1、第八章解析几何 第五节 椭圆2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)；2.了解椭圆的简单应用；3.理解数形结合的思想。2016，全国卷，11,5 分(椭圆的几何性质)2016，天津卷，19,14 分(椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系)2016，浙江卷，9,5 分(椭圆的几何性质)2016，江苏卷，10,5 分(椭圆的几何性质)2015，全国卷，14,5 分(椭圆的几何性质)椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中。椭圆的考查频率非常高，而且运算量、思维量都
2、比较大，这是椭圆命题的一个显著特征。微知识 小题练 教材回扣 基础自测1椭圆的概念平面内与两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。这两定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做。集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a0，c0，且 a，c 为常数。(1)若，则集合 P 为椭圆；(2)若，则集合 P 为线段；(3)若，则集合 P 为空集。大于焦点焦距aca=ca0，B0 且AB。小|题|快|练一、走进教材1(选修 21P40 例 1 改编)若 F1(3,0)，F2(3,0)，点 P 到 F1，F2 距离之和为 10，则 P 点的轨迹方程是()A.x22
3、5y2161 B.x2100y291C.y225x2161 D.x225y2161 或y225x2161【解析】设点 P 的坐标为(x，y)，因为|PF1|PF2|10|F1F2|6，所以点 P 的轨迹是以 F1，F2 为焦点的椭圆，其中 a5，c3，b a2c24，故点 P 的轨迹方程为x225y2161。故选 A。【答案】A2(选修 21P49A 组 T6 改编)设椭圆的两个焦点分别为 F1，F2，过F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()A.22B.212C2 2D.21【解析】解法一：设椭圆方程为x2a2y2b21，依题意，显然有|PF
4、2|F1F2|，则b2a 2c，即a2c2a2c，即 e22e10，解得 e 21。故选 D。解法二：因为F1PF2 为等腰直角三角形，所以|PF2|F1F2|2c，|PF1|2 2c。因为|PF1|PF2|2a，所以 2 2c2c2a，所以 eca121 21。故选 D。【答案】D二、双基查验1设 P 是椭圆x24y291 上的点，若 F1，F2 是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A4 B8C6 D18【解析】依定义知|PF1|PF2|2a6。故选 C。【答案】C2方程x25my2m31 表示椭圆，则 m 的范围是()A(3,5)B(5,3)C(3,1)(1,5)D(5,1)(1
5、,3)【解析】由方程表示椭圆知5m0，m30，5mm3，解得3m5 且 m1。故选 C。【答案】C3椭圆x29y24k1 的离心率为45，则 k 的值为()A21 B21C1925或 21 D.1925或 21【解析】若 a29，b24k，则 c 5k，由ca45，即5k345，得 k1925；若 a24k，b29，则 c k5，由ca45，即k54k45，解得 k21。故选 C。【答案】C4已知椭圆的一个焦点为 F(1,0)，离心率为12，则椭圆的标准方程为_。【解析】设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，因为椭圆的一个焦点为 F(1,0)，离心率 e12，所以c1，ca12，a2
6、b2c2，解得a2c2，b23，故椭圆的标准方程为x24y231。【答案】x24y2315已知 F1，F2 是椭圆 C 的左，右焦点，点 P 在椭圆上，且满足|PF1|2|PF2|，PF1F230，则椭圆的离心率为_。【解析】在三角形 PF1F2 中，由正弦定理得sinPF2F11，即PF2F12，设|PF2|1，则|PF1|2，|F2F1|3，所以离心率 e2c2a33。【答案】33微考点 大课堂微考场 新提升第一课时椭圆的概念及其性质微考点 大课堂 考点例析 对点微练考点一椭圆的定义及应用【典例 1】(1)(2016北京东城期末)过椭圆 4x2y21 的一个焦点F1 的直线与椭圆交于 A，
7、B 两点，则 A 与 B 和椭圆的另一个焦点 F2 构成的ABF2 的周长为()A2 B4C8 D2 2(2)F1，F2 是椭圆x29y271 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且AF1F245，则AF1F2 的面积为()A7 B.74C.72D.7 52【解析】(1)因为椭圆方程为 4x2y21，所以 a1。根据椭圆的定义，知ABF2 的周长为|AB|AF2|BF2|AF1|BF1|AF2|BF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a4。故选 B。(2)由题意得 a3，b 7，c 2，|F1F2|2 2，|AF1|AF2|6。|AF2|2|AF1|2|F1F2|22|AF1|F1F2
8、|cos45|AF1|24|AF1|8，(6|AF1|)2|AF1|24|AF1|8。|AF1|72。S12722 222 72。故选 C。【答案】(1)B(2)C反思归纳 1.椭圆定义的应用范围(1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆。(2)解决与焦点有关的距离问题。2焦点三角形的应用椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|；通过整体代入可求其面积等。【变式训练】(1)已知 A12，0，B 是圆x122y24(F 为圆心)上一动点，线段 AB 的垂直平分线交 BF 于点 P，则动点 P 的轨迹方程为_。
9、(2)已知 F 是椭圆 5x29y245 的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点。求|PA|PF|的最大值和最小值。【解析】(1)如图，由题意知|PA|PB|，|PF|BP|2。所以|PA|PF|2 且|PA|PF|AF|，即动点 P的轨迹是以 A，F 为焦点的椭圆，a1，c12，b234。所以动点 P 的轨迹方程为 x243y21。(2)如图所示，设椭圆右焦点为 F1，则|PF|PF1|6。|PA|PF|PA|PF1|6。利用|AF1|PA|PF1|AF1|(当 P，A，F1 共线时等号成立)，|PA|PF|6 2，|PA|PF|6 2。故|PA|PF|的最大值为 6 2，最小
10、值为 6 2。【答案】(1)x243y21(2)最大值 6 2，最小值 6 2考点二椭圆的标准方程及其应用【典例2】(1)若直线x2y20经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()A.x25y21B.x24y251C.x25y21 或x24y251D以上答案都不对(2)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2y2b21(0b0，B0，AB)。【变式训练】(1)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点为 F1，F2，离心率为33，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，若AF1B 的周长为4 3，则 C 的方程为()A.x23y221 B.x23y21C.x212y
11、281 D.x212y241(2)过点(3，5)，且与椭圆y225x291 有相同焦点的椭圆的标准方程为_。【解析】(1)因为AF1B 的周长为 4 3，所以 4a4 3，所以 a3，因为离心率为33，所以 c1，所以 b a2c2 2，所以椭圆 C的方程为x23y221。故选 A。(2)椭圆y225x291 的焦点为(0，4)，(0,4)，即 c4。由椭圆的定义知，2a 302 542 302 542，解得 a2 5。由 c2a2b2 可得 b24。所以所求椭圆的标准方程为y220 x241。【答案】(1)A(2)y220 x241考点三椭圆的简单几何性质多维探究角度一：与椭圆有关的最值或范
12、围问题【典例 3】已知点 F1，F2 是椭圆 x22y22 的左，右焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF1 PF2|的最小值是()A0 B1C2 D2 2【解析】设 P(x0，y0)，则PF1(1x0，y0)，PF2(1x0，y0)，PF1 PF2(2x0，2y0)，|PF1 PF2|4x204y202 22y20y202 y202。点 P 在椭圆上，0y201，当 y201 时，|PF1 PF2|取最小值 2。故选 C。【答案】C角度二：求离心率的值或范围【典例 4】(1)(2016全国卷)已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点，A，B 分别为
13、C 的左，右顶点。P 为 C 上一点，且 PFx 轴。过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E。若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为()A.13B.12C.23D.34(2)(2015福建高考)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l：3x4y0 交椭圆 E 于 A，B 两点。若|AF|BF|4，点 M 到直线 l 的距离不小于45，则椭圆 E 的离心率的取值范围是()A.0，32B.0，34C.32，1D.34，1【解析】(1)设 E(0，m)，则直线 AE 的方程为xaym1，由题意可知 Mc，mm
14、ca，0，m2 和 B(a,0)三点共线，则mmca m2cm2a，化简得 a3c，则 C 的离心率 eca13。故选 A。(2)不妨设左焦点为 F2，连接 AF2，BF2，由椭圆的对称性可知四边形 AFBF2 的对角线互相平分，所以四边形 AFBF2 为平行四边形，所以|AF|BF|BF2|BF|2a4，所以a2，设M(0，b)，所以d45b45b1，所以 e1b2a21b24 11432，又 e(0,1)，所以 e0，32。故选 A。【答案】(1)A(2)A反思归纳 1.求椭圆离心率的方法(1)直接求出 a，c 的值，利用离心率公式直接求解。(2)列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式
15、)，借助于 b2a2c2 消去b，转化为含有 e 的方程(或不等式)求解。2利用椭圆几何性质求值或范围的思路求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系。微考场 新提升考题选萃 随堂自测1曲线x225y291 与曲线x225ky29k1(k0，c0，则直线 l 的方程为 bxcybc0，由已知得bcb2c2142b，解得 b23c2，又 b2a2c2，所以c2a214，即 e214，所以 e12(e12舍去)。故选 B。光速解法：不妨设直线 l 过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(c，0)，b0，c0，则直线 l 的方
16、程为 bxcybc0，由已知得bcb2c2142b，所以bca 142b，所以 eca12。故选 B。答案 B4(2016安徽皖西七校联考)已知圆 M：(x 5)2y236，定点 N(5，0)，点 P 为圆 M 上的动点，点 Q 在 NP 上，点 G 在线段 MP 上，且满足NP2NQ，GQ NP0，则点 G 的轨迹方程是_。解析 由NP2NQ，GQ NP0 知，GQ 是线段 NP 的垂直平分线，|GN|GP|，|GM|GN|MP|6。点 G 的轨迹是以 M，N 为焦点的椭圆，由 2a6，得 a3。又 c 5，b24。点 G 的轨迹方程为x29 y241。答案 x29 y2415设 F1，F2 为椭圆的两个焦点，以 F2 为圆心作圆，已知圆 F2 经过椭圆的中心，且与椭圆相交于点 M，若直线 MF1 恰与圆 F2 相切，则该椭圆的离心率为_。解析 由题意知F1MF22，|MF2|c，|F1M|2ac，则 c2(2ac)24c2，e22e20，解得 e 31。答案 31