1、第2课时导数在函数有关问题及实际生活中的应用学 习 任 务核 心 素 养1能用导数解决函数的零点问题2体会导数在解决实际问题中的作用3能利用导数解决简单的实际问题(重点、难点)1借助用导数解决函数的零点问题，培养直观想象的核心素养2通过学习用导数解决生活中的优化问题，培养数学建模的核心素养3借助对实际问题的求解，提升逻辑推理及数学运算的核心素养学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左右两边各空1 dm如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？知识点1函数图象的画法函数f(x)的图象直观地反映了
2、函数f(x)的性质通常，按如下步骤画出函数f(x)的图象：(1)求出函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)及函数f(x)的零点；(3)用f(x)的零点将f(x)的定义域划分成若干个区间，列表给出f(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值；(4)确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；(5)画出f(x)的大致图象知识点2用导数解决优化问题的基本思路解决生活中优化问题应注意什么？提示(1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域(2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，如：长度、宽度应大于0，销售价为正数等1
3、炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：)为f(x)x3x28(0x5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是()A8BC1D8C由题意，f(x)x22x(x1)21，0x5，x1时，f(x)的最小值为1，即原油温度的瞬时变化率的最小值是12已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件B11万件C9万件D7万件C由题意得，yx281，令y0，解得x9或x9(舍去)当0x9时，y0；当x9时，y0故当x9时，y取得极大值，也是最大值 类型1利用导数研究
4、函数的图象【例1】函数y(其中e为自然对数的底数)的大致图象是()A B C DB法一：由函数y可知，当x0时，y0，排除C；当x0时，y0，排除A；y，当x3时，y0，当x3时，y0，函数在(0，)上先增后减故选B法二：由函数y可知，当x0时，y0，排除C；当x0时，y0，排除A；当x时，y0故选B由解析式研究图象常用的方法根据解析式判断函数的图象时，综合应用各种方法，如判断函数的奇偶性、定义域、特殊值和单调性，有时还要用导数研究函数的极值点，甚至最值等跟进训练1函数f(x)ex22x2的图象大致为()A B C DAf(x)f(x)，当x0时，f(x)ex22x4x，令f(x)0，则2x(
5、ex22)0x(0，1)，且f()22ln 20，当x0时，f(x)0，且只有一个极值点，排除B，C，D故选A 类型2用导数研究方程的根【例2】设函数f(x)kln x，k0(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，上仅有一个零点思路探究(1)对函数f(x)求导，根据导数的正负确定函数的单调区间和极值；(2)根据(1)中函数的单调性和极值分析函数图象，得出最值，进而得出函数存在零点时k的取值范围，由此结合零点存在性定理进行证明解(1)由f(x)kln x(k0)得f(x)x，由f(x)0解得xf(x)与f(x)在区间(0，)上的变化情况如下表：x(
6、0，)(，)f(x)0f(x)所以f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)，f(x)在x处取得极小值f()，无极大值(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为f()因为f(x)存在零点，所以0，从而ke当ke时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()0，所以x是f(x)在区间(1，上的唯一零点当ke时，f(x)在区间(0，)上单调递减，且f(1)0，f()0，所以f(x)在区间(1，上仅有一个零点综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，上仅有一个零点与函数零点有关的问题与函数零点有关的问题，往往利用导数研究函数的单调性和极值点，并结合特殊点判断函数
7、的大致图象，讨论图象与x轴的位置关系(或者转化为两个熟悉函数的图象交点问题)，确定参数的取值范围跟进训练2若方程axx(a0，a1)有两个不等实根，求实数a的取值范围解由axx知x0，故 xln aln x0ln a，令f(x)(x0)，则f(x)当x(0，e)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(e，)时，f(x)0，f(x)单调递减，故当xe时，f(x)取得最大值f(e)，即ln a，即ae画出函数yax(a0，a1)与yx的图象，结合图象可知，若方程axx(a0，a1)有两个不等实根，则a1综上可知，实数a的取值范围为 类型3导数在生活实际问题中的应用角度1用料最省、成本(费用)最低问
8、题【例3】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值思路探究(1)由C(0)8可求k的值从而求出f(x)的表达式(2)求函数式f(x)的最小值解(1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)(0x10)，再由C(0)8，得k
9、40，因此C(x)而建造费用为C1(x)6x最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)(2)f(x)6，令f(x)0，即6，解得x5或x(舍去)当0x5时，f(x)0，当5x0，故x5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6570当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元求解优化问题中的最小值问题的思路在实际生活中关于用料最省、费用最低、损耗最小、用时最短等问题，一般情况下都需要利用导数求解相应函数的最小值若求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足“左减右增”，则此时唯一的极小值就是所求的函
10、数的最小值跟进训练3已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水航行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为v千米/时(8vv0)若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当v12千米/时时，船每小时航行所需的燃料费为720元为了使全程燃料费最省，船在静水中的航行速度v应为多少？解设船每小时航行所需的燃料费为y1元，比例系数为k(k0)，则y1kv2当v12时，y1720，720k122，得k5，则y15v2设全程燃料费为y元，由题意，得yy1，y令y0，解得v0(舍去)或v16若v016，当v(8，16)时，y0，y为减函数；当v(16，v0时，y0，y为增函数
11、故当v16千米/时时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省若v016，则v(8，v0，且y0，y在(8，v0上为减函数故当vv0时，y取得最小值，此时全程燃料费最省综上可得，若v016，则当v16千米/时时，全程燃料费最省，为32 000元；若v016，则当vv0时，全程燃料费最省，为元角度2利润最大、效率最高问题【例4】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使
12、商场每日销售该商品所获得的利润最大1在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？提示根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值2你能列举几个有关利润的等量关系吗？提示(1)利润收入成本(2)利润每件产品的利润销售件数解(1)因为x5时，y11，所以1011，a2(2)由(1)知，该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(x6)2，3x6，从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)，令f(x)0，得x4或x6(舍去)于是，当x变
13、化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3，4)4(4，6)f(x)0f(x)极大值42由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点，所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润收入成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值解此类问题需注意两点：价格要大于或等于成本，否则就会亏本；销量要大于0，否则不会获利跟进训练4某电子公司开发一种智能手机的配件，每个配件的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件，通过改进工艺，每个配件的成本不变，质
14、量和技术含金量提高市场分析的结果表明，如果每个配件的销售价提高的百分率为x(0x1)，那么月平均销售量减少的百分率为x2，记改进工艺后该电子公司销售该配件的月平均利润是y(元)(1)写出y与x的函数关系式；(2)改进工艺后，试确定该智能手机配件的售价，使电子公司销售该配件的月平均利润最大解(1)改进工艺后，每个配件的销售价为20(1x)元，月平均销售量为a(1x2)件，则月平均利润ya(1x2)20(1x)15(元)，y与x的函数关系式为y5a(14xx24x3)(0x1)(2)y5a(42x12x2)，令y0，得x1，x2(舍)，当0x时，y0；x1时，y0，函数y5a(14xx24x3)(
15、0x1)在x时取得极大值也是最大值，故改进工艺后，每个配件的销售价为2030元时，该电子公司销售该配件的月平均利润最大1某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)x2(0x0，此时V(x)单调递增；当40x60时，V(x)0，此时V(x)单调递减，所以V(40)是V(x)的极大值，即当箱子的体积最大时，箱子底面边长为402设函数f(x)的导函数为f(x)，若f(x)为偶函数，且在(0，1)上存在极大值，则f(x)的图象可能为() ABCDC根据题意，f(x)为偶函数，则其导数f(x)为奇函数，结合函数图象可以排除B、D又由于函数f(x)在(0，1)上存在极大值，则其导数图象在(0，1)上存在零点
16、，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负，结合选项可以排除A，只有C选项符合题意，故选C3若方程x33xm0在0，2上有解，则实数m的取值范围是()A2，2B0，2C2，0D(，2)(2，)A方程x33xm0在0，2上有解，则mx33x，x0，2，求实数m的取值范围可转化为求函数的值域问题令yx33x，x0，2，则y3x23，令y0，解得x1，因此函数在0，1)上单调递减，在(1，2上单调递增，又x1时，y2；x2时，y2；x0时，y0，函数yx33x，x0，2的值域是2，2，故m2，2，m2，2，故选A4电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为yx3x240x(x0)，为使耗电量最小，则其速度应定为_40由题设知yx239x40，令y0，解得x40或x1，故函数yx3x240x(x0)在40，)上递增，在(0，40上递减当x40时，y取得最小值由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40回顾本节知识，自我完成以下问题：1利用导数解决函数的零点问题的一般方法是什么？提示与函数零点有关的问题，往往利用导数研究函数的单调性和极值，并结合特殊点判断函数的大致图象，讨论图象与x轴的位置关系2利用导数解决实际应用问题的一般方法是什么？提示(1)设出变量找出函数关系式，确定定义域；(2)若函数f(x)在定义域内只有一个极值点x0，则不需与端点处函数值比较，f(x0)即是所求的最大值或最小值
