1、选修45不等式选讲第一节绝对值不等式微知识 小题练微考点 大课堂微考场 新提升2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度 1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：|ab|a|b|；|ab|ac|cb|；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c。2016，全国卷，24,10分(绝对值不等式的求解)2016，全国卷，24,10分(绝对值不等式的求解)2015，全国卷，24,10分(绝对值不等式的求解，分段函数的图象)本部分在高考中的考查主要侧重于两个方面：一是考查绝对值不等式的解法，往往含有两个绝对值号；另一方
2、面是利用不等式的解集或利用函数的最值求不等式中所含的参数的取值范围。微知识 小题练 教材回扣 基础自测自|主|排|查1绝对值三角不等式定理 1：如果 a，b 是实数，那么|ab|a|b|，当且仅当时，等号成立。定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|ab|ac|cb|，当且仅当_时，等号成立。ab0(ac)(cb)02绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a 与|x|a 的解集：不等式a0a0a0|x|a_|x|a_(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc 或 axbc。x|xa 或 xax|axax|xR 且 x0
3、R微点提醒1应用“零点分区法”的注意点令每个绝对值符号里的代数式等于零，求出相应的根，要把这些根按由小到大进行排序，在各个区间上解不等式时，端点值要不重不漏。2从解集理解不等式恒成立问题不等式的解集为 R 说明不等式恒成立，不等式的解集为，说明其对立面恒成立。小|题|快|练1设 ab0，a，bR，那么正确的是()A|ab|ab|B|ab|a|b|C|ab|ab|D|ab|a|b|【解析】解法一：特殊值法。取 a1，b2，则满足 ab20，这样有|ab|12|1，|ab|1(2)|3，|a|b|123，|a|b|12|1，只有选项 C 成立，而 A、B、D 都不成立。故选 C。解法二：由 ab0
4、 得 a，b 异号，易知|ab|ab|，|ab|a|b|，|ab|a|b|，选项 C 成立，A、B、D 均不成立。故选 C。【答案】C2若关于 x 的不等式|xa|1 的解集为(1,3)，则实数 a 的值为_。【解析】由|xa|1，则1xa1，a1xk 的解集为 R，则实数 k 的取值范围为_。【解析】|x1|x2|3，3|x1|x2|3，k(|x1|x2|)的最小值，即 k1 的解集。【解析】(1)f(x)x4，x1，3x2，132，yf(x)的图象如图所示。(2)由 f(x)的表达式及图象知，当 f(x)1 时，可得 x1 或 x3；当 f(x)1 时，可得 x13或 x5。故 f(x)1
5、 的解集为x|1x3；f(x)1 的解集为x|x5。所以|f(x)|1 的解集为x|x13或 1x5。【答案】(1)见解析(2)x|x13或 1x5【典例 2】设不等式2|x1|x2|0 的解集为 M，a，bM。(1)证明：13a16b 14；(2)比较|14ab|与 2|ab|的大小，并说明理由。考点二含绝对值的不等式的证明【解析】(1)证明：记 f(x)|x1|x2|3，x2，2x1，2x1，3，x1。由22x10，解得12x12，则 M12，12。所以13a16b 13|a|16|b|1312161214。(2)由(1)得 a214，b20，所以|14ab|24|ab|2，故|14ab|
6、2|ab|。【答案】(1)见解析(2)|14ab|2|ab|反思归纳 1.利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明。2利用三角不等式|a|b|ab|a|b|进行证明。3转化为函数问题，数形结合进行证明。【变式训练】已知 x，yR，且|xy|16，|xy|14，求证：|x5y|1。【证明】|x5y|3(xy)2(xy)|。由绝对值不等式的性质，得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|3|xy|2|xy|3162141。即|x5y|1。【典例 3】(2016全国卷)已知函数 f(x)|2xa|a。(1)当 a2 时，求不等式 f(x)6 的解集；(2)设函数 g(x
7、)|2x1|。当 xR 时，f(x)g(x)3，求 a 的取值范围。【解析】(1)当 a2 时，f(x)|2x2|2。解不等式|2x2|26 得1x3。因此 f(x)6 的解集为x|1x3。考点三含绝对值的不等式的综合应用(2)当 xR 时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a。所以当 xR 时，f(x)g(x)3 等价于|1a|a3。当 a1 时，等价于 1aa3，无解。当 a1 时，等价于 a1a3，解得 a2。所以 a 的取值范围是2，)。【答案】(1)x|1x3(2)2，)反思归纳 1.不等式恒成立问题的解法若不等式 f(x)a 在区间 D 上恒成立，则 f
8、(x)maxa；若 f(x)a 在区间 D 上恒成立，则 f(x)mina。2不等式能成立问题的解法若 f(x)a 在区间 D 上能成立，则 f(x)mina，若 f(x)a 在区间 D 上能成立，则 f(x)maxa。【变式训练】(1)(2016重庆模拟)已知函数 f(x)|2x1|，g(x)|ax|。当 a1 时，解不等式 f(x)g(x)1；当 a2 时，若对一切 xR，恒有 f(x)g(x)b 成立，求实数 b 的取值范围。(2)已知函数 f(x)|x3|x2|。求不等式 f(x)3 的解集；若 f(x)|a4|有解，求 a 的取值范围。【解析】(1)f(x)g(x)1|2x1|x|1
9、，当 x12时，不等式(2x1)x1，解得 x2；当12x0 时，不等式2x1x1，此时无解；当 x0 时，不等式2x1x1，解得 x0；综上，不等式的解集为(，20，)。f(x)g(x)b(f(x)g(x)minb，f(x)g(x)|2x1|2x|(2x1)2x|1，所以 b1。(2)f(x)|x3|x2|3，当 x2 时，有 x3(x2)3，解得 x2；当 x3 时，x3(x2)3，解得 x；当3x2 时，有 2x13，解得 1xa 对于一切 xR 恒成立，求实数 a 的取值范围。解析 由绝对值的几何意义知：|x4|x5|9，则 log3(|x4|x5|)2，所以要使不等式 log3(|x4|x5|)a 对于一切 xR 恒成立，则需 a2。答案 a23对于任意实数 a，b 已知|ab|1，|2a1|1，且恒有|4a3b2|m，求实数 m 的取值范围。解析 因为|ab|1，|2a1|1，所以|3a3b|3，a12 12，所以|4a3b2|3a3ba12 52|3a3b|a12 52312526，即|4a3b2|的最大值为 6，所以 m6。答案 m6