1、3.1椭圆 3.1.1椭圆的标准方程学 习 任 务核 心 素 养1理解椭圆的定义及椭圆的标准方程(重点)2掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程(重点)3理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题(难点)1通过对椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有关问题的学习，培养数学运算的核心素养2借助对轨迹方程的学习，培养逻辑推理及直观想象的核心素养2020年11月24日22时06分，“嫦娥五号”探测器3000 N发动机工作约2秒钟，顺利完成第一次轨道修正，继续飞向月球2020年11月25日22时06分，“嫦娥五号”探测器两台150 N发动机工作6秒钟，顺利完成第二次轨道修正截至第二次轨道修正
2、，“嫦娥五号”探测器已在轨飞行约41小时，距离地球约27万千米，探测器各系统状态良好，地面测控通信各中心和台站跟踪正常2020年12月17日，“嫦娥五号”返回器携中国第一捧月壤在内蒙古四子王旗预定区域成功着陆请观察“嫦娥五号”的运行轨道是一个什么图形知识点1椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆，两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点
3、的轨迹是什么？提示(1)点的轨迹是线段F1F2(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在知识点2椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)焦点(c，0)与(c，0)(0，c)与(0，c)a，b，c的关系c2a2b21椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，8)，F2(0，8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为()A1B1C1D1C由条件知，焦点在y轴上，且a10，c8，所以b2a2c236，所以椭圆的标准方程为12方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是_(6，2)(3，)由a2a60得a3或6a2 类型1求椭圆的标准方程【
4、例1】求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F1(4，0)，F2(4，0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点坐标分别为(0，2)，(0，2)，经过点(4，3)；(3)经过两点(2，)，解(1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c4，2a10，所以a5，b3，所以椭圆的标准方程为1(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为1(ab0)法一：由椭圆的定义知2a12，解得a6又c2，所以b4所以椭圆的标准方程为1法二：因为所求椭圆过点(4，3)，所以1又c2a2b24，可解得a236，b232所以椭圆的标准方程为1(3)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方
5、程为1(ab0)由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为1若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得则a2b2，与ab0矛盾，舍去综上可知，所求椭圆的标准方程为1法二：设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB)分别将两点的坐标(2，)，代入椭圆的一般方程，得解得所以所求椭圆的标准方程为1用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能(2)设方程：根据上述判断设方程1(ab0)或1(ab0)或整式形式mx2ny21(m0，n0，mn)(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的
6、方程组(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求跟进训练1求与椭圆1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆的标准方程解法一：因为所求椭圆与椭圆1的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且c225916设所求椭圆的标准方程为1(ab0)因为c216，且c2a2b2，故a2b216又点(3，)在所求椭圆上，所以1，即1由得a236，b220，所以所求椭圆的标准方程为1法二：由题意可设所求椭圆的标准方程为1又椭圆过点(3，)，将x3，y代入方程得1，解得11或21(舍去)故所求椭圆的标准方程为1 类型2椭圆中的焦点三角形【例2】(1)已知椭圆1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上如果线段
7、PF1的中点在y轴上，那么|PF1|PF2|()A35B34C53D43(2)已知在椭圆1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且PF1F2120，则PF1F2的面积为_(1)C(2)(1)依题意知，线段PF1的中点在y轴上，又原点为F1F2的中点，易得y轴PF2，所以PF2x轴，则有|PF1|2|PF2|24c216，又根据椭圆定义知|PF1|PF2|8，所以|PF1|PF2|2，从而|PF1|5，|PF2|3，即|PF1|PF2|53(2)由1，可知a2，b，所以c1，从而|F1F2|2c2在PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|co
8、sPF1F2，即|PF2|2|PF1|242|PF1|由椭圆定义得|PF1|PF2|2a4由联立可得|PF1|所以S|PF1|F1F2|sinPF1F221本例(2)中，把“PF1F2120”改为“PF1F290”，求F1PF2的面积解由椭圆方程1，知a2，c1，由椭圆定义，得|PF1|PF2|2a4，且|F1F2|2，在PF1F2中，PF1F290|PF2|2|PF1|2|F1F2|2，从而(4|PF1|)2|PF1|24，则|PF1|，因此S|F1F2|PF1|故所求PF1F2的面积为2本例(2)中方程改为1(ab0)，且把“PF1F2120”改为“F1PF2120”若PF1F2的面积为，
9、求b的值解由F1PF2120，PF1F2的面积为，可得|PF1|PF2|sinF1PF2|PF1|PF2|，|PF1|PF2|4根据椭圆的定义可得|PF1|PF2|2a再利用余弦定理可得4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 120(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|4a24，b21，即b1椭圆定义在焦点三角形中的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|，|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2|PF2|2(|PF1
10、|PF2|)22|PF1|PF2|及余弦定理求出|PF1|PF2|，而无须单独求解 类型3与椭圆有关的轨迹问题【例3】(1)已知P是椭圆1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为_(2)如图所示，圆C：(x1)2y225及点A(1，0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，求点M的轨迹方程(1)x21设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x02x，y02y，又1，所以1，即x21(2)解由垂直平分线的性质可知|MQ|MA|，|CM|MA|CM|MQ|CQ|，|CM|MA|5点M的轨迹为椭圆，其中2a5，焦点为C(1，0)，A(1，0)，a，c1 ，b2a
11、2c21 所求点M的轨迹方程为1，即11求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法，例(2)所用方法为定义法2对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛运用，是一种重要的解题方法3代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程 F(x，y)0，化简即得所求轨迹方程，这
12、种求轨迹方程的方法叫作代入法(又称相关点法)跟进训练2已知x轴上一定点A(1，0)，Q为椭圆y21上任一点，求线段AQ中点M的轨迹方程解设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0)利用中点坐标公式，得Q(x0，y0)在椭圆y21上，y1将x02x1，y02y代入上式，得(2y)21故所求AQ的中点M的轨迹方程是4y211椭圆y21上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为()A5B6C7D8D根据椭圆的定义知，P到另一个焦点的距离为2a225282已知椭圆4x2ky24的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是()A1B2C3D4B椭圆方程可化为x21，由题意知解得k2
13、3若方程1表示椭圆，则实数m满足的条件是_由方程1表示椭圆，得解得m且m14椭圆的两焦点为F1(4，0)，F2(4，0)，点P在椭圆上，若PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为_1如图，当P在y轴上时PF1F2的面积最大，8b12，b3又c4，a2b2c225椭圆的标准方程为15设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标解椭圆上一点到两焦点的距离之和为4，2a4，a24，点是椭圆上的一点，1，b23，c21，椭圆C的方程为1焦点坐标分别为(1，0)，(1，0)回顾本节知识，自我完成以下问题：1平面内到两定点F
14、1，F2的距离之和为常数，即|MF1|MF2|2a，那么动点M的轨迹是椭圆吗？提示平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|MF2|2a，当2a|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；当2a|F1F2|时，轨迹不存在2方程1一定表示椭圆吗？提示对于方程1，当mn0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；当nm0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆特别地，当nm0时，方程表示圆心在原点的圆若已知方程不是标准方程，需先进行转化3求与椭圆有关的轨迹方程的方法一般有哪些方法？提示定义法、直接法和代入法(相关点法)倾斜的试管液面轮廓一定是椭圆在化学课上，你一定有注意到，当
15、装有液体的试管稍微倾斜一点时，液面的轮廓是椭圆形的你知道怎样利用有关的数学知识证明这一点吗？如图所示，假设平面与圆柱相交，而且平面不与圆柱的轴垂直，我们需要证明的是：平面与圆柱表面的交线C是一个椭圆取半径与圆柱底面半径相同的两个球，从平面的两侧放入圆柱内(这两个球称为圆柱面的两个内切球)，并使得两个球都与平面相切，切点分别为F1，F2设P为交线C上任意一点，过P作圆柱的母线，分别与两个球相切于A，B可以看出，PF1与PA是同一个球的两条切线，PF2与PB也是同一个球的两条切线，因此|PF1|PA|，|PF2|PB|，从而|PF1|PF2|PA|PB|AB|，又因为AB的值是不变的，因此P到F1与F2的距离之和是一个常数，且|AB|F1F2|，这就证明了C是一个椭圆有意思的是，利用类似的方法还能证明我们在本章导语中所提到的结论，即利用平面截圆锥面能得到椭圆、双曲线、抛物线，感兴趣的同学请查阅有关资料进一步了解吧！