1、3.1.2椭圆的几何性质第1课时椭圆的几何性质学 习 任 务核 心 素 养1根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形(重点)2根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线(重点、难点)1通过对椭圆性质的学习与应用，培养数学运算的核心素养2借助离心率问题的求解，提升直观想象与逻辑推理的核心素养“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现，你知道椭圆有什么样的性质吗？知识点1椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围axa且bybbxb且aya对称性对称轴为坐标轴，对称中心为原点顶点A1(a
2、，0)，A2(a，0) B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b，0)，B2(b，0)轴长短轴长|B1B2|2b，长轴长|A1A2|2a焦点F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c1经过点P(3，0)，Q(0，2)的椭圆的标准方程为()A1B1C1D1A由题易知点P(3，0)，Q(0，2)分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，故椭圆的焦点在x轴上，所以a3，b2，故椭圆的标准方程为12椭圆的长轴长是短轴长的2倍，它的一个焦点为(0，)，则椭圆的标准方程是_x21依题意得2a4b，c，又a2b2c2，a2，b1，故椭圆的标准方程为x2
3、1知识点2离心率(1)定义：焦距与长轴长的比叫作椭圆的离心率，记为e(2)性质：离心率e的范围是(0，1)当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆离心率相同的椭圆是同一椭圆吗？提示不是，离心率是比值，比值相同不代表a，c值相同，它反映的是椭圆的扁圆程度 类型1由椭圆方程研究几何性质【例1】(1)椭圆1(ab0)与椭圆(0且1)有()A相同的焦点B相同的顶点C相同的离心率D相同的长、短轴(2)求椭圆9x216y2144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标(1)C在两个方程的比较中，端点a、b均取值不同，故A，B，D都不对，而a，b，c虽然均不同，但倍数增长一样，所以
4、比值不变，故应选C(2)解把已知方程化成标准方程为1，所以a4，b3，c，所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a8和2b6；离心率e；两个焦点坐标分别是(，0)，(，0)；四个顶点坐标分别是(4，0)，(4，0)，(0，3)，(0，3)1本例(1)中把方程“(0且1)”改为“1(0)”，结果会怎样呢？A由于ab，方程1中，c2(a2)(b2)a2b2焦点与1(ab0)的焦点完全相同而因长轴长，短轴长发生了变化，所以BCD均不对，只有A正确2本例(2)中，把方程改为“16x29y2144”，结果又会怎样呢？解把方程16x29y2144化为标准形式得1知椭圆的焦点在y轴上，这里a216，b29，c21
5、697，所以椭圆16x29y2144的长轴长为2a248，短轴长为2b236，离心率：e，焦点坐标：，顶点坐标：(0，4)，(0，4)，(3，0)，(3，0)由标准方程研究性质时的两点注意(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型(2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2b2c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标同时要注意长轴长、短轴长、焦距不分别是a，b，c，而应分别是2a，2b，2c 类型2由几何性质求椭圆的方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆过点(3，0)，离心率e；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端
6、点的连线互相垂直，且焦距为8；(3)经过点M(1，2)，且与椭圆1有相同的离心率解(1)若焦点在x轴上，则a3，e，c，b2a2c2963椭圆的方程为1若焦点在y轴上，则b3，e，解得a227椭圆的方程为1所求椭圆的方程为1或1(2)设椭圆方程为1(ab0)如图所示，A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，cb4，a2b2c232，故所求椭圆的方程为1(3)法一：由题意知e21，所以，即a22b2，设所求椭圆的方程为1或1将点M(1，2)代入椭圆方程得1或1，解得b2或b23故所求椭圆的方程为1或1法二：设所求椭圆方程为k1(k10)或k2(
7、k20)，将点M的坐标代入可得k1或k2，解得k1，k2，故或，即所求椭圆的标准方程为1或1利用椭圆的几何性质求标准方程的思路(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：确定焦点位置； 设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2a2c2，e等(2)在椭圆的简单几何性质中，由轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个提醒：与椭圆1(ab0)有相同离心率的椭圆方程为k1(k10，焦点在x轴上)或k2(k20
8、，焦点在y轴上)跟进训练已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3，0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程解法一：若椭圆的焦点在x轴上，则设椭圆的标准方程为1(ab0)由题意得解得所以椭圆的标准方程为y21若椭圆的焦点在y轴上，则设椭圆的标准方程为1(ab0)由题意得解得所以椭圆的标准方程为1综上所述，椭圆的标准方程为y21或1法二：设椭圆方程为1(m0，n0，mn)，则由题意得或解得或所以椭圆的标准方程为y21或1 类型3求椭圆的离心率探究问题1椭圆的离心率是如何影响椭圆的扁圆程度的？提示离心率e，假设a固定，当e0时，c0，因a2c2b2，则ba，所以离心率越小，椭圆就越圆，否则就
9、越扁2已知的值能求出离心率吗？提示可以e3已知F是椭圆的左焦点，A，B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴上的顶点，P是椭圆上的一点，且PFx轴，OPAB，怎样求椭圆的离心率？提示如图，设椭圆的方程为1(ab0)，P(c，m)OPAB，PFOBOA，又P(c，m)在椭圆上，1将代入，得1，即e2，e【例3】设椭圆1(ab0)的两焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使0，求椭圆的离心率e的取值范围题中的条件“0”如何转化？提示由条件0，知PF1PF2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，也在椭圆上，利用圆与椭圆有公共点的条件建立不等式求解.解由题意知PF1PF2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，
10、即在圆x2y2c2上又点P在椭圆上，所以圆x2y2c2与椭圆1有公共点连接OP(图略)，则易知0bca，所以b2c2a2，即a2c2c2a2所以c2a2，所以e1所以e1本例中，把条件改为“点P与短轴端点重合，且PF1F2为等边三角形”，求椭圆的离心率解当PF1F2为等边三角形时，即|PF1|PF2|F1F2|，又|PF1|a，a2c，故离心率e2本例中，把条件改为“点P与短轴端点重合，且PF1F2为等腰直角三角形”，求椭圆的离心率解当PF1F2为等腰直角三角形时，F1PF290，这时|F1F2|PF1|，即2ca，离心率e3本例中把条件“使0”改为“使F1PF2为钝角”，求离心率的取值范围解
11、由题意，知cb，c2b2又b2a2c2，c2a2c2，即2c2a2e2，e故椭圆的离心率的取值范围为求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e求解若已知a，b或b，c可借助于a2b2c2求出c或a，再代入公式e求解(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的齐次关系式，借助于a2b2c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围1焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是()A1By21C1Dx21A依题意，得a2，ac3，故c1，b，
12、故所求椭圆的标准方程是12已知实数m29，则椭圆y21的离心率为()ABC或D或Am29，m3或m3(舍)，这时c2312，即c离心率e故选A3若焦点在y轴上的椭圆1的离心率为，则m的值为_由题意知0m2，且e211所以m4比较椭圆x29y236与1的形状，则_更扁(填序号)把x29y236化为标准形式1，离心率e1，而1的离心率e2，这里e2e1，故更扁5已知椭圆C1：1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质解(1)由椭圆C1：1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6，0)，(6，0)，离心率e(2)椭圆C2：1性质：范围：8x8，10y10；对称性：关于x轴、y轴、原点对称；顶点：长轴端点(0，10)，(0，10)，短轴端点(8，0)，(8，0)；离心率：e焦点坐标分别为(0，6)，(0，6)回顾本节知识，自我完成以下问题：1椭圆的几何性质包括哪些？提示包括椭圆的范围、对称性、长轴与短轴、焦距、离心率等2根据椭圆的几何性质求椭圆的标准方程的基本思路是什么？提示其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法