1、232圆的一般方程1了解二元二次方程表示圆的条件2理解圆的一般方程与标准方程的关系3掌握圆的一般方程的特点，能根据给定的条件求圆的一般方程1方程x2y2DxEyF0(1)当D2E24F0时，方程表示一个点，该点的坐标为(，)(2)当D2E24F0时，方程不表示任何图形(3)当D2E24F0时，方程表示的曲线为圆，它的圆心坐标为，半径等于，上述方程称为圆的一般方程(4)圆的一般方程的特征是：x2和y2项的系数相等且不为零；没有xy这样的二次项2只有当AC0，B0，40，即D2E24AF0时，二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0才表示圆1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)圆的一般方
2、程可以化为圆的标准方程()(2)二元二次方程x2y2DxEyF0一定是某个圆的方程()(3)方程x2y22xEy10表示圆，则E0()答案：(1)(2)(3)2圆x2y24x10的圆心坐标及半径分别为()A(2，0)，5B(2，0)，C(0，2)，D(2，2)，5答案：B3如果x2y22xyk0是圆的方程，则实数k的取值范围是_答案：4过O(0，0)，A(3，0)，B(0，4)三点的圆的一般方程为_答案：x2y23x4y0根据圆的一般方程求圆心和半径求下列各圆的圆心坐标和半径(1)x2y24y0；(2)x2y22ax0(a0)【解】法一：将方程分别化为标准方程：(1)x2(y2)24，圆心坐标
3、为(0，2)，半径为2(2)(xa)2y2a2，圆心坐标为(a，0)，半径为|a|法二：(1)因为0，2，所以圆心坐标为(0，2)，半径r 2(2)因为a，0，所以圆心坐标为(a，0)，半径r |a|由圆的一般方程确定几何要素(1)可将圆的一般方程先转化为标准方程后，再求圆心坐标和半径(2)由公式求半径和圆心坐标时，一定要注意圆的一般方程的形式，二次项系数相等且不为零 下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径(1)x2y2x10；(2)x2y22axa20(a0)；(3)2x22y22ax2ay0(a0)解：(1)因为D1，E0，F1，D2E24F0所以方程(3)表示圆，圆心为，半径
4、r|a|求圆的一般方程求经过点C(1，1)和D(1，3)，且圆心在x轴上的圆的方程【解】法一：设圆方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)因为圆心在x轴上，所以0，即E0，又圆过点C(1，1)和D(1，3)，所以(1)212D(1)E1F0，1232D1E3F0，即EDF20，3EDF100，联立，解得，所以圆的方程为x2y24x60法二：设圆方程为(xa)2y2r2，则，两式相减得(a1)2(a1)280，解得a2，则r，所以圆的方程为(x2)2y210法三：因为圆过C、D两点，所以圆心在C、D两点间线段的中垂线上又kCD1，CD中点为(0，2)，所以CD的中垂线为yx2令y0，得x2，
5、所以圆心为(2，0)，半径r，所以圆的方程为(x2)2y210利用待定系数法求圆的方程的解题策略(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F 求圆心在直线2xy30上，且过点(5，2)和(3，2)的圆的一般方程解：设所求圆的一般方程为x2y2DxEyF0，则圆心为因为圆心在直线2xy30上，所以230又因为点(5，2)和(3，2)在圆上，所以52225D2EF032(2)23D2EF0解组成的方程组，得D4，E2，F5
6、所以所求圆的一般方程为x2y24x2y50与圆有关的动点轨迹问题已知RtABC中，A(1，0)，B(3，0)求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程【解】(1)法一：(直接法)设C(x，y)，则kAC，kBC因为ACBC，所以kACkBC1，即1，化简得x2y22x30由于A、B、C不共线，所以y0故顶点C的轨迹方程为x2y22x30(y0)法二：(定义法)设线段AB的中点为D，则D(1，0)由题意知|CD|AB|2所以点C的轨迹是以D为圆心，以2为半径的圆，其方程为(x1)2y24由于直角顶点C不在直线AB上，所以y0故顶点C的轨迹方程为x2y22x30(y0)(2
7、)(代入法)设M(x，y)，C(x1，y1)由第一问知(x11)2y4(y10)又B(3，0)，M为BC中点，由中点坐标公式，知x，y，知x12x3，y12y代入式，得中点M的轨迹方程为(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21(y0)已知线段AB的端点B的坐标是(5，3)，端点A在圆(x1)2y22上运动，求线段AB的中点M的轨迹解：设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点B的坐标是(5，3)且M是AB的中点，所以x，y，所以x02x5，y02y3因为点A在圆(x1)2y22上运动，所以点A的坐标适合方程(x1)2y22，即(x01)2y2把代入，得(2x51)2(2y
8、3)22，整理得(x3)2所以M的轨迹是以为圆心，为半径的圆1本节的重点是圆的一般方程与如何由圆的一般方程求圆的圆心坐标和半径长(配方法)我们要理解关于二元二次方程表示圆的条件：方程x2y2DxEyF0，通过配方可化为当D2E24F0时，它的轨迹是圆，可得圆心坐标为，半径为应注意不要死记硬背结果，而是要掌握通过配方求出圆心坐标和半径的方法2用待定系数法求圆的方程时，要根据题目条件，灵活选用方程形式是解题的关键，选取不同的形式，计算的繁简程度会不同二元二次方程x2y2DxEyF0，只有当D2E24F0时才表示圆，要防止忽略这个条件而出现错误1方程x2y22ax2bya2b20表示的图形是()A以
9、(a，b)为圆心的圆B以(a，b)为圆心的圆C点(a，b)D点(a，b)解析：选D由配方法得(xa)2(yb)20，所以方程表示点(a，b)2过圆x2y24上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q，则PQ中点的轨迹方程为()Ax24y24B4x2y24Cx2y2Dx2y24解析：选A设中点为(x，y)，则P(x，2y)，代入x2y24，得x24y243已知圆x24x4y20的圆心是点P，则点P到直线xy10的距离是_解析：由x24x4y20得(x2)2y28，即圆心为P(2，0)，故P到直线xy10的距离为答案：4若直线4ax3by60(a，bR)始终平分圆x2y26x8y10的周长，则a，b满足的条
10、件是_答案：2a2b10学生用书P123(单独成册)A基础达标1若圆x2y22x4y0的圆心到直线xya0的距离为，则a的值为()A2或2B或C2或0D2或0解析：选C由圆心(1，2)到直线的距离公式得，得a0或a2故选C2当a为任意实数时，直线(a1)xya10恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为()Ax2y22x4y0Bx2y22x4y0Cx2y22x4y0 Dx2y22x4y0解析：选C直线(a1)xya10可化为(xy1)a(1x)0，由得C(1，2)所以圆的方程为(x1)2(y2)25，即x2y22x4y03已知方程x2y22x2k30表示圆，则k的取值范围是()A(，1)
11、B(3，)C(，1)(3，) D解析：选A方程可化为：(x1)2y22k2，只有2k20，即k1时才能表示圆4动点P到点A(8，0)的距离是到点(2，0)的距离的2倍，那么点P的轨迹方程为()Ax2y232 Bx2y216C(x1)2y216 Dx2(y1)216解析：选B设P(x，y)，根据题意有2，整理得x2y2165若圆C：x2y22(m1)x2(m1)y2m26m40过坐标原点，则实数m的值为()A2或1 B2或1C2 D1解析：选C因为x2y22(m1)x2(m1)y2m26m40表示圆，所以2(m1)22(m1)24(2m26m4)0，所以m1又圆C过原点，所以2m26m40，所以
12、m2或m1(舍去)，所以m26若方程x2y2DxEyF0表示以(2，4)为圆心，4为半径的圆，则F_解析：由2，4，4，解得F4答案：47过三点O(0，0)，A(4，0)，B(0，2)的圆的一般方程为_解析：线段OA的垂直平分线方程为x2，线段OB的垂直平分线方程为y1所以圆心坐标为C(2，1)，半径r|OC|，所以圆的方程为(x2)2(y1)25，即x2y24x2y0答案：x2y24x2y08已知点P是圆C：x2y24xay50上任意一点，P点关于直线2xy10的对称点也在圆C上，则实数a_解析：由题意知圆心应在直线2xy10上，代入解得a10，符合D2E24F0的条件答案：109求经过A(
13、4，2)，B(1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程解：设所求圆的方程为x2y2DxEyF0，令y0，得x2DxF0所以圆在x轴上的截距之和为x1x2D令x0，得y2EyF0所以圆在y轴上的截距之和为y1y2E由题知x1x2y1y2(DE)2，所以DE2又A(4，2)，B(1，3)在圆上，所以1644D2EF0，19D3EF0由解得D2，E0，F12故所求圆的方程为x2y22x12010设定点M(3，4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹解：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为
14、 由于平行四边形的对角线互相平分，故，从而又点N(x3，y4)在圆上，故(x3)2(y4)24当点P在直线OM上时，有x，y或x，y因此所求轨迹为圆(x3)2(y4)24，除去点和点B能力提升11若方程x2y2ax2ay2a23a0表示的图形是半径为r(r0)的圆，则该圆圆心在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选D因为方程表示的图形是圆，所以a2(2a)24(2a23a)0，即4a0所以圆心坐标为，在第四象限12若圆x2y24x2ym0与y轴交于A、B两点，且ACB90(其中C为已知圆的圆心)，则实数m等于_解析：设A(0，y1)，B(0，y2)，在圆方程中令x0，得y22ym0，y1，y2即为该方程的两根，由根与系数的关系及判别式得，而C(2，1)，由ACB90知ACBC，即得kACkBC1，即1，即y1y2(y1y2)14，代入上面的结果得m214所以m3，符合m0，由二次函数的图象解得t1(2)由第一问知r所以当t时，rmax，此时圆的面积最大，所对应的圆的方程是(3)当且仅当32(4t2)22(t3)32(14t2)(4t2)16t490时，点P恒在圆内，所以8t26t0，所以0t
