1、3.3抛物线3.3.1抛物线的标准方程学 习 任 务核 心 素 养1掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念(重点)2掌握抛物线的标准方程及其推导过程(易错点)3明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题(难点)1通过对抛物线定义的学习，培养数学抽象核心素养2通过对抛物线定义及标准方程的应用，培养直观想象、数学建模等核心素养我们已经学习了椭圆、双曲线两种圆锥曲线，今天我们来学习第三种圆锥曲线抛物线在物理上，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象现在来做一个实验如图，把一根直尺固定在画图板内，直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘，把一根绳子的一端固
2、定于三角板另一条直角边上点A，截取绳子的长等于A到l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直角尺左右滑动，这样铅笔就画出了一条曲线，这条曲线就叫作抛物线知识点1抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什么？提示点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线知识点2抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)Fxy22px(p0)Fxx22py(p0)Fyx22
3、py(p0)Fy1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)y4x2的焦点坐标为(1，0)()(2)以(0，1)为焦点的抛物线的方程为x24y()答案(1)(2)2抛物线y4ax2(aR且a0)的焦点坐标为_把方程化为标准形式为x2y，所以焦点在y轴上，坐标为 类型1求抛物线的标准方程【例1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程(1)准线方程为2y40；(2)过点(3，4)；(3)焦点在直线x3y150上解(1)准线方程为2y40，即y2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x22py(p0)又2，2p8，故所求抛物线的标准方程为x28y(2)点(3，4)在第四象限，抛物线开口向右或向下
4、，设抛物线的标准方程为y22px(p0)或x22p1y(p10)把点(3，4)的坐标分别代入y22px和x22p1y中，得(4)22p3，322p1(4)，即2p，2p1所求抛物线的标准方程为y2x或x2y(3)令x0得y5；令y0得x15抛物线的焦点为(0，5)或(15，0)所求抛物线的标准方程为x220y或y260x1用待定系数法求抛物线标准方程的步骤2求抛物线的标准方程时需注意的三个问题(1)把握开口方向与方程一次项系数的对应关系；(2)当抛物线的位置没有确定时，可设方程为y2mx(m0)或x2ny(n0)，这样可以减少讨论不同情况的次数；(3)注意p与的几何意义跟进训练1根据下列条件分
5、别求出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y；(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5；(3)经过点(3，1)；(4)焦点为直线3x4y120与坐标轴的交点解(1)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且，则p，所以所求抛物线的标准方程为x2y(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x22my(m0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|5，m5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x210y和x210y(3)点(3，1)在第三象限，设所求抛物线的标准方程为y22px(p0)或x22py(p0)若抛物线的标准方程为y22px(p0)，则由(1)22p(3)，解得p；若抛物线的标准方程为x22
6、py(p0)，则由(3)22p(1)，解得p所求抛物线的标准方程为y2x或x29y(4)对于直线方程3x4y120，令x0，得y3；令y0，得x4，抛物线的焦点为(0，3)或(4，0)当焦点为(0，3)时，3，p6，此时抛物线的标准方程为x212y；当焦点为(4，0)时，4，p8，此时抛物线的标准方程为y216x所求抛物线的标准方程为x212y或y216x 类型2抛物线定义的应用【例2】(1)已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0()A1B2C4D8(2)若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大求点M的轨迹方程1设抛物线y22px(p0)的焦
7、点为F，抛物线上一点A(x0，y0)，|AF|的长如何表示？提示|AF|2如何把条件“M到F的距离比它到y轴的距离大”转化为抛物线的定义？提示M到F的距离与到直线x的距离相等，即可利用抛物线的定义(1)A由题意知抛物线的准线为x因为|AF|x0，根据抛物线的定义可得x0|AF|x0，解得x01，故选A(2)解由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x的距离相等由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y22px(p0)的形式，而，所以p1，2p2，故点M的轨迹方程为y22x(x0)(变结论)若本例(2)中
8、点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2，求点N的坐标解设点N的坐标为(x0，y0)，则|NF|2又点M的轨迹方程为y22x(x0)，所以由抛物线的定义得x02，解得x0因为y2x0，所以y0，故点N的坐标为或抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题(2)解决最值问题在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题 类型3抛物线的实际应用【例3】河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米
9、，高2米，载货后船露出水面上的部分高米，问：水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？解如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x22py(p0)，由题意，将B(4，5)代入方程得p，抛物线方程为x2y 当船的两侧和拱桥接触时船不能通航设此时船面宽为AA，则A(2，yA)，由22yA，得yA又知船露出水面上部分为米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h|yA|2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船开始不能通航求解抛物线实际应用题的步骤跟进训练2一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a
10、的最小整数值解以拱顶O为原点，拱高OD所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示设抛物线方程为x22py(p0)AB是OD的4倍，点B的坐标为由点B在抛物线上，得2p，p抛物线方程为x2ay设点E(0.8，y0)为抛物线上一点，代入方程x2ay，得0.82ay0，y0，点E到拱底AB的距离h|y0|，令h3，则3，解得a6或a6(舍去)a的最小整数值为131准线与x轴垂直，且经过点(1，)的抛物线的标准方程是()Ay22xBy22xCx22y Dx22yB由题意可设抛物线的标准方程为y2ax，则()2a，解得a2，因此抛物线的标准方程为y22x，故选B2过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹
11、为()A圆 B椭圆C直线 D抛物线D由题意可知，动圆的圆心到点A的距离与到直线y轴的距离相等，满足抛物线的定义，故应选D3设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是_6由抛物线的方程得2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4264如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽_米2建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x22py(p0)，则点(2，2)在抛物线上，代入可得p1，所以x22y当y3时，x26，所以水面宽为2米5若抛物线y22px(p0)上有一点M，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，求点M的坐标解由抛物线方程y22px(p0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x设点M到准线的距离为d，则d|MF|10，即(9)10，得p2，故抛物线方程为y24x由点M(9，y)在抛物线上，得y6，故点M的坐标为(9，6)或(9，6)回顾本节知识，自我完成以下问题：1为了避免讨论，如何灵活地设抛物线的标准方程？提示焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2mx(m0)，此时焦点为F，准线方程为x；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2my(m0)，此时焦点为F，准线方程为y2根据抛物线的定义，焦半径公式是什么？提示对于抛物线y22px，焦半径|MF|x0|；对于抛物线x22py，焦半径|MF|y0|