜率公式得kOPt，kQRt，kOR，kPQ.所以kOPkQR，kORkPQ，从而OPQR，ORPQ.所以四边形OPQR为平行四边形又kOPkOR1，所以OPOR，故四边形OPQR为矩形1将本例中的四个点，改为“A(4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(3，0)，顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形ABCD的形状”解由题意A，B，C，D四点在平面直角坐标系内的位置如图，由斜率公式可得kAB，kCD，kAD3，kBC.所以kABkCD，由图可知AB与CD不重合，所以ABCD，由kADkBC，所以AD与BC不平行又因为kABkAD(3)1，所以ABAD，故四边形ABCD为直角梯
11、形2将本例改为“已知矩形OPQR中按逆时针顺序依次为O(0，0)，P(1，t)，Q(12t,2t)，试求顶点R的坐标”解因为OPQR为矩形，所以OQ的中点也是PR的中点，设R(x，y)，则由中点坐标公式知解得所以R点的坐标是(2t,2)1利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤2判定几何图形形状的注意点(1)在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜测其形状，以明确证明的目标(2)证明两直线平行时，仅仅有k1k2是不够的，还要注意排除两直线重合的情况(3)判断四边形形状，要依据四边形的特点，并且不会产生其他的情况1本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件，会利用斜率判断
12、两条直线平行或垂直，难点是利用斜率判断两条直线平行或垂直2本节课要重点掌握的规律方法(1)判断两条直线平行的步骤，(2)利用斜率公式判断两条直线垂直的方法，(3)判断图形形状的方法步骤3本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若两条直线斜率相等，则这两条直线平行()(2)若l1l2，则k1k2.()(3)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交()(4)若两直线斜率都不存在，则两直线平行()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)、(4)中两直线有可能重合，故(1)(4)错误；(2)可能出现两
13、直线斜率不存在情况，故(2)错误；(3)正确2过点(，)，(0,3)的直线与过点(，)，(2,0)的直线的位置关系为()A垂直B平行C重合 D以上都不正确A过点(，)，(0,3)的直线的斜率k1；过点(，)，(2,0)的直线的斜率k2.因为k1k21，所以两条直线垂直3已知直线l1的倾斜角为60，直线l2的斜率k2m24，若l1l2，则m的值为_2由题意得m24tan 60，解得m2.4当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m21，m2)的直线：(1)倾斜角为135.(2)与过两点(3,2)，(0，7)的直线垂直(3)与过两点(2，3)，(4,9)的直线平行解(1)由kABtan 1351，解得m或m1.(2)由kAB，且3.则，解得m或m3.(3)令2，解得m或m1.
