1、二十二 曲线与方程(15 分钟 30 分)1曲线 x2xyy23x4y40 与 x 轴的交点坐标是()A(4，0)和(1，0)B(4，0)和(2，0)C(4，0)和(1，0)D(4，0)和(2，0)【解析】选 A.在曲线 x2xyy23x4y40 中，令 y0，则 x23x40，所以 x1 或 x4.所以交点坐标为(1，0)和(4，0).2曲线 C 的方程为 yx(1x5)，则下列四点中在曲线 C 上的是()A(0，0)B15，15 C(1，5)D(4，4)【解析】选 D.利用“曲线的方程”和“方程的曲线”的意义进行判断3在平面直角坐标系 xOy 中，若定点 A(1，2)与动点 P(x，y)满
2、足OP OA 4，则点 P 的轨迹方程是()Axy4 B2xy4Cx2y4 Dx2y1【解析】选 C.由OP(x，y)，OA(1，2)得OP OA(x，y)(1，2)x2y4，则 x2y4 即为所求的轨迹方程4方程(x24)(y24)0 表示的图形是()A两条直线B四条直线C两个点D四个点【解析】选 B.由(x24)(y24)0 得(x2)(x2)(y2)(y2)0，所以 x20 或 x20 或 y20 或 y20，表示四条直线5方程(x1)2 y2 0 表示什么图形？【解析】由(x1)2 y2 0，知(x1)20 且 y2 0，即 x1 且 y2，所以(x1)2 y2 0 表示的是点(1，2
3、).(30 分钟 60 分)一、单选题(每小题 5 分，共 20 分)1曲线 y|x|与 ykx1 的交点情况是()A最多有两个交点B有两个交点C仅有一个交点D没有交点【解析】选 A.数形结合知，有一个或两个交点2若方程 x2y2k0 与 2xyk0 所表示的两条曲线的交点在方程 x2y29 所表示的曲线上，则 k 等于()A3 B0C2 D一切实数【解析】选 A.由x2y2k0，2xyk0，得交点(0，k)，将点(0，k)代入 x2y29中得 k3.3如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线|y|4x2 围成的平面区域的直径为()A2 B4 C8 D2 17【解析】
4、选 C.曲线|y|4x2，等价于 y4x2，y0，x24，y0，作出其图象如图：由图形可知，上下两个顶点之间的距离最大为 8，那么曲线|y|4x2 围成的平面区域的直径为 8.【补偿训练】方程 x|y1|0 表示的曲线是()【解析】选 B.方程 x|y1|0 可化为|y1|x0，则 x0.4已知动点 P 到定点(1，0)和定直线 x3 的距离之和为 4，则点 P 的轨迹方程为()Ay24xBy212(x4)Cy24x(x3)或 y212(x4)(x3)【解析】选 D.设 P(x，y)，由题意得（x1）2y2|x3|4.若 x3，则 y24x；若 x3，则 y212(x4).二、多选题(每小题
5、5 分，共 10 分，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分)5下列命题不正确的是()A方程 xy2 1 表示斜率为 1，在 y 轴上的截距是 2 的直线B ABC 的顶点坐标分别为 A(0，3)，B(2，0)，C(2，0)，则中线 AO 的方程是 x0C到 x 轴距离为 5 的点的轨迹方程是 y5D曲线 2x23y22xm0 通过原点的充要条件是 m0【解析】选 ABC.对照曲线和方程的概念，A 中的方程需满足 y2；B 中“中线 AO的方程是 x0(0y3)”；而 C 中，动点的轨迹方程为|y|5，只有 D 是正确的6在平面直角坐标系中，曲线 C 上任意点 P 与两
6、个定点 A(2，0)和点 B(2，0)连线的斜率之和等于 2，则关于曲线 C 的结论正确的有()A曲线 C 是轴对称图形B曲线 C 上所有的点都在圆 x2y22 外C曲线 C 是中心对称图形D曲线 C 上所有点的横坐标 x 满足|x|2【解析】选 BC.设 P(x，y)，则 kPAkPB2，即 yx2 yx2 2，(x2)，整理得 x2xy4(x2)，所以曲线 C 是中心对称图形，不是轴对称图形，故 C 正确，A 错误，x2y22x216x2 88 2 82，故 B 正确；由 x2xy4 可知，xR 且 x0，x2，故 D 错误 三、填空题(每小题 5 分，共 10 分)7已知两点 M(2，0
7、)，N(2，0)，点 P 为坐标平面内的动点且满足|MN|MP|MN NP 0，则点 P 的轨迹方程为_【解析】设 P(x，y)，因为|MN|MP|4（x2）2y2，MNNP 4(x2)，所以 4（x2）2y2 4(x2)0，即 y28x.答案：y28x8对于曲线 x2xyy21 有以下判断：(1)它表示圆；(2)它关于原点对称；(3)它关于直线 yx 对称；(4)x1 且|y|1.其中正确的有_(填上相应的序号即可).【解析】(1)曲线 x2xyy21 中含有 xy 项，方程不表示圆；(2)在原方程中，同时将 x 换成x，且将 y 换成y，方程不变，就说明曲线关于原点对称；(3)在原方程中，
8、将 x，y 互换，方程不变，因此曲线关于直线 yx 对称；(4)x12 时，y2y2 34 0，所以 y1 134，不满足|y|1，即(4)不正确答案：(2)(3)四、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9求曲线 x2y21 与直线 yx1 的交点坐标【解析】根据题意，由x2y21，yx1，得 x2(x1)21，整理得：x2x0，解得 x1 或 x0，所以，由 yx1 得，y0 或 y1；即曲线 x2y21 与直线 yx1 的交点坐标为(1，0)或(0，1).10过点 P(2，4)作两条互相垂直的直线 l1，l2，若 l1 交 x 轴于 A 点，l2 交 y 轴于B 点，求线段 AB 的中
9、点 M 的轨迹方程【解析】方法一：设点 M 的坐标为(x，y)，因为 M 为线段 AB 的中点，所以 A 点的坐标为(2x，0)，B 点的坐标为(0，2y).则PA(2x2，4)，PB(2，2y4)因为 l1l2，所以PA PB 0，2(2x2)4(2y4)0整理得 x2y50.所以点 M 的轨迹方程是 x2y50.方法二：设点 M 的坐标为(x，y)，则 A，B 两点的坐标分别是(2x，0)，(0，2y)，连接 PM.因为 l1l2，所以 2|PM|AB|.而|PM|（x2）2（y4）2，|AB|（2x）2（2y）2，所以 2（x2）2（y4）2 4x24y2，化简得 x2y50，即为所求的点 M 的轨迹方程