1、第二章平面向量2.1.5 向量共线的条件和轴上向量的坐标运算人教B版必修4向量共线的条件与轴上向量坐标运算 引入：在学习向量概念时，我们们已给出向量共线的概念：如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或互相平行。应注意，这里说的向量平行包含向量基线重合的情形，与两条直线平行的概念有点不同abcd向量共线的条件由向量平行和向量数乘的定义可以推知：平行向量基本定理 如果，则；反之，如果()，则存在一个实数，使ba a ba bobba 为什么要求ob 如果则如果则，如果的长度是长的一半，并且方向相反，则ba2;babc2bcbddbbd21abb2b2cdb21 给定一个非零向量，与同方向且
2、长度等于1的向量，叫做向量的 单位向量。aaaa1 0a或如果向量的单位向量记作，由数乘向量定义可知0a0aaaaaa0a单位向量巩 固 练 习 判断下列命题是否正确（）（）（）（1）向量与向量平行，则向量与向量方向相同或相反。ABCDABCD（2）向量与向量是共线向量则A、B、C、D四点必在一条直线上。ABCD（3）若干个向量首尾相连，形成封闭图形则这些向量的和等于零向量。（4）起点不同，但方向相同且长度相等的几个向量是相等向量。（）CABMN证明：M、N分别是 AB、AC边上的中点例题讲解（一）例1、如图所示，、是的中位线。求证：,且MBCMN21BCMNABCNACAMABAM21,21
3、ABACAMANMN2121BCABAC21)(21BCMNBCMN21,例题讲解（二）例2、已知试问向量与向量是否平行并求.2,3ebeaabba:解：由得，代入得因此，与平行且eb2be21ea3ba23ab23:ba定理的实质是向量相等，即存在唯一实数使，应从向量的大小和方向两个方面理解，借助实数沟通了两个向量与的联系ab)(oa ba轴上向量坐标运算轴的概念 规定了方向和长度单位的直 线叫做轴 已知轴取单位向量,使的方向与同方向，根据平行的条件，对于轴上任意向量 一定存在唯一数，使反过来，任意给定一个实数，我们总能作一个向量，使它的长度等于这个实数的绝对值，方向与实数的符号一致。lel
4、exexa xaxl轴和数轴 的区别 想一想le当与同方向时，是正 数当与反方向时，是负数aa exex给定一向量能生成与它平行的所有向量的集合这里的向量叫做轴的基向量。叫做在上的坐标（或数量）eRxexelxal（其中）exa 轴上两个向量相等的条件是他们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和。设 于是，得 如果 则 反之，如果 ，则 ,21exbexa,ba 21xx 21xx,ba exxba)(21 OABCle设是轴上的一个基向量,显然，与绝对值相同，符号相反，即eleABAB eBABA 0 BAABBAABACBCABeACeBCeABeACeBCAB)(因为oe
5、 所以ACBCABOx设 向量平行于轴，以原点 为始点作则点的位置被向量所唯一确定，由平行向量基本定理知，存在唯一的实数使，数值是点的位置向量在轴上的坐标，也就是点在轴上的坐标。axaOP PaxexOP xPxPxPxa在数轴上，已知点的坐标为，点的坐标为x1xAB2x12xxAB即数轴上两点距离公式为12xxABoA1x302xBPxOBOAOBAOAB12xx 于是得到例题讲解三例3、已知数轴上三点A、B、C的坐标分别是4、-2、-6，求的坐标和长度。CABCAB,O4-2-6l解：,64)2(AB66 AB,4)2(6BC44 BC,10)6(4CA1010 CA基础知识形成性练习1、
6、把下列向量表示为数乘向量的形式ab（1）ebea6,3（2）ebea31,8ebea31,32（3）ebea32,43（4）得aee3)6(21ba21（1）由（2）aee8)16(21由得ea21（3）aee32)31(2由得ba2（4）由得aee43)32(89ba89答案：2、已知：在中，求证：，并且ABC.31,31ACANABAMBCMN31BCMN 因为 所以 AMANMN)(31BCAC BC31BCMNBCMN31,AMNCB3、在数轴上，已知求,BCABAC（1）;5,3BCAB（2）;7,5BCAB;23,8BCAB（3）（4）;8,7BCAB (1)AB+BC=AC AC
7、=3+5=8 (2)AC=AB+BC=5+(-7)=-2 (3)AC=AB+BC=(-8)+23=15 (4)AC=AB+BC=-7+(-8)=-15 4、已知数轴上三点、的坐标分别为求、的坐标和长度ABC,5,2,8 ABBCCA设、的坐标分别为A BCxxx3,2,16)8(212xxAB6AB7)2(523xxBC7BC135831xxCA13CA 提 高 练 习 已知两个非零向量和不共线，如果求证：三点共线1e2e,3221eeAB,23621eeBC.8421eeCDDBA,ABeeeeeeeeeeCDBCABAD6)32(6181284236322121212121向量与向量共线，
8、且有共同起点故三点共线。ADAB,ADBA,解：变式引申已知非零向量和不共线，欲使和共线，是确定的值。1e2e21eek21eke k解：因为和共线21eek21eke)(2121ekeeek所以存在实数，使21)1()(ekek则由于与不共线，1e2e010kk1k只能有，则开放创新 已知向量，其中不共线，向量问是否存在这样的实数，使向量与共线？212132,32eebeea21,ee2192eec,badc解：假设存在这样的实数使与共 线，,badc)32()32(2121eeeebad21)33()22(ee要使与共线，则应有实数，使即ckd kdc212192)33()22(ekeke
9、e由kk9332222得故存在这样的使与共线,dc数学与日常生活某人骑车以每小时a公里的速度向东行驶，感到风从正北 方吹来，而当速度为2a公里时，感到风从东北方向吹来，试问实际风速和风向。vaa解:设表示人以每小时 a 公里的速度向东行驶的向量。在无风时此人感到的风速为。设实际风速为,那么此人所感到的风速向量为.设，由于从而aaavaOBaOA2,PAOAPOavPABOPAv这就是感到从正北方向吹来得风速。由于，从而于是，当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是由题意，得从而为等腰直角三角形，故即答：实际吹来的风是风速为的西北风。PBOBPOPBav2PBAOBABOPAPBO,450PBOaPBPO2av2a2小结回顾向量共线的实质是向量相等，即存在唯一的实数 使 =a定理内容本节课主要运用了直观、类比、特殊到一般的思维方法。同学们要认真体会这些思维方法，提高理性思维的能力。轴上向量的坐标运算给出了数轴上两点的坐标公式和向量的坐标运算公式。定义了轴上两个向量求和的公式。应用定理为解决三点共线和直线平行问题提供了一种方法，要证三点共线或直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找唯一实数 ，使两向量相等，把向量平行的 问题转化 为寻求实数 使向量 相等问题。实质b)(oa