1、7.7 抛物线 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 7.7 抛物线 双基研习面对高考 准线1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离_的点的集合叫作抛物线这个定点F叫作抛物线的_，这条定直线l叫作抛物线的_相等双基研习面对高考 基础梳理 焦点思考感悟 1抛物线定义中的定点F若在定直线l上，动点集合还是抛物线吗？提示：若定点F在定直线l上，则动点集合为过F点且与定直线l垂直的直线，不是抛物线 2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)图像标准方程y22px(p0)y22px(p0)范围x0，yRx0，yR对称轴x 轴顶点坐标原点 O(0,0)焦
2、点坐标_(p2，0)准线方程xp2_离心率e1通径长_(p2，0)xp22p标准方程_x22py(p0)图像x22py(p0)标准方程_x22py(p0)范围y0，xRy0，xR对称轴_轴顶点坐标原点 O(0,0)焦点坐标_准线方程_yp2离心率e1通径长_y(0，p2)(0，p2)yp22px22py(p0)其中p表示焦点到准线的距离，其恒为正数 思考感悟2现在面对的抛物线与以前学习的抛物线相同吗？在解析几何中求抛物线的方程应如何建系？提示：在形式上二者是相同的，但研究的角度不同，以前学习的抛物线侧重于从函数的角度出发；解析几何中的抛物线侧重于其几何特点 在求抛物线的标准方程时，以抛物线的顶
3、点为坐标原点，以对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样求出的方程即为标准方程课前热身 1坐标平面内到定点F(1,0)的距离和到定直线l：x1的距离相等的点的轨迹方程是()Ay22x By22xCy24xDy24x答案：D2(2009年高考湖南卷)抛物线y28x的焦点坐标是()A(2,0)B(2,0)C(4,0)D(4,0)答案：B3抛物线 y4x2 的准线方程是()Ax2 Bx1Cy18Dy 116答案：D4(教材习题改编)点M到点F(2,0)的距离比它到直线x1的距离大1，则点M满足的方程是_答案：y28x5在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该
4、抛物线的方程是_答案：y28x考点探究挑战高考 考点突破 抛物线的定义及应用抛物线的定义是解决抛物线问题的基本方法，也是一个捷径，体现了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的转化，由此得出抛物线的焦半径公式是研究抛物线上的点到焦点的距离的主要公式例1设P是曲线y24x上的一个动点(1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，点F是抛物线的焦点，求|PB|PF|的最小值【思路点拨】(1)把到直线的距离转化为到焦点的距离，问题可解决；(2)把到焦点的距离转化为到准线的距离，可解决问题【解】(1)如图，易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线是 x1，由
5、抛物线的定义知：点 P 到直线x1 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离于是，问题转化为：在曲线上求一点 P，使点 P 到点 A(1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和最小显然，连结 AF 交曲线于 P 点，故最小值为 221 5.(2)如图，自B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于P1，此时，|P1Q|P1F|，那么|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4，即|PB|PF|的最小值为4.【名师点评】与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度本题中的两小问有一个共性，都是利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距
6、离与该点到焦点的距离进行转化，从而构造出“两点间线段最短”，使问题获解抛物线的标准方程与几何性质根据给定条件求抛物线的标准方程时，由于标准方程有四种形式，故应先根据焦点位置或准线确定方程的标准形式，再利用待定系数法求解如果对称轴已知，焦点位置不确定时，可分类讨论，也可设抛物线的一般方程求解例2(2010 年高考福建卷)已知抛物线 C：y22px(p0)过点 A(1，2)(1)求抛物线 C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l，使得直线 l 与抛物线 C 有公共点，且直线 OA 与 l 的距离等于 55？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由【
7、思路点拨】(1)将A点坐标代入C可求得p，进而求出准线方程(2)假设存在，由两平行线间的距离可求出直线方程，通过l与C有交点验证可知是否满足题意【解】(1)将(1，2)代入 y22px，得(2)22p1，所以 p2.故所求抛物线 C 的方程为 y24x，其准线方程为 x1.(2)假设存在符合题意的直线 l，其方程为 y2xt，由y2xty24x，得 y22y2t0.因为直线 l 与抛物线 C 有公共点，所以 48t0，解得 t12.由直线 OA 与 l 的距离 d 55 可得|t|5 15，解得 t1.因为112，)，112，)，所以符合题意的直线 l 存在，其方程为 2xy10.【规律小结】
8、(1)求抛物线方程时，若由已知条件可知所求曲线是抛物线，一般用待定系数法若由已知条件可知所求曲线的动点的轨迹，一般用轨迹法；(2)待定系数法求抛物线方程时既要定位(即确定抛物线开口方向)，又要定量(即确定参数p的值)解题关键是定位，最好结合图形确定方程适合哪种形式，避免漏解变式训练1 试分别求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(3,2)；(2)焦点在直线x2y40上 解：(1)设所求的抛物线方程为 y22px(p0)或 x22py(p0)，抛物线过点(3,2)，42p(3)或 92p2，p23或 p94，所求的抛物线方程为 y243x或 x292y，前者的准线
9、方程是 x13，后者的准线方程是 y98.(2)令 x0，得 y2，令 y0，得 x4，即抛物线的焦点为(4,0)或(0，2)当焦点为(4,0)时，p24，p8，此时抛物线方程为 y216x.当焦点为(0，2)时，p22，p4，此时抛物线方程为 x28y.故所求的抛物线方程为 y216x 或 x28y，对应的准线方程分别是 x4 和 y2.直线与抛物线的位置关系直线和抛物线的位置关系的讨论，弦长的求法等，在消元后的一元二次方程二次项系数不为零的条件下，和椭圆及双曲线类似，只是有一点要注意，直线和抛物线只有一个公共点，不一定是相切，也可能是相交注意利用根与系数的关系(2010 年高考湖北卷)已知
10、一条曲线 C在 y 轴右边，C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1.(1)求曲线 C 的方程；(2)是否存在正数 m，对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A，B 的任一直线，都有FAFB 0)代简得 y24x(x0)(2)设过点 M(m,0)(m0)的直线 l 与曲线 C 的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，设 l 的方程为 xtym，由xtymy24x，得 y24ty4m0，16(t2m)0，于是y1y24ty1y24m，又FA(x11，y1)，FB(x21，y2)，FAFB 0，(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y20,
11、又 xy24，于是不等式等价于y214y224y1y2(y214y224)10y1y2216 y1y214(y1y2)22y1y210,由式知不等式等价于 m26m14t2,对任意实数 t,4t2的最小值为 0，所以不等式对于一切 t 成立等价于 m26m10，即 32 2m32 2.由此可知，存在正数 m，对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A，B 的任一直线，都有FAFB0)的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，过 B 点作其准线的垂线，垂足为 D，设 O 为坐标原点，问：是否存在实数，使AO OD？解：存在实数，使AO OD.抛物线方程为 y22px(p0)，则 F(p
12、2，0)，准线 l：xp2，(1)当直线AB 的斜率不存在，即 ABx 轴时，交点 A、B 坐标不妨设为：A(p2，p)，B(p2，p)BDl，D(p2，p)，AO(p2，p)，OD(p2，p)，存在 1 使AO OD.(2)当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 yk(xp2)(k0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 D(p2，y2)，x1y212p，x2y222p，由ykxp2y22px，得 ky22pykp20，y1y2p2，y2p2y1，AO(x1，y1)(y212p，y1)，OD(p2，y2)(p2，p2y1)，假设存在实数，使AO OD，则y212pp2y1
13、p2y1，解得 y21p2，存在实数 y21p2，使AO OD，综上所述，存在实数，使AO OD.方法感悟 方法技巧1抛物线的标准方程(1)p的几何意义：p是焦点到准线的距离，故p恒为正数(2)抛物线标准方程的形式特点：形式为y22px或x22py；一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即“对称轴看一次项，符号决定开口方向”；(如课前热身2)(3)区分yax2(a0)与y22px(p0)，前者不是抛物线的标准方程而是二次函数方程；(如课前热身3)(4)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，当焦点在x轴上时可设为y2mx，当焦点在y轴上时可设x2
14、my，(m0)(如课前热身5)2在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此(如例2)失误防范1求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程2注意应用抛物线定义中的距离相等解决问题3要注意点F不在直线l上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线利用抛物线定义可推导抛物线的标准方程应注意抛物线的标准方程有四种不同的形式4为避免开口方向不一定而分成y22px(p0)或y22px(p0)两种情况求解的麻烦，可以设成y2mx或x2ny(m
15、0，n0)，若m0，开口向右，m0)的焦点作斜率为 1 的直线与该抛物线交于 A，B 两点，A，B 在 x 轴上的正射影分别为 D，C.若梯形 ABCD的面积为 12 2，则 p_.【解析】依题意，抛物线的焦点 F 的坐标为(0，p2)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的方程为 yp2x，代入抛物线方程得，y23pyp240，故 y1y23p，|AB|AF|BF|y1y2p4p，直角梯形 ABCD 有一个内角为 45，故|CD|22|AB|22 4p2 2p，梯形面积为12(|BC|AD|)|CD|123p2 2p3 2 p212 2，解得 p2.【答案】2【名师点评】(1
16、)本题易错的是：审题不清，找不到CD的长与AB的长度之间的关系；忽视p的几何意义，求得p2；(2)求抛物线的焦点弦长有两种方法：一是根据直线被二次曲线所截得的一般的弦长公式；二是根据抛物线的焦点半径直接得到弦长，用前面的方法在使用根与系数的关系整体代入时要用到两根之和和两根之积，用后面这个方法仅仅用到两根之和，还省去了开方的麻烦，故在求抛物线的焦点弦长时一般是用后面这种方法 名师预测 已知抛物线 C：y24x，焦点为 F，准线与 x 轴交于点 A，过点 A 且斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点P，Q.(1)求满足 FRFPFQ的点 R 的轨迹方程；(2)若PFQ 为钝角，求直
17、线 l 的斜率 k 的取值范围解：(1)由题意知 F(1,0)，A(1,0)，设 P(y214，y1)，Q(y224，y2)，R(x，y)由 A，P，Q 三点共线可得y2141y1 y2241y2.化简得y1y24(y1y2)y1y2，显然 y1y20，故 y1y24.因为 FRFPFQ，所以(x1，y)(y2141，y1)(y2241，y2)(y214y2242，y1y2)，得 yy1y2.又 x1y21y2242xy1y222y1y241，所以由以上各式可得 y24x12.又因为 xy21y22412y2y24 11，所以点 R 的轨迹方程为 y24x12(x1)(2)由PFQ 为钝角，知 F PFQ0，所以(y2141)(y2241)y1y20，即y1y2216 y21y2241y1y20，即 6y1y222y1y2432，所以|y1y2|4 2.又 ky2y1y224y2144y1y2，所以 22 k0或 0k 22.本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用