1、第1页 共 66 页第三模块不等式推理与证明第2页 共 66 页考 纲 要 求1.了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.2.了解不等式基本性质的证明,掌握不等式的基本性质.3.了解基本不等式的证明过程.会用基本不等式解决简单的最大（小)值问题.4.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.第3页 共 66 页5.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.6.会解可化为一元二次不等式的高次不等式和分式不等式.7.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.8.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.9.
2、会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.第4页 共 66 页10.了解合情推理与演绎推理的含义,能利用归纳和类比进行简单的推理.掌握演绎推理的基本模式,了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异.11.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法;了解分析法和综合法思考过程与特点.12.了解间接证明的一种方法反证法;了解反证法的思考过程与特点.13.了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.第5页 共 66 页命 题 走 向1.不等式的性质在高考试题中较少单独命题,若单独命题,主要以选择题、填空题的形式出现,考查命题真假的判断、大小比较、充要条件的推理判断等.2
3、.一元二次不等式是不等式中最重要的内容,是高考的热点,它做为一种工具与其他数学知识内容相结合命题,单独命题可能性很小.3.均值不等式在求函数的最值、证明不等式具有非常重要的应用.在高考中,常与函数结合命题.4.线性规划在2009年各省市高考中,几乎都有.以选择题或填空题出现.难度与课本持平.第6页 共 66 页5.推理是高考的重要内容.推理主要包括合情推理和演绎推理,由于解答高考试题的过程就是推理的过程.因此本部分内容的考查将会渗透到每一个高考题中,考查推理的基本思想和方法,既可能在选择题和填空题中出现,也可能在解答题中出现.6.证明是数学的基本思维过程,数学问题的解决离不开证明,对本部分内容
4、的考查也将会渗透到每一个高考题中,考查证明的基本思想和方法,在选择题和填空题中,考查利用基本的证明方法如:分析法、综合法、反证法解决问题的意识和能力,也有可能以解答题的形式出现,考查数学归纳法的应用等.第7页 共 66 页第十八讲 不等关系与不等式 第8页 共 66 页走进高考第一关 考点关回 归 教 材1.不等式的定义用不等号“”、“”、“0ab;a-b=0a=b;a-b0abbb,bcac;(3)加法性质:aba+cb+c;ab,cda+cb+d.(4)减法性质:ab,cb-d.(5)乘法性质:ab,c0acbc;ab,c0acb0,cd0acbd.第10页 共 66 页(6)倒数法则:a
5、b,ab00ab.(同号即可,而不要求a,b均大于0)(7)乘方性质:ab0anbn(nN,n1).(8)开方性质:ab0 (nN,n1).(9)aba-b0,(是比较法的理论基础).11ab11abnnab第11页 共 66 页考 点 训 练1.(2008广东卷)设a,bR,若a-|b|0,则下列不等式中正确的是()A.b-a0B.a3+b30D.a2-b20,a|b|,a2b2,即a2-b20,(a+b)(a-b)0,a|b|b.即a-b0,a+b0.方法二:(特殊值法)令a=1,b=0,排除A、B、D,选C.第13页 共 66 页2.(2008江西卷)若0 xy1,则()A.3y3xB.
6、logx3logy3C.log4xlog4yD.()x()y1414答案:C解析:y=log4x为增函数,当0 xy1时,有log4xbcB.acbC.cabD.cbae答案:B第15页 共 66 页:,10.1,ca.211()lge 12lge2210,2,acb.2221e31eee0lge1lg elgelgecblgelge10lge lg ecb解析则则即又第16页 共 66 页4.(2009台湾高考)令a=cos(2),试问下列哪一个选项是对的()(1)a=-1;(2)-1a-;(3)-a0;(4)0a ;(5)a0,y0,且=1,若x+2ym2+2m恒成立,则实数m的取值范围是
7、()A.m4或m-2B.m2或m-4C.-2m4D.-4m0,y0,xy8.当且仅当x=2y=4时,取“=”号.x+2y2 2 =8,要使x+2ym2+2m恒成立,只要m2+2m8,解得-4mb,则acbc;(2)若ab,则ac2bc2;(3)若ababb2;(4)若ab0,则;(5)若abbc2,则ab,命题是真命题.(3)ab,aab;ab,bb2,命题是真命题.第23页 共 66 页(),.(),.:ab0.110abbaba 114ab0ab235320 32ab0ab0110ba由性质定理命题是真命题假如命题是假命题推理如下第24页 共 66 页点评:不等式的性质是证明不等式和解不等
8、式的理论基础,必须熟练掌握,还要注意不等式性质定理中的条件是否为充要条件,不能用充分不必要条件的性质定理解不等式.第25页 共 66 页变式1:有下列5个命题:若axb,则x ;若a2x-1a2y-1,则xy;若,则vxy;baxyv第26页 共 66 页若ab,cd,则0;若,则ab0且a1,p=loga(a3+1),q=loga(a2+1),比较p与q的大小.第29页 共 66 页3233a22:()().1,1,0;10a1,a1a1,a1a11,log0.a1a1,pq0,pq.332a23233a22a1pqloga a1loga a1log aa1a1aa1a11loga1a解当时
9、所以当时所以总之所以第30页 共 66 页点评:作差法比较的一般步骤:作差;变形,常采用配方,因式分解等恒等变形手段,将“差”化成“积”;定号,就是确定差是大于0,等于0,还是小于0.(不确定的要分情况讨论)最后得结论.概括为“三步一结论”,这里的“定号”是目的,“变形”是关键.第31页 共 66 页变式2:(1)若xy0,b0,且ab,试比较aabb与abba的大小.分析:(1)根据题目特点,可考虑用作差比较法.(2)根据同底数幂的运算法则,可考虑用作商比较法.第32页 共 66 页 222:()()xyxy()2xy xy.,xy0,xy0.2xy xy0.()()xyxy 2222222
10、21xyxyxyxyxy0 xyxyxy解析第33页 共 66 页 baabab(),ba,1,ab0,b,.a,01,ab0,b,.ababbaababbaababbaa b2aa bab0a1a ba bbba0a1a ba bb当时当时综上所述,对于不相等的正数a,b,都有aabbabba.第34页 共 66 页题型三 用不等式表示不等关系例3某电脑用户计划使用不超过500元的奖金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,写出满足上述所有不等关系的不等式.第35页 共 66 页解:设购买单片软件和盒装磁盘分别为x片、y盒.500,50,3
11、,3,2,2,*,*.60 x70y6x7yxxyyx yNx yN则即第36页 共 66 页点评:要区分“不等关系”与“不等式”的异同,不等关系强调的是关系,可用符号“”“b”“ab”“ab”“ab”“ab”等式子表示,不等关系是可以通过不等式来体现的.第37页 共 66 页变式3:某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车,计划使用不超过1000万元的奖金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车.根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式.第38页 共 66 页解:设购买A型、B型汽车分别为x辆和y辆.第39页 共 66 页笑对高考第三关 技
12、巧关1.数或式的大小比较与等价转化思想数与式的大小比较常用方法:一是采用作差或作商比较(法);二是直接应用不等式的性质或基本不等式;三是利用函数的单调性,无论应用哪种方法,在转化过程中等价转化是关键.第40页 共 66 页例1当abba.下面有目的地作比较:由已知条件可得,b=1+a2.c=5-4a+2a2.c-b=a2-4a+4=(a-2)20.cb.又b-a=1+a2-aba.a,b,c的大小关系为cba.13()0,242a第44页 共 66 页考 向 精 测1.已知-1a0,A=1+a2,B=1+a,C=,将A、B、C按从小到大的顺序排列为_.11a答案:BAb,则下列不等式成立的是(
13、)211.D.a cb c1abbc222AB abaC c1答案:C:,.1 222abcRc10abc1c解析又第49页 共 66 页2.(2009北京模拟)已知a0,b-1,则下列不等式成立的是().a.a.2222aaaaA aBbbbbaaaaCDabbbb答案:C解析:a=-1,b=-2代入验证知C正确.第50页 共 66 页3.(2009浙江模拟)若x(e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=(lnx)3,则()A.abcB.cabC.bacD.bc0,bc-ad0,0,(其中a,b,c,d均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成正确
14、命题的个数是()A.0B.1C.2D.3cdab答案:D第52页 共 66 页cd:0;abbcad0;.1ab00cdabbcad0abbcadab0cd0abbcad0bcad0ab0cdbcad00abab解析第53页 共 66 页5.(2009德州质检)设表示不超过x的最大整数,又设x,y满足方程组,如果x不是整数,那么x+y的取值范围是()A.(35,39)B.(49,51)C.(71,75)D.(93,94)y313y435xx答案:D第54页 共 66 页 y313:3,y435,.,D.xxxx32020 x21 73y74x20 x21 y7393xy94解析解得不是整数选第
15、55页 共 66 页6.(2009茂名调研)设A=xn+x-n,B=xn-1+x1-n,当xR+,nN时,A与B的大小关系是()A.ABC.ABD.不能确定答案:C第56页 共 66 页解析:A-B=(xn+x-n)-(xn-1+x1-n)=x-n(x2n+1-x2n-1-x)=x-n=x-n(x-1)(x2n-1-1).由xR+,x-n0,得当x1时,x-10,x2n-1-10;、眡1时,x-10,x2n-1-10,即x-1与x2n-1-1同号.A-B0,AB.212111nnx xx第57页 共 66 页二、填空题7.设a-1,0b1,将-a,b,ab,-按从小到大的顺序排列起来,其结果是
16、_.baab答案:abb-ab,cd,则下列结论:a+cb+d;a-cb-d;acbd中正确的序号是_.abdc答案:解析:a,b,c,d正负不定,由不等式的性质知,仅有正确,、均不正确.第59页 共 66 页9.设a1a2,b1b2,则a1b1+a2b2与a1b2+a2b1的大小关系为_.答案:a1b1+a2b2a1b2+a2b1解析:a1b1+a2b2-(a1b2+a2b1)=a1(b1-b2)+a2(b2-b1)=(b1-b2)(a1-a2).a1a2,b1b2,a1-a20,b1-b20,上式0.a1b1+a2b2a1b2+a2b1.第60页 共 66 页三、解答题.,:.ff10ab
17、0 cd0 f0acd已知求证:,ff,.acbd cd0cd0ab0ac11bd0f0acbd证明又又第61页 共 66 页.,.a311a bb3 a ba1ab2已知为不相等的两个正数 且试将四个数按从小到大的顺序排列 并说明你的结论:.,.a331b333aa ba1a1ab3ab2分析 由于所以的大小就可以确定下来 而在 与 之间由此可得本题的切入点第62页 共 66 页a331:b333a.a1a131(),01,3a0,a1ab,3,2aba3b.210a30b33ab3解当时且此时第63页 共 66 页 3123,01,30,1033,3,3.23.2(3)3,.aaabbababbaaab当a时得且此时当时与题设矛盾第64页 共 66 页 .,:1 2,;3 31 4(),.9 9,;,.1212x331 1x2 x 1x已知 则的取值范围是的取值范围是以上命题是否正确 若不正确 予以纠正 若正确 请予证明第65页 共 66 页2:().,31,32.311x32x311x3解正确 第66页 共 66 页().,.11,().241,4(),.2212 122x1x33 3312x1x33yx 1xxxx122xy3392 1x 1x9 4不正确由 时 同向正数不等式相乘时与不能同时取得或故结论不正确事实上 令当时 有从而有的取值范围是