1、北京五中2010/2011学年度上学期期中考试试卷高三数学(文科)一 选择题（每题5分，共40分，请把答案填在第3页表中）1设集合，则满足的集合B的个数是( ) 1 3 4 82给出下列命题 ：； ；“”的充要条件是“,或”,其中正确命题的个数是 （ ） 0 1 2 33. 设非零向量满足，则与的夹角为（ ） 30 60 90 1204.已知等差数列的前20项的和为100，那么的最大值为( ) 25 50 100 不存在5将函数的图象向左平移个单位长度，向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是( ) 6若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是( ) 7函数是偶
2、函数，且在区间上单调递减，则与的大小关系为（ ） 不能确定8一根竹竿长2米，竖直放在广场的水平地面上，在时刻测得它的影长为4米，在时刻的影长为1米这个广场上有一个球形物体，它在地面上的影子是椭圆，问在、这两个时刻该球形物体在地面上的两个椭圆影子的离心率之比为（ ） 1：1 ：1 ：1 2：1二 填空题（每题5分，共30分，请把答案填在第3页表中）2侧视图2正视图9与垂直的单位向量为_10如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为 1俯视图11已知函数,当时,都有成立,则实数的取值范围为 12已知当时，且恒成立，则当时， 13已知点在曲线上，如果该曲线在点处切线的斜率为，那么 ，此时函数，的值
3、域为 14定义运算符号：“”，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将123n记作，其中为数列中的第项.若，则= ； 若 三 解答题（共80分）15在中，、为角、的对边，已知、为锐角，且，（1）求的值; （2）若，求、的值16设关于的二次函数 （I）设集合P=1，2， 4和Q=-1，1，2，分别从集合P和Q中随机取一个数作为函数中和的值，求函数有且只有一个零点的概率；（II）设点（，）是随机取自平面区域内的点，求函数上是减函数的概率.17如图, 在直三棱柱中，,，点是 的中点，（1） 求证：； （2） 求证： 18已知函数.（）当时，求的极值;（）当时，求的单调区间. 19已知的顶点在椭圆上，在直
4、线上，且（）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；（）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程20已知数列的前项和和通项满足（是常数且）。()求数列的通项公式；() 当时，试证明； ()设函数，是否存在正整数，使对都成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.北京五中2010/2011学年度上学期期中考试试卷高三数学(文科)答案四 选择题（每题5分，共40分，请把答案填在第3页表中）1设集合，则满足的集合B的个数是( C ) 1 3 4 82给出下列命题 ：； ；“”的充要条件是“,或”,其中正确命题的个数是 （ C ） 0 1 2 33. 设非零向量满足，则与的夹角为（ D ） 30 60 9
5、0 1204.已知等差数列的前20项的和为100，那么的最大值为( A ) 25 50 100 不存在5将函数的图象向左平移个单位长度，向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是( A ) 6若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是( A ) 7函数是偶函数，且在区间上单调递减，则与的大小关系为（ C ） 不能确定8一根竹竿长2米，竖直放在广场的水平地面上，在时刻测得它的影长为4米，在时刻的影长为1米这个广场上有一个球形物体，它在地面上的影子是椭圆，问在、这两个时刻该球形物体在地面上的两个椭圆影子的离心率之比为（ A ） 1：1 ：1 ：1 2：1五 填空题（每
6、题5分，共30分，请把答案填在第3页表中）2侧视图2正视图9与垂直的单位向量为_, _10如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为 1俯视图11已知函数,当时,都有成立,则实数的取值范围为 12已知当时，且恒成立，则当时， 13已知点在曲线上，如果该曲线在点处切线的斜率为，那么 -3 ；函数，的值域为 -2,18 14定义运算符号：“”，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将123n记作，其中ai为数列中的第项.若，则T4= 280 ； 若 . 选择题答案题号12345678答案填空题答案9. 10. 11. 12. 13. 14. 六 解答题（共80分）15在中，、为角、的对边，已知、为锐
7、角，且，（1）求的值; （2）若，求、的值解：（）、为锐角，又， 6分（）由（）知,. 由正弦定理得，即， w ， ，16设关于的一元二次函数 （I）设集合P=1，2， 4和Q=-1，1，2，分别从集合P和Q中随机取一个数作为函数中和的值，求函数有且只有一个零点的概率；（II）设点（，）是随机取自平面区域内的点，求函数上是减函数的概率.解：（I）要使函数有且只有一个零点，当且仅当 2分分别从集合P和Q中随机取一个数作为和，可以是共9个基本事件，其中满足的事件有共2个，所求事件的概率为 . 6分（II）函数的图象的对称轴为 由函数上是减函数，得且0，.8分依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，
8、即三角形区域.且 .10分构成所求事件的区域为三角形区域（如图）. 由 12分所求事件的概率为 13分17如图, 在直三棱柱中，,，点是 的中点，（3） 求证：； （4） 求证：证明：（）可证（）设，交于可证所以18已知函数.（）当时，求的极值;（）当时，求的单调区间. 解： 1分令则 2分00极大值极小值4分当时，5分当时，6分（） 7分 当时， 令 得或 8分令 得 9分的单调增区间为，减区间为 .10分当时， 令得或 11分令得 12分的单调增区间为，.减区间为 .13分综上可知，当时，的单调增区间为，单调减区间为；当时，的单调增区间为，单调减区间为 . 19已知的顶点在椭圆上，在直线上
9、，且（）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；（）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程解：（）因为，且边通过点，所以所在直线的方程为设两点坐标分别为由 得所以又因为边上的高等于原点到直线的距离所以，（）设所在直线的方程为，由得因为在椭圆上，所以设两点坐标分别为，则，所以又因为的长等于点到直线的距离，即所以所以当时，边最长，（这时）此时所在直线的方程为20.已知数列的前项和和通项满足（是常数且）。()求数列的通项公式；() 当时，试证明； ()设函数，是否存在正整数，使对都成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.解: ()由题意，得 1分当时， ， 3分数列是首项，公比为的等比数列， 4分()由（）知当时， 5分， 6分即 7分