1、2014-2015学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）（2015春龙海市校级期中）设复数z的共轭复数是，z=3+i，则等于（） A 3+i B 3i C i+ D +i考点： 复数的基本概念专题： 数系的扩充和复数分析： 由已知求出，代入化简计算解答： 解：z=3+i，所以=3i，则；故选：D点评： 本题考查了复数的共轭复数以及复数的除法运算；属于基础题2（5分）（2015春龙海市校级期中）若a1，2，3，5，b1，2，3，5，则方程y=x表示的不同直线条数为（
2、） A 11 B 12 C 13 D 14考点： 计数原理的应用专题： 排列组合分析： 先不考虑重复情况，有16种情况，再减去其中斜率为1时重复三次，故可得答案解答： 解：由题意，不考虑重复情况，有44=16种情况，其中斜率为1时重复三次，故方程y=x表不同的直线有163=13条，故选：C点评： 本题以直线为载体，考查排列问题，注意排除重复情况3（5分）（2014秋崇义县校级期末）以正弦曲线y=sinx上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是（） A B 0，） C D 考点： 三角函数的化简求值专题： 计算题分析： 先对函数解析式求导，进而利用余弦函数的性质求得导函数的范围，进
3、而求得切线的斜率的范围，则直线的倾斜角的范围可得解答： 解：y=cosxcosx1，1切线的斜率范围是1，1倾斜角的范围是0，故选A点评： 本题主要考查了三角函数的化简求值，导函数的基本知识考查了学生对基础知识的灵活运用4（5分）已知Cn+17Cn7=Cn8，那么n的值是（） A 12 B 13 C 14 D 15考点： 组合及组合数公式专题： 计算题分析： 根据题意，由组合数的性质，可得Cn8+Cn7=Cn+18，即Cn+17=Cn+18，再结合组合数的性质，分析可得答案解答： 解：根据题意，Cn+17Cn7=Cn8，变形可得，Cn+17=Cn8+Cn7，由组合数的性质，可得Cn8+Cn7=
4、Cn+18，即Cn+17=Cn+18，进而可得8+7=n+1，解可得n=14，故选C点评： 本题考查组合数的性质，Cnm+Cnm1=Cn+1m是一个常用的性质5（5分）（2015春龙海市校级期中）函数y=x2ex的单调递减区间是 （） A （1，2） B （，1）与（1，+） C （，2）与（0，+） D （2，0）考点： 利用导数研究函数的单调性专题： 导数的综合应用分析： 由y=2xex+x2ex0，解得x的取值范围即可解答： 解：由y=2xex+x2ex0，解得2x0函数y=x2ex的单调递减区间是（2，0）故选D点评： 熟练掌握原理导数研究函数的单调性的方法是解题的关键6（5分） “可
5、导函数y=f（x）在一点的导数值是0”是“函数y=f（x）在这点取极值”的（） A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 简易逻辑分析： 根据函数极值的定义以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答： 解：函数y=f（x）在一点的导数值是0，则函数y=f（x）在这点不一定取极值，比如函数f（x）=x3，满足f（0）=0，但x=0不是极值若函数y=f（x）在这点取极值，则根据极值的定义可知，y=f（x）在一点的导数值是0成立，“函数y=f（x）在一点的导数值是0”是“函数y=f（x）在这点取极值”必要不充分条
6、件故选：A点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数极值的定义和性质是解决本题的关键7（5分）（2015春龙海市校级期中）函数y=x+2cosx在0，上取得最大值时，x的值为（） A 0 B C D 考点： 函数的最值及其几何意义专题： 计算题分析： 先求导函数，令导数等于0 求出满足条件的x，然后讨论导数符号，从而求出何时函数取最大值解答： 解：y=12sinx=0 x0，解得：x=当x（0，）时，y0，函数在（0，）上单调递增当x（，）时，y0，函数在（，）上单调递减，函数y=x+2cosx在0，上取得最大值时x=故选B点评： 本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及利用导数
7、研究函数的最值，属于中档题8（5分）（2014昌邑区校级三模）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（） A B 个 C 个 D 个考点： 排列、组合及简单计数问题专题： 计算题；概率与统计分析： 先求从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数，再求出后接4个数字组成的方法数，由此可得结论解答： 解：先从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数为，后接4个数字组成的方法数为由分步计数原理可得不相同的牌照号码共个故选A点评： 本题考查排列知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题9（5分）（2015春祁县校级期中）如图，阴影部分的面积是（）
8、 A 2 B 2 C D 考点： 定积分在求面积中的应用专题： 导数的综合应用分析： 利用定积分的几何意义表示出阴影部分的面积，然后计算解答： 解：由题意，结合图形，得到阴影部分的面积是=（3x）|=；故选C点评： 本题考查了利用定积分求封闭图形的面积；关键是正确利用定积分表示面积，然后计算10（5分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f（x），f（0）0，对于任意实数x都有f（x）0，则的最小值为（） A 3 B C 2 D 考点： 导数的运算专题： 综合题；压轴题分析： 先求导，由f（0）0可得b0，因为对于任意实数x都有f（x）0，所以结合二次函数的图象可得a0且b24ac0
9、，又因为，利用均值不等式即可求解解答： 解：f（x）=2ax+b，f（0）=b0；对于任意实数x都有f（x）0，a0且b24ac0，b24ac，c0；，当a=c时取等号故选C点评： 本题考查了求导公式，二次函数恒成立问题以及均值不等式，综合性较强二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）11（4分）（2015春龙海市校级期中）dx=+考点： 定积分专题： 导数的概念及应用分析： 根据定积分的几何意义，所求表示如图所示的阴影部分的面积，分割法求之解答： 解：dx=2dx，由定积分的几何意义，dx所求表示如图阴影部分的面积，即直角三角形OAB与扇形OAC的面积和，其中AB=，AOC=30故S
10、阴影=S扇形BOC+SAOB=4+=+，dx=2dx=+，故答案为：+点评： 本题考查了定积分的几何意义的运用；关键是明确所求对应的几何图形12（4分）（12x）5（2+x）的展开式中x3项的系数是120考点： 二项式定理专题： 计算题分析： 将问题转化为二项式（12x）5的展开式的系数问题，求出（12x）5展开式的通项，分别令r=2，3求出（12x）5（2+x）的展开式中x3项的系数解答： 解：（12x）5（2+x）的展开式中x3项的系数是（12x）5展开式中x3项的系数的2倍与（12x）5展开式中x2项的系数的和（12x）5展开式的通项为Tr+1=（2）rC5rxr令r=3得到x3项的系数
11、为8C53=80令r=2得到x2项的系数为4C52=40所以（12x）5（2+x）的展开式中x3项的系数是802+40=120故答案为120点评： 解决二项展开式的特定项问题常利用的工具是二项展开式的通项公式13（4分）（2015春龙海市校级期中）定义在R上的可导函数f（x），已知y=f（x）的图象如图所示，则y=f（x）的增区间是R考点： 函数的单调性与导数的关系专题： 导数的概念及应用分析： 通过图象得到f（x）0在R上恒成立，从而求出函数f（x）的单调区间解答： 解：由图象得：f（x）0在R上恒成立，函数y=f（x）在R上递增，故答案为：R点评： 本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，
12、是一道基础题14（4分）已知函数f（x）=x312x+8在区间3，3上的最大值与最小值分别为M，m，则Mm=32考点： 利用导数求闭区间上函数的最值专题： 计算题分析： 先对函数f（x）进行求导，令导函数等于0求出x，然后根据导函数的正负判断函数f（x）的单调性，列出在区间3，3上f（x）的单调性、导函数f（x）的正负的表格，从而可确定最值得到答案解答： 解：令f（x）=3x212=0，得x=2或x=2，列表得：可知M=24，m=8，Mm=32故答案为：32点评： 本题主要考查函数的求导运算、函数的单调性与其导函数的正负之间的关系和函数在闭区间上的最值导数是由高等数学下放到高中的内容，每年必考
13、，要引起重视15（4分）（2015春龙海市校级期中）如图（1），在三角形ABC中，ABAC，若ADBC，则AB2=BDBC；若类比该命题，如图（2），三棱锥ABCD中，AD面ABC若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有考点： 类比推理专题： 推理和证明分析： 利用类比推理，将平面中的线与空间中的面类比，得到类比结论通过连接DM，据BCAM，BCAD得到BCADE得到BCED得到满足平面条件的三角形AED，利用平面三角形的性质得证解答： 解：由已知在三角形ABC中，ABAC，若ADBC，则AB2=BDBC；类比：三棱锥ABCD中，AD面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则
14、有SABC2=SBCMSBCD在图（2）中，连接DM，并延长交BC于E，连接AE，则有DEBC因为AD面ABC，所以ADAE又AMDE，所以AE2=EMED于是SABC2=（BCAE）2=（BCEM）（BCED）=SBCMSBCD故有SABC2=SBCMSBCD点评： 本题考查类比推理及利用平面的性质证明空间的结论考查空间想象能力，逻辑思维能力三、解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（13分）（2015春龙海市校级期中）已知（+x2）2n的展开式的系数和比（3x1）n的展开式的系数和大992求在（2x）2n的展开式中：（1）常数项（用数字表示）；（2）二
15、项式系数最大的项考点： 二项式定理专题： 二项式定理分析： 由已知的两个二项式的系数关系得到n，然后求出（2x）2n的展开式通项，化简后取字母指数解答： 解：由题意得（+x2）2n的展开式的系数和为22n比（3x1）n的展开式的系数和2n大992，所以22n2n=992，解得n=5，所以（2x）10的展开式通项为=，令102r=0，则r=5，所以常数项为；（2）在（2x）10的展开式二项式系数最大的为，所以二项式系数最大的项为8064点评： 本题考查了二项展开式的特征项求法；关键是正确写出展开式的通项，由此确定特征项17（13分）（2015春龙海市校级期中）已知曲线（1）求曲线在点P（1，1）
16、处的切线方程（2）求曲线过点P（1，0）处的切线方程考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程专题： 计算题分析： （1）根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；（2）设出曲线过点P切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到（1）求出的导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可；解答： 解：（1）P（1，1）在曲线曲线，且y=在点P（1，1）处的切线的斜率k=y|x=1=1；曲线在
17、点P（1，1）处的切线方程为y1=（x1），即x+y2=0（2）设曲线线，过点P（1，0）的切线相切于点A（x0，），则切线的斜率 k=，切线方程为y（xx0），点P（1，0）在切线上，（1x0），解得x0=故所求的切线方程为4x+y4=0点评： 此题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决18（13分）（2015春龙海市校级期中）4位男生和4位女生共8位同学站成一排，计算下列情况：（1）男生甲和女生乙相邻排队的概率；（2）男生甲和女生乙顺序固定的概率；（3
18、）男生甲不站左端且女生乙不站右端队的排法有几种考点： 排列、组合的实际应用；古典概型及其概率计算公式专题： 计算题；排列组合分析： （1）根据题意，先由排列数公式计算8人排成一排的情况数目，再分2步计算男生甲和女生乙相邻排队的情况：、将甲、乙看成一个元素，考虑其顺序，有2种情况，、将甲乙与其他人进行全排列，共7个元素，由分步计数原理可得男生甲和女生乙相邻排队的情况数目；由古典概型计算公式计算可得答案；（2）根据题意，先由排列数公式计算8人排成一排的情况数目，再由倍分法计算甲、乙顺序一定的情况数目，由古典概型计算公式计算可得答案；（3）根据题意，分2种情况讨论：男生甲站右端，将剩下的7个人进行全
19、排列，安排其他位置即可，男生甲不站右端，依次分析甲、乙、以及其他6人的站法数目，可得此时的站法数目；最后由分步计数原理计算可得答案解答： 解：（1）根据题意，先将8个人排成一排，进行全排列，有A88=8A77=40320种情况，再分2步计算男生甲和女生乙相邻排队的情况：、将甲、乙看成一个元素，考虑其顺序，有2种情况，、将甲乙与其他人进行全排列，共7个元素，有A77=5040种情况，共有2A77=25040=10080种情况；则男生甲和女生乙相邻排队的概率为=；（2）先对8个人全排列，有A88=40320种情况，其中甲乙的顺序有两种情况，即甲在乙前或甲在乙后，数目各占一半，则甲、乙顺序一定的情况
20、有40320=20160种，则男生甲和女生乙顺序固定的概率为=；（3）根据题意，分2种情况讨论：男生甲站右端，将剩下的7个人进行全排列，安排其他位置即可，有A77=5040种站法，男生甲不站右端则有6种选择，而女生乙也有6种选择，剩下6人进行全排列，安排其他位置有A66=720种排法，则有66720=25920种站法；所以共有5040+25920=30960种点评： 本题主要考查排列、组合的运用，涉及古典概型的计算，解题的关键要掌握常见排列、组合问题的处理方法，优先分析受限制的元素，不相邻问题用插空法，相邻问题用捆绑法19（13分）（2015春龙海市校级期中）某大型商厦一年内需要购进电脑500
21、0台，每台电脑的价格为4000元，每次订购电脑的其它费用为1600元，年保管费用率为10%（例如，一年内平均库存量为150台，一年付出的保管费用60000元，则=10%为年保管费用率），求每次订购多少台电脑，才能使订购电脑的其它费用及保管费用之和最小？考点： 函数最值的应用专题： 应用题；函数的性质及应用分析： 设每次订购电脑的台数为x，由题意可得每年的保管费用为x400010%元，每年的订货电脑的其它费用为1600元，则有每年的总费用为y=1600+x400010%元运用导数求得极小值点，也为最小值点，可得最小值解答： 解：设每次订购电脑的台数为x，则开始库存量为x台，经过一个周期的正常均匀
22、销售后，库存量变为零，这样又开始下一次的订购，因此平均库存量为x台，所以每年的保管费用为x400010%元，而每年的订货电脑的其它费用为1600元，这样每年的总费用为1600+x400010%元令y=1600+x400010%，y=50001600+400010%令y=0，解得x=200（台）当x200时，y0，当0x200时，y0，也就是当x=200台时，每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值，最小值为80000元点评： 本题考查函数的最值的求法，主要运用导数判断单调性进而得到最值，由题意得到函数的解析式是解题的关键20（14分）（2014春邳州市校级期末）已知m，n是正整数，f（
23、x）=（1+x）m+（1+x）n的展开式中x的系数为7，（1）试求f（x）中的x2的系数的最小值（2）对于使f（x）的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数（3）利用上述结果，求f（0.003）的近似值（精确到0.01）考点： 二项式系数的性质专题： 二项式定理分析： （1）根据题意求得 m+n=7，再根据f（x）中的x2的系数为 +=+，利用二次函数的性质求得x2的系数的最小值，以及此时的m、n的值（2）分当 m=3、n=4时；和当 m=4、n=4=3时两种情况，求得x3的系数（3）根据f（0.003）=（1+0.003）4+（1+0.003）3+0.003+0.003，计算求得结果解
24、答： 解：（1）根据题意得：+=7，即 m+n=7，f（x）中的x2的系数为 +=+=将变形为 n=7m代入上式得：x2的系数为 m27m+21=+，故当m=3，或 m=4时，x2的系数的最小值为9（2）当 m=3、n=4时，x3的系数为 +=5；当 m=4、n=4=3时，x3的系数为 +=5（3）f（0.003）=（1+0.003）4+（1+0.003）3+0.003+0.003=2.02点评： 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题21（14分）（2015河南二模）设a为实数，函数f（x）=ex2x+2a，xR（1）求f（x
25、）的单调区间及极值；（2）求证：当aln21且x0时，exx22ax+1考点： 利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用专题： 计算题；压轴题分析： （1）由f（x）=ex2x+2a，xR，知f（x）=ex2，xR令f（x）=0，得x=ln2列表讨论能求出f（x）的单调区间区间及极值（2）设g（x）=exx2+2ax1，xR，于是g（x）=ex2x+2a，xR由（1）知当aln21时，g（x）最小值为g（ln2）=2（1ln2+a）0于是对任意xR，都有g（x）0，所以g（x）在R内单调递增由此能够证明exx22ax+1解答： （1）解：f（x）=ex2x+2a，xR，f（x）
26、=ex2，xR令f（x）=0，得x=ln2于是当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x （，ln2） ln2 （ln2，+）f（x） 0 +f（x） 单调递减 2（1ln2+a） 单调递增故f（x）的单调递减区间是（，ln2），单调递增区间是（ln2，+），f（x）在x=ln2处取得极小值，极小值为f（ln2）=eln22ln2+2a=2（1ln2+a），无极大值（2）证明：设g（x）=exx2+2ax1，xR，于是g（x）=ex2x+2a，xR由（1）知当aln21时，g（x）最小值为g（ln2）=2（1ln2+a）0于是对任意xR，都有g（x）0，所以g（x）在R内单调递增于是当aln21时，对任意x（0，+），都有g（x）g（0）而g（0）=0，从而对任意x（0，+），g（x）0即exx2+2ax10，故exx22ax+1点评： 本题考查函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明，具体涉及到导数的性质、函数增减区间的判断、极值的计算和不等式性质的应用解题时要认真审题，仔细解答
