1、第二课时不等式的性质清丽、优美的芭蕾舞剧睡美人序曲奏响了，一名女演员双手抚摸着短裙，眼里闪烁着倔强和自信的目光只见她踮起脚尖，一个优雅的旋转，轻盈地提着舞裙，飘然来到台上，在追光灯下飘起舞裙，那飘洒翩跹的舞姿，把整个舞台化成一片梦境她为什么要踮起脚尖呢？因为一般的人，下半身长x与全身长y的比值在0.570.6之间设人的脚尖立起提高了m，则下半身长与全身长度的比由变成了，这个比值非常接近黄金分割值0.618.问题你能利用不等式的性质证明吗？知识点等式与不等式的性质等式的性质不等式的性质abba性质1：如果ab，那么ba；如果bb.即abbb，bc，那么ac，即ab，bcacabacbc性质3：如
2、果ab，那么acbc；推论1：如果abc，那么acb；推论2：如果ab，cd，那么acbdabacbc性质4：如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acb0，cd0，那么acbd；推论4：如果ab0，那么anbn(nN)ab0(nN)性质5：如果ab0，那么(nN)性质6：如果ab，且ab0，那么；如果ab，且abb0. 1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)同向不等式相加与相乘的条件是一致的()(2)若ab或ab之中有一个正确，则ab正确()(3)若ab，则ac2bc2一定成立()(4)若acbd，则ab，cd.()答案：(1)(2)(3)(4)2已知ab0，bbbaBa
3、babCabba Dabab答案：C3若ab0，n0，则_.(填“”“”或“”)答案：利用不等式的性质判断命题的真假例1(链接教科书第36页练习1题)(多选)对于实数a，b，c，下列结论正确的是()A若a，bR，且ab，则a3b3B若ab0，则a2abb2C若ab，则a0，b0D若ab0，则解析A：因为a3，b3不改变a，b的符号，即符合不等式的可乘方性，故该结论正确B：由可得a2ab.因为所以abb2，从而有a2abb2.故该结论正确C：由，可知0.因为ab，所以ba0，于是ab0.又因为ab，所以a0，b0.故该结论正确D：依题意取a2，b1，则，2，显然.故该结论错误故选A、B、C.答案
4、ABC利用不等式的性质判断正误的2种方法(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可；(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性 跟踪训练1下列命题中，正确的是()A若ab，cd，则acbdB若acbc，则abC若ab，cd，则acbdD若，则ab解析：选D选项A中，当ab0，cd0时，acbd成立，但是当a，c均为负值时不成立，故A不正确；选项B中，当c0时，acbc可推出ab.当c0时，acbc可推出ab，故B不正确；选项C中，由ab，cd，可得adbc，
5、故C不正确；选项D中，式子成立，显然c0，所以c20，根据不等式的性质：不等式两边同乘一个正数，所得的不等式的不等号与原不等式的不等号同向，显然有ab成立，故D正确故选D.2已知abc，且abc0，则下列不等式恒成立的是()AabbcBacbcCabac Da|b|b|c解析：选C因为abc，且abc0，所以a0，cac.利用不等式的性质证明不等式例2(链接教科书第36页例3、例4)已知cab0，求证：.证明因为ab0abcaa，所以ca0.所以0ca0.又因为ab0，所以.利用不等式的性质证明不等式的注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式解决此类问题一定要在理解的基础上，记
6、准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则 跟踪训练1已知ab，ef，c0，求证：facebc.证明：因为ab，c0，所以acbc，即acbc.又ef，即fe，所以facebc.2若bcad0，bd0，求证：.证明：bcad0，bcad，bcbdadbd，即b(cd)d(ab)又bd0，两边同除以bd得，.用不等式性质求代数式的取值范围例3已知1a4，2b8，试求2a3b与ab的取值范围解1a4，2b8，22a8，63b24.82a3b32.2b8，8b2.又1a4
7、，1(8)a(b)4(2)，即7ab2.故2a3b的取值范围是82a3b32，ab的取值范围是7ab2.母题探究(变设问)在本例条件下，求的取值范围解：2b8，而1a4，1a4，即2.故的取值范围是2.利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围；(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围 跟踪训练已知1x4，2y3.(1)求xy的取值范围；(2)求3x2y的取值范围解：(1)因为1x4，2y3，所以3y2，所以4xy2.(2)由1
8、x4，2y3，得33x12，42y6，所以13x2y18.不等式性质的应用实例探究下列关于糖水浓度的问题，你能否抽象出相应的数学表达式，并应用不等式的性质证明？1把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；2如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了问题探究1设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为，且，求证：a0，dc0)证明：a0，dc0，ad0，0，即0，即.(其中ba0，m0)证明：0，.迁移应用已知ABC的三边长是a，b，c，且m为正数，求证：.证明：在ABC中，abc0，.1根据等式的性质判断下列变形正确的是()A如果2
9、x3，那么B如果xy，那么x55yC如果x6，那么x3D如果xy，那么2x2y解析：选D对于A，没有a0的条件，等式的两边不能都除以a，故选项A不正确；对于B，等式的左边减去5，等式的右边乘以1后加上5，等式不成立，故选项B不正确；对于C，等式的左边乘以2，等式的右边除以2，等式不成立，故选项C不正确；对于D，等式的两边都乘以2，等式成立，故选项D正确2已知a，b，c，dR，则下列命题中必成立的是()A若ab，cb，则acB若ab，则cacbC若ab，cd，则 D若a2b2，则ab解析：选B选项A，若a4，b2，c5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如ab0，c0d时，不成立；选项D只有ab0时才成立，否则如a1，b0时不成立，故选B.3若abcd0，且a0，bc，d0，则()Ab0，c0 Bb0，c0Cb0，c0 D0cb或cb0解析：选D由a0，d0，且abcd0，知bc0，又bc，0cb或cb0.4已知6a8，2b3，求的取值范围解：2b3，.当0a8时，04；当6a0时，30.由得34，即的取值范围是34.