1、专题七 复数、计数原理、概率、概率分布 第1讲 复数与计数原理-3-热点考题诠释高考方向解读1.(2017北京,理2)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是()A.(-,1)B.(-,-1)C.(1,+)D.(-1,+)答案解析解析关闭设 z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为复数 z 在复平面内对应的点(a+1,1-a)在第二象限,所以 +1 0,解得 a 0,8(-2)0,解得-2m2.实数 m 的取值范围是(-2,2).-11-命题热点一命题热点二命题热点三规律方法1.与复数z的模|z|和共轭复数 有关的问题,一般都要先设出复数z的
2、代数形式z=a+bi(a,bR),再代入条件,转化为实数问题,用待定系数法解决.2.复数的几何意义是复数z=a+bi(a,bR)与复平面上的点Z(a,b)一一对应.3.复数的运算常用到以下方法:“分母实数化”,求解复数除法运算;巧借 i 乘幂的周期性 i4k=1,i4k+1=i,i4+2=-1,i4k+3=-i,求解 i 的乘方运算;巧用结论(1i)2=2i,1+i1-i=i,1-i1+i=-i.-12-命题热点一命题热点二命题热点三迁移训练 1 设复数 z 满足(1+i)z=2i,则|z|=()A.12B.22C.2D.2答案解析解析关闭由题意,得 z=2i1+i=1+i,故|z|=12+1
3、2=2.答案解析关闭C-13-命题热点一命题热点二命题热点三迁移训练 2 设复数 z=1+2i(1-i)2,则 z 的虚部是()A.12iB.12C.-12D.-12i答案解析解析关闭复数 z=1+2i(1-i)2=1+2i-2i=(1+2i)i-2ii=-2+i2=-1+12i,则 z 的虚部是12.答案解析关闭B -14-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点二 排列与组合(热度:)例2用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有 个.(用数字作答)答案解析解析关闭没有一个数字是偶数的四位数有A54=120 个;有且只有一个数
4、字是偶数的四位数有C41C53A44=960 个.所以至多有一个数字是偶数的四位数有 120+960=1 080 个.答案解析关闭1 080-15-命题热点一命题热点二命题热点三规律方法排列、组合应用题的解题策略(1)在解决具体问题时,首先要弄清楚是“分类”还是“分步”,其次要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么.(2)区分某一问题是排列问题还是组合问题,关键看选出的元素与顺序是否有关.若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题;若交换任意两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问题,也就是说排列问题与选取元素的顺序有关,组合问题与选取元素的顺序无关.(3)排列、组合综合应用问题的
5、常见解法:特殊元素(特殊位置)优先安排法;合理分类与准确分步;排列、组合混合问题先选后排法;相邻问题捆绑法;不相邻问题插空法;定序问题倍缩法;多排问题一排法;“小集团”问题先整体后局部法;构造模型法;正难则反、等价转化法.-16-命题热点一命题热点二命题热点三迁移训练3 从1,2,3,4,5这五个数字中选出三个不相同数组成一个三位数,则奇数位上必须是奇数的三位数个数为()A.12 B.18C.24 D.30 答案解析解析关闭根据题意,要求奇数位上必须是奇数的三位数,则这个三位数的百位、个位为奇数,分 2 步进行分析:在 1,3,5 三个奇数中任选 2 个,安排在三位数的个位和百位,有C32A2
6、2=6 种情况;在剩余的 3 个数字中任选 1 个,将其安排在三位数的十位,有C31=3种情况.则奇数位上必须是奇数的三位数有 63=18 个.答案解析关闭B-17-命题热点一命题热点二命题热点三迁移训练4 A,B,C,D,E 5名同学坐成一排照相,要求学生A,B不能同时坐在两旁,也不能相邻而坐,则这5名同学坐成一排的不同坐法共有 种.(用数字作答)答案解析解析关闭先排 C,D,E 学生,有A33种坐法,A,B 不能同时坐在两旁,也不能相邻而坐,有A42 A22种坐法,则共有A33(A42 A22)=60 种坐法.答案解析关闭60-18-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点三 二项式定理(热
7、度:)例 3(1)1+12(1+x)6 展开式中 x2 的系数为()A.15B.20C.30D.35(2)已知-1 5的展开式中各项系数的和为 32,则展开式中系数最大的项为()A.270 x-1B.270 xC.405x3D.243x5答案:(1)C(2)B-19-命题热点一命题热点二命题热点三解析:(1)方法一:1+12(1+x)6=1(1+x)6+12(1+x)6,(1+x)6 的展开式中的 x2 的系数为C62=652=15,12(1+x)6 的展开式中的 x2 的系数为C64=15,所以 x2 的系数为 15+15=30.方法二:(1+x)6的二项展开式通项为 Tr+1=C6xr,1
8、+12(1+x)6的展开式中含 x2 的项的来源有两部分,一部分是 1C62x2=15x2,另一部分是 12 C64x4=15x2,故 1+12(1+x)6 的展开式中含 x2 的项为15x2+15x2=30 x2,其系数是 30.(2)令 x=1,(a-1)5=32,解得 a=3,即 3-1 5中共有 6 项,其中奇数项为正数,偶数项为负数,所以比较奇数项的系数,分别为C50(3x)5=243x5,C52(3x)3-1 2=270 x,C54(3x)-1 4=153,所以系数最大的项为 270 x,故选 B.-20-命题热点一命题热点二命题热点三规律方法求展开式的一些特殊项,通常都是由二项式
9、通项列出方程求出r,再求所需的某项;有时需先求n,计算时要注意n,r的取值范围及它们的大小关系.(1)求第m项:令r+1=m,直接代入通项.(2)求常数项:即这项中不含“变元”,令通项中的“变元”的幂指数为0建立方程.(3)求有理项:即求通项中未知数的指数恰好都是整数的项.解这种类型的问题必须合并通项中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解.解题时注意二项式系数中n和r的隐含条件.使用二项式通项时要注意:通项表示的是第r+1项,而不是第r项;通项中a和b的位置不能颠倒;要注意区别二项式系数与项的系数.-21-命题热点一命题热点二命题热点三迁移训练 5 +1-2 3展
10、开式中的常数项为()A.-8B.-12C.-20D.20答案解析解析关闭 +1-2 3展开式中的通项为 Tr+1=C3(-2)3-r +1,+1 的通项为 Tk+1=Cxr-k 1=Cxr-2k.令 r-2k=0,可得 k=0=r(舍去),k=1,r=2.常数项=(-2)3+C21 C32(-2)=-20.故选 C.答案解析关闭C-22-命题热点一命题热点二命题热点三迁移训练 6 若 2-12 的展开式中所有二项式系数和为 64,则 n=;展开式中的常数项是 .答案解析解析关闭由二项式性质定理可知,二项式系数和为 2n=64,所以 n=6,则原式为 2-12 6,根据二项展开式可知通项为Tr+
11、1=C6(2x)6-r 12=C626-rx6-3r,令 r=2,则 T3=C6224=240,所以展开式中的常数项为 240.答案解析关闭6 240-23-方法突破提分 巧用分组思想避免讨论 例题安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A.12种B.18种C.24种D.36种 答案:D 点评分组问题可以分为均匀分组和不均匀分组,均匀分组要去除重复计算的部分.本题是一个部分均匀分组问题,利用分步乘法原理分为两步:(1)分组;(2)组排列.解析:先把 4 项工作分成 3 份有C42C21C11A22种情况,再把 3 名志愿者排列有A33种情况,故
12、不同的安排方式共有C42C21C11A22 A33=36 种,故选 D.-24-123451.已知复数 z=1+ii,其中 i 为虚数单位,则|z|=()A.12B.22C.2D.2答案解析解析关闭由题意得,z=1-i,|z|=2,故选 C.答案解析关闭C-25-123452.已知 i 是虚数单位,若复数 z 满足 41+=1-i,则 z=()A.4B.5C.6D.8答案解析解析关闭由 41+=1-i,得 z=41-i-1=1+2i,则 z=|z|2=5,故选 B.答案解析关闭B-26-123453.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如2,11,242,6776,83238等,设
13、n位回文数个数为an(n为正整数),如11是2位回文数,则下列说法正确的是()A.a4=100B.a2n+1=10a2n(nN*)C.a2n=10a2n-1(nN*)D.以上说法都不正确 答案解析解析关闭a2=9,a3=9+9+92=90,a4=9+9+A92=90,故 A,C 中说法不正确;对于每一个 2n 位回文数,只要在正中间插入 0,1,9 中的任意一个数,就成为一个 2n+1 位回文数,故 a2n+1=10a2n,所以 B 中说法正确,故选 B.答案解析关闭B-27-123454.1+2(1-x)4 展开式中 x2 的系数为()A.16B.12C.8D.4答案解析解析关闭 1+2(1-x)4=1+2(1-C41x+C42x2-C43x3+C44x4),故展开式中 x2 的系数为-C43+2C42=8,选 C.答案解析关闭C-28-123455.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法总数是 .(用数字作答)答案解析解析关闭对于 7 个台阶上每一个只站一人有A73种;若有一个台阶有 2 人另一个是 1 人共有C31A72种,根据分类计数原理知共有不同的站法种数是A73+C31A72=336 种.答案解析关闭336