1、高考资源网（） 您身边的高考专家1.1.4投影与直观图学 习 目 标核 心 素 养1.了解投影的概念(重点)2了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤(重点)3会用斜二测画法画出一些简单平面图形和常见几何体的直观图(重点)4逆用斜二测画法，找出直观图的原图(难点)1.通过学习斜二测画法的步骤，培养直观想象的数学核心素养2借助斜二测画法，找出直观图，培养数学抽象的核心素养.1平行投影(1)投影定义：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影投射线：光线投射面：留下影子的屏幕(2)平行投影当投射光线为一束平行线时，该投影称为平行投影(3)平行投影的性质直线
2、或线段的平行投影仍是直线或线段；平行直线的平行投影是平行或重合的直线；平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比2直观图的概念(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形3用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x轴和y轴
3、，两轴交于点O，且使xOy45(或135)，它们确定的平面表示水平面(2)画线：已知图形中平行于或在x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于或在x轴、y轴的线段(3)取长度：已知图形中在x轴上或平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，在y轴上或平行于y轴的线段，长度为原来的一半4立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面xOy垂直的轴Oz，且平行于Oz的线段长度不变其他同平面图形的画法1利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的()C正方形的直观图是平行四边形，且平行于x轴的边长为3 cm，平行于y轴的边长为1.5 cm.2.如图，ABC是ABC的
4、直观图，其中ABAC，那么ABC是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D钝角三角形B由斜二测画法的规则可知ABC为直角三角形，且直角边的长度关系为AC2AB.3一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是_线段；直线；圆；梯形；长方体线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长方体是三维空间图形，其投影不可能是线段；直线的投影，只能是直线或点画平面图形的直观图【例1】按图的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图思路探究按照斜二测画法画水平放置的平面图形的步骤画直观图解画法：(1)在图中作AGx轴于点G，作DHx轴于点H.(2)在图中画相应的x轴与y轴，两轴相交
5、于点O，使xOy45.(3)在图中的x轴上取OBOB，OGOG，OCOC，OHOH，y轴上取OEOE，分别过G和H作y轴的平行线，并在相应的平行线上取GAGA，HDHD.(4)连接AB，AE，ED，DC，并擦去辅助线GA，HD，x轴与y轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图ABCDE(如图)1在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点2画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段1用斜二测画法画水平放置的等腰梯形ABCD的直观
6、图，如图所示解画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系xOy，使xOy45(如图)(2)以O为中点在x轴上取ABAB，在y轴上取OEOE，以E为中点画CDx轴，并使CDCD.(3)连接BC，DA，所得的四边形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图画空间几何体的直观图【例2】画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图思路探究解画法：(1)画轴：画Ox轴、Oy轴、Oz轴，xOy45(或135)，xOz90，如图.(2)画底面：以O为中心，在xOy平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD.(3)画顶点：在Oz轴上截取OP，使OP的长度是
7、原四棱锥的高(4)成图：顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图.1画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可2直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变”2用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图解(1)画轴：画x轴、y轴、z轴，使xOy45(或135)，xOz90.(2)画底面：在面xOy内，画出正六边形的直观图ABCDEF.(3)画侧棱：过A、B、C、D、E、F分别作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA、BB
8、、CC、DD、EE、FF都等于侧棱长(4)成图：顺次连线A、B、C、D、E、F，并加以整理就得到正六棱柱的直观图，如图所示直观图的还原和计算问题探究问题1如图，ABC是水平放置的ABC斜二测画法的直观图，能否判断ABC的形状？提示根据斜二测画法规则知：ACB90，故ABC为直角三角形2若探究1中ABC的AC6，BC4，则AB边的实际长度是多少？提示由已知得ABC中，AC6，BC8，故AB10.3若已知一个三角形的面积为S，它的直观图面积是多少？提示原三角形面积为Sah(a为三角形的底，h为三角形的高)，画直观图后，aa，hhsin 45h，SahahahS.【例3】如图所示，ABC是水平放置的
9、平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形思路探究由直观图还原平面图形的关键(1)平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段扩大为原来的2倍(2)对于相邻两边不与x、y轴平行的顶点可通过作x轴，y轴平行线变换确定其在xOy中的位置解画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OAOA，即CACA；过B作BDy轴，交x轴于点D，在OA上取ODOD，过D作DBy轴，且使DB2DB；连接AB，BC，得ABC.则ABC即为ABC对应的平面图形，如图所示如图所示，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，CD2 cm，则原图形的形状是_菱形如图所示，在原图形OABC中，应有OABC，O
10、D2OD224(cm)，CDCD2(cm)，OC6(cm)，OAOC，故四边形OABC是菱形1由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高2若一个平面多边形的面积为S，它的直观图面积为S，则SS.1本节课的重点是了解中心投影与平行投影，难点是画几何体的直观图2本节课掌握的规律方法(1)判断几何体投影形状及画投影的方法(2)画出空间几何体的直观图(3)直观图的还原与计算3本节课的易错点是混淆中心投影和平行投影. 1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两条平行线段在直观图中对应的两条线段
11、仍然平行()(2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴()(3)平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变()(4)斜二测坐标系取的角可能是135.()答案(1)(2)(3)(4)提示平行于y轴的线段在直观图中变为原来的一半，故(3)错误；由斜二测画法的基本要求可知(1)(2)(4)正确2关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是()A直角三角形的直观图仍是直角三角形B梯形的直观图是平行四边形C正方形的直观图是菱形D平行四边形的直观图仍是平行四边形D由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确3如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B到x轴的距离为_画出直观图，BC对应BC，且BC1，BCx45，故顶点B到x轴的距离为.4画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图解(1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x轴与y轴，两轴相交于点O，使xOy45.(2)在x轴上截取OBOC0.5 cm，在y轴上截取OAAO cm，连接AB，AC，则ABC即为正三角形ABC的直观图- 10 - 版权所有高考资源网