1、二十六 双曲线的标准方程(15 分钟 25 分)1已知双曲线x2a2 y216 1(a0)的一个焦点为(5，0)，则 a 的值为()A9 B6 C5 D3【解析】选 D.根据题意，双曲线x2a2 y216 1(a0)的一个焦点为(5，0)，即 c5，则有 a21625，解得 a3.2若 kR，则“k5”是“方程 x2k5 y2k2 1 表示双曲线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】选 A.当 k5 时，方程表示双曲线；反之，当方程表示双曲线时，k5 或k0，|k 30 即 k3，从而方程可表示为 y2k2 x2k3 1，由于 c2a2b22k51，所
2、以半焦距 c 的取值范围为 c1，即 c()1，.答案：()1，(30 分钟 60 分)一、单选题(每小题 5 分，共 20 分)1(2020绥德高二检测)双曲线x216 y29 1 的左、右焦点分别为 F1，F2，在左支上过点 F1 的弦 AB 的长为 5，那么 ABF2 的周长是()A12 B16 C21 D26【解析】选 D.依题意，|AF2|AF1|2a8，|BF2|BF1|2a8，所以(|AF2|AF1|)(|BF2|BF1|)16，又|AB|5，所以|AF2|BF2|16(|AF1|BF1|)16|AB|16521.所以|AF2|BF2|AB|21526.即ABF2的周长是 26.
3、2已知双曲线的中心在原点，一个焦点为 F1(5，0)，点 P 在双曲线上，且线段 PF1 的中点的坐标为(0，2)，则此双曲线的方程是()Ax24 y21 Bx2y24 1Cx22 y23 1 Dx23 y22 1【解析】选 B.由已知条件，得焦点在 x 轴上，设双曲线的方程为x2a2 y2b2 1(a0，b0)，则 a2b25.因为线段 PF1的中点的坐标为(0，2)，所以点 P 的坐标为(5，4)，将其代入双曲线的方程，得5a2 16b2 1.由解得 a21，b24，所以双曲线的方程为 x2y24 1.3已知双曲线x2m y2n 1(m0，n0)和椭圆x25 y24 1 有相同的焦点，则1
4、m4n 的最小值为()A2 B4C6 D9【解析】选 D.椭圆x25 y24 1 是焦点在 x 轴上的椭圆，且 c2541.因为双曲线x2m y2n 1(m0，n0)和椭圆x25 y24 1 有相同的焦点，所以 mn1(m0，n0)，所以1m 4n 1m4n (mn)5nm 4mn 52nm4mn 9.当且仅当nm 4mn ，即 m13，n23 时取等号 所以1m 4n 的最小值为 9.4已知双曲线 C：x2y23 1 的右焦点为 F，P 是双曲线 C 的左支上一点，M(0，2)，则 PFM 的周长的最小值为()A24 2B42 2C3 2D2 6 3【解析】选 A.依题意可知，c2，a1，所
5、以|MF|2 2，|PM|PF|PM|PF1|2a，F1为左焦点，当 M，P，F1三点共线时，|PM|PF1|最小，最小值为|MF1|，|MF1|2 2，故周长的最小值为 2 2 22 2 24 2.二、多选题(每小题 5 分，共 10 分，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分)5(2020常州高二检测)已知方程 x24t y2t1 1 表示曲线 C，则下列判断正确的是()A当 1t4 或 t1 时，曲线 C 表示双曲线C若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 1t4【解析】选 BCD.当曲线 C 表示椭圆时，4t0t104tt1，得 1t4 且 t52，故 A
6、错误 由双曲线的定义可知()4t ()t1 0 时，即 t4 时，方程 x24t y2t1 1 表示双曲线，故 B 正确 由椭圆的定义可知，当椭圆焦点在 x 轴上时，满足 4tt10，解得 1t0，解得 t4，故 D 正确 6(2020潍坊高二检测)点 P 到图形 C 上每一个点的距离的最小值称为点 P 到图形 C 的距离，那么平面内到定圆 C 的距离与到定点 A 的距离相等的点的轨迹可能是()A圆B直线C椭圆D双曲线的一支【解析】选 ACD.设动点为 Q，圆 C 的半径为 r.当 A 在圆 C 内且不与圆心 C 重合时，如图所示，平面内到定圆 C 的距离为|QB ，到定点 A 的距离为|QA
7、 ，依题意|QB|QA ，所以|QC|QA|QC|QB r|CA ，所以 Q 的轨迹为椭圆所以 C 正确 当 A 在圆 C 内且与圆心 C 重合时，Q 点的轨迹即为圆 C.所以 A 正确 当 A 在圆 C 上时，连接 CA 并延长，Q 点的轨迹即为以 C 为端点的射线 CA，如图所示 当 A 在圆 C 外时，设 B 是圆 C 上任意一点，连接 AB，作线段 AB 的垂直平分线 DQ，交直线 BC 于点 Q.则|QA|QB ，所以|QC|QA|QC|QB r|CA ，所以 Q 的轨迹为双曲线的一支所以 D 正确 三、填空题(每小题 5 分，共 10 分)7已知 F1，F2 是双曲线x216 y2
8、9 1 的左、右焦点，PQ 是过焦点 F1 的弦，且 PQ的倾斜角为 60，那么|PF2|QF2|PQ|的值为_.【解析】在双曲线x216 y29 1 中，2a8，由双曲线定义，得|PF2|PF1|8，|QF2|QF1|8，所以|PF2|QF2|PQ|(|PF2|PF1|)(|QF2|QF1|)16.答案：16 8若曲线 C：mx2(2m)y21 是焦点在 x 轴上的双曲线，则 m 的取值范围为_.【解析】由曲线 C：mx2(2m)y21 是焦点在 x 轴上的双曲线，可得x21m y21m2 1，即有 m0，且 m20，解得 m2.答案：(2，)四、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9设
9、声速为 a 米/秒，在相距 10a 米的 A、B 两哨所，听到炮弹爆炸声的时间差为 6 秒，求炮弹爆炸点所在曲线的方程【解析】以直线 AB 为 x 轴，线段 BA 的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系 设炮弹爆炸点的轨迹上的点 P 的坐标为(x，y)，由题意可得|PA|PB|6a10a，所以炮弹爆炸点的轨迹方程为双曲线 x29a2 y216a2 1.10已知双曲线x216 y24 1 的左、右焦点分别为 F1，F2.(1)若点 M 在双曲线上，且 MF1MF20，求点 M 到 x 轴的距离(2)若双曲线 C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(3 2，2)，求双曲线 C 的方程【解析】(1)如图所示，不妨设 M 在双曲线的右支上，M 点到 x 轴的距离为 h，因为 MF1MF20，则 MF1MF2，设|MF1|m，|MF2|n，由双曲线定义，知 mn2a8，又 m2n2(2c)280，由得 mn8，所以12 mn412|F1F2|h，所以 h2 55 .所以 M 点到 x 轴的距离为2 55 .(2)设所求双曲线 C 的方程为x216 y24 1(416)，由于双曲线 C 过点(3 2，2)，所以1816 44 1，解得4 或14(舍去)，所以所求双曲线 C 的方程为x212 y28 1.