1、课时作业17抛物线的简单几何性质时间：45分钟分值：100分 一、选择题(每小题6分，共36分)1顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为()Ax23yBy26xCx212y Dy26y解析：对称轴为y轴可设抛物线方程为x2my(m0)，又|3，m12.抛物线方程为x212y.答案：C2设过抛物线y22px(p0)的焦点的弦为AB，则|AB|的最小值为()A. BpC2p D无法确定解析：由题意得当ABx轴时，|AB|取最小值，为2p.答案：C3已知直线ykxk及抛物线y22px(p0)，则()A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一
2、个或两个公共点D直线与抛物线可能没有公共点解析：直线ykxkk(x1)，直线过点(1,0)又点(1,0)在抛物线y22px的内部，当k0时，直线与抛物线有一个公共点；当k0时，直线与抛物线有两个公共点答案：C4过点(0，2)的直线与抛物线y28x交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|等于()A2 B.C2 D.解析：设直线方程为ykx2，A(x1，y1)、B(x2，y2)由得k2x24(k2)x40.直线与抛物线交于A、B两点，16(k2)216k20，即k1.又2，k2或k1(舍去)|AB|x1x2|2.答案：C5(2011全国高考)已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线y2
3、x4与C交于A，B两点，则cosAFB()A. B.C D解析：由得x25x40，x1或x4.不妨设A(4,4)，B(1，2)，则|5，|2，(3,4)(0，2)8，cosAFB.故选D.答案：D6已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A、B两点，F为C的焦点若|FA|2|FB|，则k等于()A. B.C. D.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x10，x20，由得k2x2(4k28)x4k20，x1x24，根据抛物线的定义得，|FA|x1x12，|FB|x22，|FA|2|FB|，x12x22，由得x21，B(1,2)，代入yk(x2)得k，选D.答案：D二、填
4、空题(每小题8分，共24分)7过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p_.解析：直线yx，故x23px0，|AB|8x1x2p，4p8，p2.答案：28已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线yx与抛物线C交于A，B两点若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_解析：设抛物线方程为y2kx，与yx联立方程组，消去y，得x2kx0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2k.又P(2,2)为AB的中点，2.k4.y24x.答案：y24x9设抛物线y22x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物
5、线的准线相交于点C，|BF|2，则BCF与ACF的面积之比等于_解析：由|BF|2小于点M到准线的距离()知点B在A、C之间，由抛物线的定义知点B的横坐标为，代入得y22x，则B(，)(另一种可能是(，)，那么此时直线AC的方程为，即y，把y代入y22x，可得2x27x60，可得x2，则有y2，即A(2,2)，那么SBCFSACFBCAC()(2)45.答案：45三、解答题(共40分)10(10分)直线l过抛物线y24x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|8，求直线l的方程解：抛物线y24x的焦点坐标为(1,0)，若l与x轴垂直，则|AB|4，不符合题意，可设所求直线l的方程为yk(x1
6、)由得k2x2(2k24)xk20，则由根与系数的关系，得x1x2.又AB过焦点，由抛物线的定义可知|AB|x1x2p28，6，解得k1.所求直线l的方程为yx10或xy10.11(15分)图1如图1所示，O为坐标原点，过点P(2,0)，且斜率为k的直线l交抛物线y22x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点(1)写出直线l的方程；(2)求x1x2与y1y2的值；(3)求证：OMON.解：(1)直线l的方程为yk(x2)(k0)(2)由及y22x，消去y可得k2x22(2k21)x4k20.点M，N的横坐标x1与x2是的两个根，由韦达定理，得x1x24.由y2x1，y2x2，得(y1y2)2
7、4x1x24416，由图可知y1y20，所以y1y24.(3)证明：设OM，ON的斜率分别为k1，k2，则k1，k2.由(2)知，y1y24，x1x24，k1k21.OMON.12(15分)(2010湖北高考)已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A、B的任一直线，都有0)，1，p2，方程为：y24x(x0)(2)假设存在M(m,0)(m0)当直线l斜率不存在时，l：xm，设交点A(m,2)，B(m，2)，(m1,2)，(m1，2)，m26m10，32m0恒成立，y1y2，y1y24m，又yy(y1y2)22y1y28m，(1)(1)y1y2(yy)y1y212m2(8m)4m12m26m1m26m1对k0恒成立，又0，m26m10恒成立，32m32，综上，m的取值范围是：32m32.