1、选修4-4 坐标系与参数方程 第一节 坐 标 系【知识梳理】1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换:_ 的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称为平面直角坐标系 中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.xx(0),yy(0)2.极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系:在平面内取一个定点O,即_,自极点O引一条射线Ox,即_;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方 向(通常取逆时针方向),就建立了极坐标系.(2)点的极坐标:对于极坐标系所在平面内的任一点M,若设|OM|=(0),以Ox为始边,OM为终边的角为,则点M可用有序数对_ 表
2、示.极点 极轴(,)(3)极坐标与直角坐标的互化公式:设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(,),则互化公式为 2_,x_,y_,tan_.cossin22xyy(x0)x直线 极坐标方程 图形 过极点,倾斜角为=_(R)或=_(R)(=_和=_(0)3.直线的极坐标方程(1)特殊位置的直线的极坐标方程:+直线 极坐标方程 图形 过点(a,0),与极轴垂直 _=a 过点与极轴平行 _=a(0)(a)2，()22 sin cos (2)一般位置的直线的极坐标方程:若直线l经过点M(0,0),且极轴 到此直线的角为,直线l的极坐标方程为sin(-)=_ _.0sin(-0)4.半径为r的圆的
3、极坐标方程(1)特殊位置的圆的极坐标方程:圆心的 极坐标 圆的极坐标 方程 图形(0,0)=_(02)(r,0)=_ ()22 r 2rcos 圆心的 极坐标 圆的极坐标 方程 图形=_(0)(r,)=_=_(2)3()22 2rsin-2rcos -2rsin(r,)23(r,)2(2)一般位置的圆的极坐标方程:若圆心为M(0,0),半径为r,则圆 的极坐标方程为_.2220002cos()r0 【小题快练】1.(2015南昌模拟)若原点与极点重合,x轴正半轴与极轴重合,则点(-5,-5 )的极坐标是()34A.(10,)B.(10,)3322C.(10,)D.(10,)33【解析】选B.设
4、点(-5,-5 )的极坐标为(,),则tan=因为x0,所以最小正角=10.所以极坐标为 35 335，43，2255 3 4(10,).32.(2014江西高考)若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴 为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0 x1)的极坐标方程为()1A.,0cossin21B.,0cossin4C.cossin,02D.cossin,04 【解析】选A.把x=cos,y=sin代入得=而0 x1可得0 .1cossin，23.(2015惠州模拟)已知圆的极坐标方程为=4cos,圆心为C,点P 的极坐标为 ,则|CP|=.【解析】由=4cos可得圆的直角坐标方程为(x-
5、2)2+y2=4,圆心 C(2,0).点P的直角坐标为P(2,2 ),所以|CP|=2 .答案:2(4,)3333考点1 伸缩变换【典例1】将圆x2+y2=1变换为椭圆 =1的一个伸缩变换公式为:求,的值.22xy94xx0,yy0,【解题提示】先将变换后的椭圆方程改写,再将变换公式代入此椭圆方程,整理求得,的值.【规范解答】将变换后的椭圆方程 =1改写为=1，将伸缩变换公式:代入上式得 即 与x2+y2=1比较系数得 解得 22xy9422xy94xx0,yy(0)2222xy194，2222()x()y132，22()1,3()1,2 3,2.【互动探究】本例若改为将椭圆 =1变换为圆x2
6、+y2=1的一个伸 缩变换公式为:则如何求m,n的值?22xy94xmx m0,yny n0,【解析】将变换后的圆x2+y2=1改写为x2+y2=1，将伸缩变换:代入上式得m2x2+n2y2=1，与 =1比较系数得 解得 xmx m0,yny(n0)22xy94221m,91n,41m,31n.2【规律方法】伸缩变换公式应用时的两个注意点(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的,解题时一定要区分变换前的点P的坐标(x,y)与变换后的点P的坐标(x,y),再利用伸缩变换公式 建立联系.(2)已知变换后的曲线方程f(x,y)=0,一般都要改写为方程f(x,y)=0,再利用换元
7、法确定伸缩变换公式.xx(0),yy(0)【变式训练】求将曲线y=sinx变换为曲线y=2sin3x的伸缩变换公式.【解析】将变换后的曲线y=2sin3x改写为 y=sin3x,令 即得伸缩变换公式 123xx,1 yy,2 1xx,3y2y.考点2 极坐标与直角坐标的相互转化【典例2】(2014广东高考改编)在极坐标系中,曲线C1与C2的方程分别为2cos2=sin与cos=1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,求曲线C1与C2交点的直角坐标.【解题提示】将极坐标方程化为直角坐标方程再求交点坐标.【规范解答】由2cos2=sin,得22cos2=sin,由
8、得2x2=y.由cos=1,得x=1,代入2x2=y,解得x=1,y=2.所以曲线C1与C2交点的直角坐标为(1,2).xcos,ysin 【规律方法】1.极坐标与直角坐标互化公式的三个前提条件(1)取直角坐标系的原点为极点.(2)以x轴的非负半轴为极轴.(3)两种坐标系规定相同的长度单位.2.直角坐标化为极坐标的关注点(1)根据终边相同的角的意义,角的表示方法具有周期性,故点M的极坐标(,)的形式不唯一,即一个点的极坐标有无穷多个.当限定0,0,2)时,除极点外,点M的极坐标是唯一的.(2)当把点的直角坐标化为极坐标时,求极角应注意判断点M所在的象限(即角的终边的位置),以便正确地求出角0,
9、2)的值.【变式训练】(2014上海高考改编)已知曲线C的极坐标方程为(3cos-4sin)=1,求C与极轴的交点到极点的距离.【解析】将极坐标方程(3cos-4sin)=1化为直角坐标方程为 3x-4y=1,则C与极轴的交点即为直线与x轴的交点 ,极点即为原 点,故所求的距离为 .1(,0)313【加固训练】1.极坐标系中，求直角坐标为(-1,)的点的极径和 极角.【解析】直角坐标为(-1,)的点到极点的距离为=2,又tan=-,且点在第二象限，得=2k+,kZ.于是点(-1,)的极坐标为(2，2k+)(kZ)，所以此点的极径为2，极角为2k+(kZ).3322xy323323232.在极坐
10、标系中，求点 关于直线=的对称点N的极坐 标，并求MN的长【解析】点 的直角坐标为(,1)，直线=的直角坐标 方程为tan=1，即x-y=0，点M(,1)关于直线x-y=0的对称 点N的坐标为(1,)，化为极坐标得 由于点M(,1)到直线x-y=0的距离 所以MN的长为|MN|=2d=M(2,)64M(2,)634yx33(2,)3，331d2，62考点3 直线与圆的极坐标方程的应用【典例3】在极坐标系中,已知曲线C1与C2的极坐标方程分别为=2sin与cos=-1(02),求:(1)两曲线(含直线)的公共点P的极坐标.(2)过点P被曲线C1截得弦长为 的直线的极坐标方程.2【解题提示】(1)
11、利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求点的极坐标.(2)利用数形结合思想,转化为几何性质解决.【规范解答】(1)由公式 得曲线C1：=2sin 与C2：cos=-1(0r 相切 一个 d=r 相交 两个 dr【规律方法】常见的直线与圆的综合问题(1)直线与圆的位置关系有三种:相离、相切、相交.设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则有:(2)若直线与圆相交于点A,B,则弦长公式为|AB|=222 rd.【变式训练】(2015广州模拟)在极坐标系(,)(02)中,求直线=被圆=2sin截得的弦长.【解析】在极坐标系(,)(02)中,直线=的直角坐标 方程为x-y=0,圆=2sin的直角坐标方程
12、为x2+y2=2y,即x2+(y-1)2=1,圆心(0,1)到直线的距离为d=,所以弦长为 4412222 rd2.【加固训练】1.已知极坐标系中,圆C1:=2cos与圆C2:=2asin(a0).(1)将两圆的极坐标方程分别化为直角坐标方程.(2)若两圆的圆心距为3,求a的值.【解析】(1)由圆C1:=2cos,得2=2cos,化为直角坐标方程为x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1.圆C2:=2asin(a0)即2=2asin,化为直角坐标方程为x2+y2=2ay,即x2+(y-a)2=a2.(2)由于两圆的圆心距为3,得 =3,解得a=2 .21 a22.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为=4cos,=-sin.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程.(2)求经过圆O1,圆O2的两个交点的直线的直角坐标方程.【解析】以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.(1)由x=cos,y=sin,=4cos,得2=4cos,所以x2+y2=4x.即x2+y2-4x=0为圆O1的直角坐标方程.同理x2+y2+y=0为圆O2的直角坐标方程.(2)由 相减得过交点的直线的直角坐标方程为4x+y=0.2222xy4x0,xyy0