1、23一元二次不等式23.1一元二次不等式及其解法新课程标准解读核心素养1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集数学抽象、数学运算2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系直观想象、数学建模园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2.问题围成的这个矩形区域的边长应为多少米？知识点一一元二次不等式1把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式2一元二次不等式的一般形式是ax2b
2、xc0或ax2bxc0(其中a，b，c均为常数，a0)对一元二次不等式的再理解(1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)；(2)二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0. 下面所给关于x的几个不等式：3x40；ax24x70；x20(a0)或ax2bxc0)；(2)求方程ax2bxc0(a0)的根，并画出对应函数yax2bxc的图象简图；(3)由图象得出不等式的解集2代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解当m0，则可得xn或xm；若(xm)(xn)0，则可得mx0(a0)的解集为R，则a，b，c应当满足的关系式？提示：b24ac0.2ax2bxc0(a
3、0)的解集为R，则a，b，c应当满足的关系式？提示：b24ac0；(2)x23x40；(3)(xa)(xa1)0.答案：(1)R(2)x|4x000)的根有两个相异的实数根x1，2有两个相等的实数根x1x2没有实数根续表判别式b24ac000)的图象二次函数yax2bxc(a0)的零点有两个零点x1，2有一个零点x无零点ax2bxc0(a0)的解集(，x1)(x2，)ax2bxc0)的解集(x1，x2)1函数的角度：一元二次不等式ax2bxc0表示二次函数yax2bxc的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2bxc0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围2方程的角度
4、：一元二次不等式ax2bxc0的解集的端点值是一元二次方程ax2bxc0的根 当0时，不等式ax2bxc0(a0)与ax2bxc0(a0)的解集分别是什么？提示：R，.1不等式x(x2)0的解集为_，不等式x(x2)0的解集为_答案：x|x2x|0x22已知不等式ax2bx20的解集为x|1x2，则ab_答案：4一元二次不等式的解法例1(链接教科书第51页例1、例2)解下列不等式：(1)2x25x30；(4)x26x100.解(1)490，方程2x25x30的两根为x13，x2，作出函数y2x25x3的图象，如图所示由图可得原不等式的解集为.(2)原不等式等价于3x26x20.120，解方程3
5、x26x20，得x1，x2，作出函数y3x26x2的图象，如图所示，由图可得原不等式的解集为.(3)0，方程4x24x10有两个相等的实根x1x2.作出函数y4x24x1的图象如图所示由图可得原不等式的解集为.(4)原不等式可化为x26x100，40或ax2bxc0)的一元二次不等式，一般可分为三步：(1)确定对应一元二次方程ax2bxc0的根；(2)画出对应二次函数yax2bxc的大致图象；(3)由图象得出不等式的解集对于二次项系数是负数(即a0)的一元二次不等式，可以先把二次项系数化为正数，再按上述步骤求解 跟踪训练解下列不等式：(1)4x220x25；(2)(x3)(x7)0；(3)3x
6、25x40；(4)x(1x)x(2x3)1.解：(1)不等式可化为4x220x250，由于0，且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线，所以不等式的解集是.(2)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7，且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线，故不等式的解集是x|3x7(3)不等式3x25x40可化为3x25x40，由于判别式2548230，函数y3x25x4的图象开口向上，所以不等式的解集是R.(4)不等式x(1x)x(2x3)1可化为3x24x10.因为方程3x24x10的两个根是，1，函数y3x24x1的图象开口向上，所以不等式的解集是简单分式不等式的解法例2(链接教科书第53页例4)解
7、下列不等式：(1)0；(2)1.解(1)0(x3)(x2)02x3，原不等式的解集为x|2x3(2)1，10，0，即0.此不等式等价于(x4)0且x0，解得x或x4，原不等式的解集为.1对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零2对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解 跟踪训练解下列不等式：(1)0；(2)3.即原不等式的解集为x|x1，或x3(2)不等式3可改写为30，即0.可将这个不等式转化成2(x1)(x1)0，解得1x1.所以原不等式的解集为x|1x1.三个
8、“二次”之间的关系例3(链接教科书第54页例6)已知关于x的不等式ax25xc0的解集为.(1)求a，c的值；(2) 解关于x的不等式ax2(ac2)x2c0.解(1)由题意知不等式对应的方程ax25xc0的两个实数根为和，且a0，由根与系数的关系，得解得a6，c1.(2)由a6，c1知不等式ax2(ac2)x2c0可化为6x28x20，即3x24x10，解得x1，所以不等式的解集为.一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤(1)求解方法：由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集(2)求解步骤第一步：审结论明确解题方向：
9、如要解cx2bxa0，首先确定c的符号，最好能确定a，b，c的值；第二步：审条件挖掘题目信息：利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用a表示b，c；第三步：建联系找解题突破口：由给定不等式的解集形式确定关于a，b，c的方程组用a表示b，c代入所求不等式求解cx2bxa0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()Am B0m0 Dm1(2)若对任意实数x，关于x的不等式(a21)x2(a1)x10在R上恒成立，则(1)24m，因此当不等式x2xm0在R上恒成立时，必有m0，但当m0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m0.(2)若a2
10、10，则a1，当a1时，原不等式即为10，解集为R.当a1时，原不等式即为2x10，解集为，与题意不符若a1，则当时，不等式解集为R，解得a0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a0时，b0，c0；当a0时，2不等式ax2bxc0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a0时，b0，c0对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为_解析：(1)当m24m50，即m1或m5时，显然m1符合条件，m5不符合条件；(2)当m24m50时，由二次函数对一切实数x恒为正数，得解得1m2的解集是()A(1，0)(1，)B(，1)(0，1)C(1，0)(0，1)D(，1)(1，)解析：选A取x2，它不是不等式的解，排除B、D；取x2，它是不等式的解，排除C.4当1x2时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_解析：设yx2mx4，要使1x2时，不等式x2mx40恒成立则有解得m5.答案：(，5