1、第八章解析几何 第七节 抛物线 微知识 小题练微考点 大课堂微考场 新提升微专题 巧突破2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)；2.理解数形结合的思想；3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用。2016，全国卷，10,5 分(抛物线的几何性质)2016，四川卷，8,5 分(抛物线的几何性质)2016，浙江卷，9,4 分(抛物线定义)2015，陕西卷，14,5 分(抛物线标准方程)1.抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，直线与抛物线的位置关系是考查的热点；2.考题以选择题、填空题为主，多为中低
2、档题。微知识 小题练 教材回扣 基础自测自|主|排|查1抛物线的概念平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(Fl)的距离的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的，直线 l 叫做抛物线的。相等焦点准线2抛物线的标准方程与几何性质y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)标准方程p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离图形顶点O(0,0)对称轴焦点F F F F 离心率e1准线方程范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径|PF|PF|PF|PF|注：抛物线上 P 点坐标为(x0，y0)。x0p2，0p2，00，p20，p2xp2
3、xp2yp2yp2x0p2x0p2y0p2y0p2y0微点提醒抛物线焦点弦的 4 个常用结论设 AB 是过抛物线 y22px(p0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2p24，y1y2p2。(2)弦长|AB|x1x2p2psin2(为弦 AB 的倾斜角)。(3)以弦 AB 为直径的圆与准线相切。(4)过焦点垂直于对称轴的弦长等于 2p。小|题|快|练一、走进教材1(选修 21P67 练习 T3(1)改编)设抛物线 y28x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是_。【解析】如图所示，抛物线的准线 l 的方程为x2，F 是抛物线的
4、焦点，过点 P 作 PAy 轴，垂足是 A，延长 PA 交直线 l 于点 B，则|AB|2，由于点 P 到 y 轴的距离为 4，则点 P 到准线 l 的距离|PB|426，所以点 P 到焦点的距离|PF|PB|6。【答案】62(选修 21P72 练习 T1(1)改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐 标 轴，并 且 经 过 点 P(2，4)，则 该 抛 物 线 的 标 准 方 程 为_。【解析】很明显点 P 在第三象限，所以抛物线的焦点可能在 x 轴负半轴上或 y 轴负半轴上。当焦点在 x 轴负半轴上时，设方程为 y22px(p0)，把点 P(2，4)的坐标代入得(4)22p(2)，解得 p
5、4，此时抛物线的标准方程为 y28x；当焦点在 y 轴负半轴上时，设方程为 x22py(p0)，把点 P(2，4)的坐标代入得(2)22p(4)，解得 p12，此时抛物线的标准方程为 x2y。综上可知，抛物线的标准方程为 y28x 或 x2y。【答案】y28x 或 x2y二、双基查验1已知抛物线 y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则抛物线焦点坐标为()A(1,0)B(1,0)C(0，1)D(0,1)【解析】因为抛物线的准线方程为 xp21，p21，焦点坐标为(1,0)。故选 B。【答案】B2抛物线 y14x2 的准线方程是()Ay1 By2Cx1 Dx2【解析】抛物线 y14x2 的标
6、准方程为 x24y，所以其准线方程为 y1。故选 A。【答案】A3设 F 为抛物线 C：y24x 的焦点，曲线 ykx(k0)与 C 交于点 P，PFx 轴，则 k()A.12B1C.32D2【解析】易知抛物线的焦点为 F(1,0)，设 P(xP，yP)，由 PFx 轴可得 xP1，代入抛物线方程得 yP2(2 舍去)，把 P(1,2)代入曲线 ykx(k0)得 k2。故选 D。【答案】D4 若 抛 物 线 y ax2 的 准 线 方 程 是 y 2，则 a 的 值 是_。【解析】抛物线 yax2可化为 x2 ，14a2，a18。【答案】185已知点 A(2,3)在抛物线 C：y22px 的准
7、线上，过点 A 的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为_。【解析】A(2,3)在抛物线 y22px 的准线上，p22，p4，y28x，设直线 AB 的方程为 xm(y3)2，将与 y28x 联立，即xmy32，y28x，得 y28my24m160，则(8m)24(24m16)0，即 2m23m20，解得 m2 或m12(舍去)，将 m2 代入解得x8，y8，即 B(8,8)，又 F(2,0)，kBF808243。【答案】43微考点 大课堂 考点例析 对点微练考点一抛物线的定义及应用母题发散【典例 1】已知抛物线 y22x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，又有
8、点 A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时点 P 的坐标。【解析】将 x3 代入抛物线方程 y22x，得 y 6。62，A 在抛物线内部，如图。设抛物线上点 P 到准线 l：x12的距离为 d，由定义知|PA|PF|PA|d，当 PAl 时，|PA|d 最小，最小值为72，即|PA|PF|的最小值为72，此时 P 点纵坐标为 2，代入 y22x，得 x2，点 P 的坐标为(2,2)。【答案】最小值72，P(2,2)【母题变式】将本典例中点 A 的坐标改为(3,4)，求|PA|PF|的最小值。【解析】当 P，A，F 共线时，|PA|PF|最小，|PA|PF|AF|3122422
9、54 16892。【答案】892反思归纳 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关。由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度。“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径。【拓展变式】(2016广东茂名二模)若动圆的圆心在抛物线 y112x2上，且与直线 y30 相切，则此圆恒过定点()A(0,2)B(0，3)C(0,3)D(0,6)【解析】直线 y30 是抛物线 x212y 的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线 y3 的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3)。故选 C。【答案】C考点二抛物线的标
10、准方程与几何性质【典例 2】(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 P(4，2)的抛物线的标准方程是()Ay2xBx28yCy28x 或 x2yDy2x 或 x28y(2)已知点 A 是抛物线 y22px(p0)上一点，F 为其焦点，以 F 为圆心，|FA|为半径的圆交准线于 B，C 两点，FBC 为正三角形，且ABC 的面积是1283，则抛物线的方程为_。【解析】(1)(待定系数法)设抛物线为 y2mx，代入点 P(4，2)，解得 m1，则抛物线方程为 y2x；设抛物线为 x2ny，代入点 P(4，2)，解得 n8，则抛物线方程为 x28y。故选 D。(2)(定义法)如图，依题意得|DF|
11、p，|DF|BF|cos30，因此|BF|2p3，|AF|BF|2p3。由抛物线的定义知，点 A 到准线的距离也为2p3，又ABC的面积为1283，因此有122p32p31283，p8，该抛物线方程为 y216x。【答案】(1)D(2)y216x反思归纳 1.求抛物线的标准方程的方法1先定位：根据焦点或准线的位置。2再定形：即根据条件求 p。2.抛物线性质的应用技巧1利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程。2要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质以形助数。【变式训练】(2016全国卷)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E
12、 两点。已知|AB|4 2，|DE|2 5，则 C 的焦点到准线的距离为()A2 B4C6 D8【解析】由题意，不妨设抛物线方程为 y22px(p0)，由|AB|4 2，|DE|2 5，可取 A4p，2 2，Dp2，5，设 O 为坐标原点，由|OA|OD|，得16p28p24 5，得 p4。故选 B。【答案】B考点三焦点弦问题【典例 3】已知过抛物线 y22px(p0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，点 C 在抛物线的准线上，且 BCx 轴。证明：直线 AC 经过原点 O。【证明】设直
13、线 AB 的方程为 xmyp2，代入 y22px，得 y22pmyp20。由根与系数的关系，得 yAyBp2，即 yBp2yA。BCx 轴，且 C 在准线 xp2上，Cp2，yB。则 kOCyBp22pyAyAxAkOA。直线 AC 经过原点 O。考点四直线与抛物线的位置关系【典例 4】(2016江苏高考)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：xy20，抛物线 C：y22px(p0)。(1)若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程；(2)已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q。求证：线段 PQ 的中点坐标为(2p，p)；求 p 的取值范围。【解
14、析】(1)抛物线 C：y22px(p0)的焦点为p2，0，由点p2，0 在直线 l：xy20 上，得p2020，即 p4。所以抛物线 C 的方程为 y28x。(2)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段 PQ 的中点 M(x0，y0)。因为点 P 和 Q 关于直线 l 对称，所以直线 l 垂直平分线段 PQ，于是直线 PQ 的斜率为1，则可设其方程为 yxb。证明：由y22px，yxb 消去 x 得 y22py2pb0。(*)因为 P 和 Q 是抛物线 C 上的相异两点，所以 y1y2，从而(2p)24(2pb)0，化简得 p2b0。方程(*)的两根为 y1,2p p22pb，从而y0y
15、1y22p。因为 M(x0，y0)在直线 l 上，所以 x02p。因此，线段 PQ 的中点坐标为(2p，p)。因为 M(2p，p)在直线 yxb 上，所以p(2p)b，即 b22p。由知 p2b0，于是 p2(22p)0，所以 p0)的焦点弦 AB 的两端点坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2x1x2的值一定等于()A4 B4Cp2Dp2解析 若焦点弦 ABx 轴，则 x1x2p2，所以 x1x2p24；y1p，y2p，y1y2p2，y1y2x1x24。若焦点弦 AB 不垂直于 x 轴，可设 AB 的直线方程为 ykxp2，联立 y22px 得 k2x2(k2p2p)xp
16、2k24 0，则 x1x2p24。所以 y1y2p2。故y1y2x1x24。故选 A。答案 A4(2016浙江高考)若抛物线 y24x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是_。解析 由于抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0)，准线为 x1，设点 M的坐标为(x0，y0)，则 x0110，所以 x09。故 M 到 y 轴的距离是 9。答案 95抛物线 x22py(p0)的焦点为 F，其准线与双曲线x23y231 相交于 A，B 两点，若ABF 为等边三角形，则 p_。解析 如图，在正三角形 ABF 中，|DF|p，|BD|33p，B 点坐标为33 p，p2。又点 B 在
17、双曲线上，故13p23p243 1，解得 p6。答案 6微专题 巧突破 冲击名校 自主阅读焦点弦的处理规律直线 AB 过抛物线 y22px(p0)的焦点 F，交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图。(1)y1y2p2，x1x2p24。(2)|AB|x1x2p，x1x22 x1x2p，即当x1x2 时，弦长最短为 2p。(3)1|AF|1|BF|为定值2p。(4)弦长 AB2psin2(为 AB 的倾斜角)。(5)以 AB 为直径的圆与准线相切。(6)焦点 F 对 A，B 在准线上射影的张角为 90。【典例】如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A，
18、B，交其准线 l 于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为()Ay29xBy26xCy23xDy2 3x【解析】设直线方程为 ykxp2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把 ykxp2 代入抛物线方程，得 k2xp222px，整理得 k2x2(pk22p)xk2p240，则 x1x2p24，因为|BC|2|BF|，所以点 B 到准线的距离 d23p，即x2p223p，解得 x2p6，所以 x132p，|AF|x1p22p3，解得 p32，所以抛物线的方程是 y23x。故选 C。【答案】C【变式训练】设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为30的直线交 C 于 A，B 两点，则|AB|等于()A.303B6C12 D7 3【解析】焦点 F 的坐标为34，0，解法一：直线 AB 的斜率为33，所以直线 AB 的方程为 y33 x34，即 y33 x34，代入 y23x，得13x272x3160。设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2212，所以|AB|x1x2p212 3212，故选 C。解法二：由抛物线焦点弦的性质可得|AB|2psin23sin23012。故选 C。【答案】C
